第九讲极坐标参数方程的应用

1、高二下数学复习第九讲 极坐标参数方程的应用【考点回顾】 1直线的极坐标方程(1)过极点与极轴成角的直线的极坐标方程： ；（2）与极轴垂直到极点距离为的直线的极坐标方程： ；（3）与极轴平行到极轴距离为的直线的极坐标方程： ；（4）过(1，1)且与极轴成角的直线的极坐标方程为 ；2圆的极坐标方程（1）圆心在极点半径为的圆的极坐标方程： ；（2）过极点圆心在极轴上半径为的圆的极坐标方程： ；（2）过极点圆心在垂直于极轴的直线上半径为的圆的极坐标方程： ； （4）圆心在点M(,),半径为的圆的极坐标方程为 ；3圆锥曲线的统一极坐标方程： ；4曲线的参数方程(1)过点P0(x0，y0)，且倾斜角为的直

2、线的参数方程为 (t为参数,几何意义？)(2)圆 (xa)2(yb)2r2的参数方程为 (为参数，几何意义？)(3)椭圆1(a>b>0)的参数方程为 (为参数 )【典型例题】1.在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系曲线C的极坐标方程是4cos ，过点倾斜角为的直线l与曲线C 交于M，N两点；（1）求的值；（2）求线段MN的长2. 已知椭圆C的极坐标方程为2，点F1，F2为其左，右焦点，直线l的极坐标方程为sincos2.求：(1) 直线l和曲线C的普通方程；(2) 点F1、F2到直线l的距离之和3在极坐标系中，已知圆C的圆心C，半径r1；在直角坐标

3、系中（极轴为x轴的非负半轴），过定点P (2,2)倾斜角为的直线l，交圆C于A，B两点，求的最小值4已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点 为顶点的三角形的周长为.（1）求椭圆的标准方程；（2）若是以为直径的xOAPBCDy圆上异于的任意一点，直线与椭圆的交点分别为和，则是否为定值？若为定值，请求出；若不为定值，请说明理由。【巩固练习】 1. 已知曲线的参数方程为(t为参数)，则此曲线的离心率为 ；2. 设P是曲线(为参数)，上一动点P，则P到点A、B距离之和为 ；3. 已知点P的极坐标是(1，)，求过点P且垂直极轴的直线的极坐标方程为 ；4参数方程（为参数）表示的曲线是 ；5.

4、 已知直线的极坐标方程为sin，则极点到该直线的距离为 ；6在极坐标系中，已知圆C圆心为C，半径R，则圆C的极坐标方程为 ；7已知过极点O的动直线l与曲线C：交于P，Q两点，则的值为 ；8.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为(为参数)直线l的极坐标方程为cos2.点P为曲线C上的动点，则点P到直线l距离的最大值为 ；9. (镇江期末)P为椭圆1上任意一点，当P到直线x2y120的距离最小时，求P的坐标；10如图，AB是半径为1的圆的一条直径，C是此圆上任意一点，作射线AC，在AC上存在点P，使得AP·AC1，以A为极点，射线AB为极轴建立极坐标系，求：(1) 圆的极坐标

5、方程；(2) 动点P的轨迹的极坐标方程11在平面直角坐标系xOy中，动圆x2y28xcos6ysin7cos280(R)的圆心为P(x0，y0)，求2x0y0的取值范围；12过点作倾斜角为的直线与曲线相交于两点，求的最小值及相应的值。参考解答【考点回顾】1 (R)； cos a ；sin b；2r；2rcos ； 2rsin ； 34 【典型例题】1. 解化极坐标方程8cos 为直角坐标方程x2y28x0，所以曲线C是以(2,0)为圆心，4为半径的圆将参数方程(t为参数)代入. x2y28x0得（1）；（2）；2. 解：(1) 由sincos2，得直线l的普通方程为yx2；由2，得2(3cos

