2020届四川省绵阳市高三上学期第一次诊断性考试数学(文)试题(解析版)

1、第1 1页共 1818 页2020 届四川省绵阳市高三上学期第一次诊断性考试数学（文）试题一、单选题1 1 已知A =x N*| x _3,B =x*_4x_0?，则ARB=（）A A 1,2,3B B. 1,21,2C C （0,3D D （3,4【答案】A A【解析】先求解集合A,B, ,然后求解Ap）B. .【详解】因为A=x N*| x_3=,2,3，BX|X24XZ0L|0XE4?,所以A B1,2,3二故选：A.A.【点睛】本题主要考查集合的交集运算，先化简集合是求解此类问题的关键，题目属于简单题，侧重考查数学运算的核心素养 2 2 .若b :a 0，则下列结论不正确的是 （）（）

2、11 _ _A A B B.ab a2C C.|a|+|b|a+b|D D.3a3ba b【答案】C C【解析】结合不等式的性质或特殊值，逐个选项验证【详解】11因为 b b :a：0，所以，选项 A A 正确；a b因为b : a：0，所以ab a2，选项B正确；因为b : a：0，所以|a|+|b|=|a+b|，选项 C C 不正确；因为yx1为增函数，所以3a3b，选项 D D 正确 故选：C.C.【点睛】本题主要考查不等式的性质，这类问题的求解方法是利用常见的不等式的性质或者利用特殊值进行求解，侧重考查逻辑推理的核心素养3 3 .下列函数中定义域为R，且在R上单调递增的是（）（）第2

3、2页共 1818 页A A.f(x)=x2B B.f (x) = . xC C.f (x) = I n|x|D D .f(x) = e2x【答案】D D【解析】 先求解选项中各函数的定义域，再判定各函数的单调性，可得选项【详解】因为f(x)=J?的定义域为0,母)，fWn|x|的定义域为XXHO，所以排除选项 B,C.B,C.2因为f(X)=X在(-：,0是减函数，所以排除选项 A A，故选：D.D.【点睛】本题主要考查函数的性质，求解函数定义域时，熟记常见的类型：分式，偶次根式，对数式等，单调性一般结合初等函数的单调性进行判定，侧重考查数学抽象的核心素养4 4.等差数列込的前 n n 项和为

4、5，若a3 = 2，S3 =3，则a6=() )A A. 4 4B B. 5 5C C. 1010D D. 1515【答案】B B【解析】先由S3求32，再求公差d，最后可得36. .【详解】因为S3=3a?=3，所以3?=1，可得d= 33-32=2 -1=1，所以=3彳3d = 5,故选：B.B.【点睛】本题主要考查等差数列的基本运算，熟练记忆等差数列的求和公式及通项公式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养 5 .已知函数f (x)2，若f(_m)=2，则f(m)=( () )2x-11A A . -2-2B B. -1-1C C. 0 0D D .2【答案】B B【解析】先由f x写

5、出f -x，再由二者关系可得f m与f -m的关系，易得f m. .【详解】第3 3页共 1818 页所以f m - n.-m =1，易得f m =-1.故选：B.【点睛】本题主要考查函数的表示方法，结合函数解析式的特征可求，侧重考查数学运算和逻辑推理的核心素养. .2_46 6.已知命题P：函数y=sinx,（0,二）的最小值为2 2；命题q:若向量a，si nxb，c，满足a b =b c，则a=c.下列命题中为真命题的是（）（）【答案】D D【解析】先判断命题p，命题q的真假，利用基本不等式和三角函数的性质可判断命题p为假，再用零向量判断命题q为假，进而判断命题 一P和命题 r 为真，易

6、得（p） （q）为真 【详解】22由题意命题p:函数y =sinx，- 2.2当且仅当si nx 时，等号成立，由si nxsinx22f（x）二si nx性质可得sin x = 2，所以函数y=s inx，（0,二）取不到最小si nx值22，即命题p为假，则命题p为真；命题q:若向量b为零向量，满足a b二b c，但不一定有a=c，所以命题q为假，则命题q为真，所以（p） （q）为真 故选: :D.D.【点睛】本题主要考查命题真假的判定，涉及基本不等式的最值问题要注意条件的检验，平面向量的运算要熟记运算规则，侧重考查逻辑推理的核心素养*62-2 - 2x因为f-x二产T 27厂 k，所以2