6、24sin2)12，即3x24y212，曲线C的普通方程为1.（2）F1(1,0)，F2(1,0)，点F1到直线l的距离d1，点F2到直线l的距离d2，d1d22.3圆C的直角坐标方程为，直线的参数方程为代入圆C的方程得：，由所以4解：（1） ；（2）是以为直径的圆异于的任意一点，设直线由消去得： 设的横坐标分别为，则，同理，（定值）.（2）用椭圆的极坐标方程更简便：椭圆的极坐标方程为【巩固练习】1解：曲线(t为参数)，可以化为x2y24，即1，a2b24.c2a2b28，c2， 离心率为e.2. 解：曲线表示的椭圆标准方程为1，可知点A、B为椭圆的焦点，故2a8.3. 解： 点P的直角坐标为

7、(1,0), 则过点P且垂直极轴的直线的直角坐标方程为x1，极坐标方程为cos1.4. 解：由 ，可得 ，即x21，化简得y12x2.又1x2sin21，则1x1，普通方程y12x2，在时图象为抛物线的一部分5解：由极点的直角坐标为O(0,0)，sin，sincos1，化为直角坐标方程为xy10；点O(0,0)到直线xy10的距离为d.即极点到直线sin的距离为.6. 解：解法1：设P(，)是圆上的任意一点，则PC R. 由余弦定理，得2222×2×cos5.化简，得24cos-10，此即为所求的圆C的方程. 解法2：将圆心C化成直角坐标为(1，)，半径R，故圆C的方程为(

8、x1)2(y)25.再将C化成极坐标方程，得(cos1)2(cos)25. 化简，得24cos10 ，此即为所求的圆C的方程. 7. 解：设点P的极角为，则点Q的极角为，因此有OP，OQ，1.8. 解：cos2化简为cossin4，则直线l的直角坐标方程为xy4.设点P的坐标为，得P到直线l的距离d，即d，其中cos，sin.当sin1时，dmax2.9解：设P(4cos，2sin)(02)，则点P到直线x2y120的距离为d，当cos1即时，dmin，此时点P的坐标为(2，3)10解：(1) 易得圆的方程为2cos. (2) 设C(0，)，P(，)，则02cos，01，所以动点P的轨迹的极坐

9、标方程为cos.11解：由题设，得(为参数，R)于是2x0y08cos3sincos()，所以2x0y0.12解：设直线方程为，代入，得. 设M、N对应的参数为，则.直线与曲线相交，即，所以当时，有最小值，此时或.思考题：1.（2008江苏21）在平面直角坐标系中，点是椭圆上的一个动点，求的最大值2已知直线l的参数方程为 (t为参数)，曲线C的极坐标方程为2cos 21.(1)求曲线C的普通方程；(2)求直线l被曲线C截得的弦长.3设P、Q是双曲线上的两点，若， 求证：为定值。5. 一袋中装有10个大小相同的黑球和白球.已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是. (1)求白球的个数；

10、(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的概率分布.6.在一个盒子中，放有标号分别为1,2,3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x、y，记|x2|yx|.(1)求随机变量的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；(2)求随机变量的概率分布.思考题答案5. (2)随机变量X服从超几何分布.解(1)记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A，设袋中白球的个数为x，则P(A)1，得到x5.故白球有5个.(2)X服从超几何分布，P(Xr)，r0,1,2,3.于是可得其概率分布为X0123P6. 思维启迪(1)根据x，y的取值，随机变量的最大值为3，当3时，只能x1，y3或x3，y1；(2)根据x，y的取值，的所有取值为0,1,2,3，列举计数计算其相应的概率值即可.规范解答解(1)x，y可能的取值为1,2,3，|x2|1，|yx|2，3，且当x1，y3或x3，y1时，3.因此，随机变量的最大值为3.4分有放回地抽两张卡片的所有情况有3×39(种)，P(3).故随机变量的最大值为3，事件“取得最大