7、xf X f-X沽 U，A A. (p) qB B.pqC.p (q)D.(p) (q)第4 4页共 1818 页7 7.若a，b=38，c = ln3，则 a a，b b，c c 的大小关系为（）（）13丿A A.b c aB B.cabC C.c b aD D.a c b【答案】B B【解析】先将a化成与b同底，再利用指数函数单调性比较a,b大小，然后利用中间值1 1 比较c,a的大小，最后易得三者关系【详解】因为a13丿=3“6，由指数函数y=3x单调递增，且-0.6-0.8可得a =3亠6 38=b，且b a : 1，又因为c = I n3 .In e = 1，所以c a b. .故选

8、：B.B.【点睛】本题主要考查指数式，对数式比较大小，指数式的大小比较一般是化为同底数来进行， 不同类的数值比较一般采用介值法进行，侧重考查数学抽象的核心素养2x-y乞0,8 8.已知 x x, y y 满足约束条件x -y 1一0,，则z =2x y的最小值为()()x + y_1兰0,1A A . 4 4B B. 2 2C C. 1 1D D .-3【答案】C C【解析】先作出可行域，平移目标函数，确定取到最小值的点，然后求出点代入目标函 数可得 【详解】作出可行域，如图，易得目标函数Z =2x y在点A处取到最小值，第5 5页共 1818 页X - y +1 = 0由y 0,得A(0,1

9、),x y -0,所以2x y的最小值为1，故选：C.C.【点睛】本题主要考查线性规划求解最值问题，主要求解方法是作出可行域，平移目标函数，得到最值点，联立方程组，求出最值点可得最值 9 9设函数f(x)二aex-lnx(其中常数a=0)的图象在点(1,f(1)处的切线为 I I,则1 1 在 y y 轴上的截距为()()A A 1 1B B. 2 2C Cae-1D D1 - 2ae【答案】A A【解析】 先求得 f(x)f(x)的导数，可得切线的斜率，根据切点写出切线的点斜式方程，令x = 0可得 I I 在 y y 轴上的截距 【详解】1因为函数f(x)=aex-l nx的导数为f (x

10、)二aex，可得图象在点(1, f (1)处的切x线斜率为ae -1，且f 1二ae，则切线方程为y-aepae-1 x-1，令x=0可得y-1,故选：A.A.【点睛】本题主要考查导数的几何意义，利用导数求解在某点处的切线方程的策略是：先求导数，代入切点横坐标可得切线斜率，然后结合点斜式可求切线方程，侧重考查数学运算的核1010 .某数学小组到进行社会实践调查， 了解鑫鑫桶装水经营部在为如何定价发愁。 进一 步调研了解到如下信息： 该经营部每天的房租、 人员工资等固定成本为 200200 元，每桶水 的进价是 5 5 元，销售单价与日均销售量的关系如下表：销售单价/ /元6 67 78 89

11、9101011111212日均销售量/ /桶480480440440400400360360320320280280240240根据以上信息，你认为该经营部定价为多少才能获得最大利润？()A A .每桶 8.58.5 元B B.每桶 9.59.5 元C C .每桶 10.510.5 元 D D .每桶 11.511.5 元第6 6页共 1818 页【答案】D D【解析】通过表格可知销售单价每增加1 1 元、日均销售量减少 4040 桶，进而列出表达式，利用二次函数的简单性质即得结论.【详解】通过表格可知销售单价每增加1 1 元、日均销售量减少 4040 桶，设每桶水的价格为(6+x6+x) 元

12、（0 0v x xv1313）,第7 7页共 1818 页公司日利润 y y 元，贝 y y y=( 6+x6+x- 5 5) (480480- 40 x40 x)- 200200=- 40/+440 x+28040/+440 x+280 ( 0 0v x xv 1313),440- - 4040v0 0,.当 x x= 5.55.5 时函数 y y 有最大值，2疋40因此，每桶水的价格为 6+5.5=11.56+5.5=11.5 元，公司日利润最大，故选：D D【点睛】本题主要考查了二次函数模型的应用以及二次函数求最值，属于基础题.1111.函数f(X)二sinxJi+ 6 0)Tt JI在

13、 ，一上单调递增，且图象关于x =-二对22称，则的值为()()2A.3【答B B.【解先求周期的范围，再进一步得到-的范围，排除选项 B,C,D.B,C,D.【详,(兀兀)、，”，T江(兀)f f (x)(x)在，一上单调递增，所以一_ -11 1 2 2 2 2 丿2 2.22兀T -称；故选: :A.A.，所以2二，所以 1. .只有选项 A A 符合，经检验可知图象关于f对【点本题主要考查三角函数的图象及性质，利用单调性和对称性确定参数,特值进行排除也是常用方法，侧重考查逻辑推理和数学运算的核心素养1212 在厶ABC中，.A =60, A A 的平分线 ADAD 交边 BCBC 于点

14、 D D ,1 AB二AD -一ACC R)，则AB在AD方向上的投影为()()3已知 ADAD =2=2 .3.3，且【答【解3B.-21 AB二AD-一 AC(R)得出四边形AFDE为菱形，从而可得 AB=3,AB=3,3进而可求 7B7B 在 ADAD 方向上的投影 【详解】11 因为AB二AD-AC( R)，如图设AEAC, ,DF /AC, ,所以四边形AFDE334第8 8页共 1818 页为菱形；因为 ADAD =2=2 3 3 ,. A = 60，所以AE =2，即有AC = 6; ;结合比例性质可得BF =1, ,所以 ABAB =3;=3;AB在AD方向上的投影为ZBcos

15、30 * = 故选：D.D.2【点睛】本题主要考查平面向量的应用，明确向量的运算规则是求解的关键，数形结合能简化运算过程，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养二、填空题1313 已知函数 f(x)f(x)的定义域为R，且满足f(x) = f(x，2)，当0, 2)时，f(x)二ex， 则f (7) =_【答案】e e【解析】先根据f(xH f(x 2)可得周期为2,利用周期可求f (7) = f (1),从而可得 结果. .【详解】因为f (x f (x 2)，所以函数 f f (x)(x)的周期为2，所以f(7) = f(1);又因为当x0, 2)时，f(x) =ex，所以f(7)=f(1)

16、 = e. .故答案为：e. .【点睛】本题主要考查利用函数的周期求值，主要求解思路是：先根据题设条件得出函数的周期，再结合周期把目标函数值转化到已知区间上，然后可求，侧重考查数学抽象的核心素养 . .1414已知向量a =(-2,2)，向量b的模为 1 1，且|a -2b|=2，则；与b的夹角为_ 【答案】-第9 9页共 1818 页【解析】先根据|；一2&|=2求得a b，然后利用向量的夹角公式可求.【详解】因为a =（_2,2），所以a卜2盪,因为丨a - 2b1= 2，所以a -4a b 4b =4，即有a b = 2，J 2，故a与b的夹角为一故答案为：一244【点睛】本题主

17、要考查平面向量的运算，向量夹角的求解主要利用公式cosa,b：=来求，侧重考查数学运算的核心素养 1515 . 20192019 年 1010 月 1 1 日，在庆祝新中国成立 7070 周年阅兵中，由我国自主研制的军用飞 机和军用无人机等参阅航空装备分秒不差飞越天安门，壮军威，振民心，令世人瞩目.飞行员高超的飞行技术离不开艰苦的训练和科学的数据分析.一次飞行训练中，地面观测站观测到一架参阅直升飞机以72-. 2千米/ /小时的速度在同一高度向正东飞行，如图，第一次观测到该飞机在北偏西60的方向上，1 1 分钟后第二次观测到该飞机在北偏东75的方向上，仰角为30，则直升机飞行的高度为 _ 千米

18、.（结果保留根号）25【答案】【解析】地曲十观測站第1010页共 1818 页根据飞行时间和速度可求飞行距离，结合两次观察的方位角及三角形知识可得如图,第1111页共 1818 页根据已知可得.ABF =60 CBF =75 CBD =30 ,设飞行高度为x千米，即CD = X，贝 U U BCBC = = 3x;3x;在直角三角形 CFBCFB 中，.CBF =75 ,BC = ,3x, ,所以CF = 0，得x：-1或x 1；由f x：；： 0，得 一 1 1 ： x x ： 1 1 ,二f(x)在(，-1)上单调递增，(-1,1)上单调递减，(1,+)上单调递增.48-f x的极小值为f

19、 1二：，极大值为f -1=3. .33(2)fx二x -a x 1,当a -1时，f x在1,2单调递增，.f x最大值为f 2二詈-4a = 2，解得a =7(舍)；6当 1 1：a a；：；：2 2 时，f x在1, a)上单调递减，在(a,2上单调递增，.f x最大值为f 1或f 2,17 3a57由f2，解得a(舍)，由f 2 = 2，解得a. .6296175当a2时，f x在1,2单调递减，f x最大值为f(1)2，解得a二629(舍 ) )综上所述：a= =7 7. .6【点睛】本题考查了导数的应用：函数的单调性、极值、最值求参数等问题，也考查了分类讨论第1919页共 1818

20、 页思想和转化思想，属于中档题.第2020页共 1818 页2121 .已知函数 f(x)f(x) =e=ex_ax_ax2,a R,x(0, ：).(1(1)若 f f (x)(x)存在极小值，求实数 a a 的取值范围;e(2(2)若 f(x)f(x)的极大值为 M M，求证：仁M.2e【答案】(1 1)a； (2 2)见解析2ea2分类讨论，计算实数a的取值范围即可;【详解】F( x(1)由题意得f (x) = e 2ax = x 2ax当0 : x : 1时，得h(x) : 0，当x 1时，得h(x)0,h(x)在0,1上单调递减，在 1,1,；上单调递增，且x宀,h(x): ,X 0

21、,h(x)：:, h(x)min二h(1) = e.e1当2a_e，即a时，f(x) _0,于是 f(x)f(x)在(0,=)上是增函数，从而 f f (x)(x)在(0, ：) )上无极值.e2当2a e，即a时，存在 0 0 牛：1 1 ，使得f x. = f x2= 0,2且当x，0,为 时，f(x)0, f(x)f(x)在0必 上是单调递增；当x，為必 时，f(x)：0, f f (x)(x)在xx?上是单调递减；当x，X2,= 时，f(x)：0, f(x)f(x)在X2,上是单调递增， 故x2是 f f (x)(x)在(0,二)上【解 省 (1)求导f (x)=x2a，令h(x) x

22、丿工，则h(x)xex(x-1)，得h(x)在0,1上单调递减，在 1,1,；上单调递增,e讯乂馬屮1，(2(2)由(1 1)知，f x的极大值为M二X。X。(0,，),令g(xx卜;求导得g x在xe，令h(x)，则h (x)二xex(x-1)2x第2121页共 1818 页的极小值.综上，ae.2(2 2)由(1 1)知，f x的极大值为M = f x0f 0 =1.又M = fXo= e- axo= exo= ei 10,x三(0,1), 2xoI 2丿令g(x)二ex 1,x(0,)，则g (x)=丄(1 x)ex0,I 2丿2ee g x在区间(0,1)上单调递增，.g(x)：g(l

23、-,. 1：M :-. .【点睛】本题考查了导数在研究函数单调性、极值和最值中的综合应用，利用导数证明不等式成 立以及分类讨论思想，变换过程复杂，需要很强的逻辑推理能力，属于中档题.lx = cos。+ J3si na,2222 .在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)坐j = sina - J3cosa标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线I的极坐标方程为pcos【0 0兰卜3.I 6丿(1)(1) 求曲线C的普通方程和极坐标方程；(2)(2) 设射线OM - 3与曲线C交于点A，与直线I交于点 B B，求线段AB的长.3【答案】(1 1)x2亠y2=4- 2(2)2、3 -2【解析】(1 1)结合三角函数的基本关系消去参数可得普通方程，结合公式x=cosr,y =:?si n可得极坐标方程；(2 2)分别联立极坐标方程，求得交点的极径，从而可得线段AB的长.【详解】解：(1 1 )由题意得 x x2，y y2=(cos=(cos 二1 1 .3.3 sisi n n 二)2 (s(s inin J J3cos3cos_ _：i i) )2=4=4 ,-曲线C的普通方程为x2y 4.第2222页共 1818 页/ x =：cosr , y =：?sin ,代入可得曲线