2020届湖北省武汉市高三下学期3月质量检测数学(文)试题(解析版)

1、第1页共 18 页2020 届湖北省武汉市高三下学期 3 月质量检测数学(文)试一、单选题1 已知复数 z=( 1+2i) (1+ai) (a R),若 z R,则实数 a =()11A .B.C. 2D . - 222【答案】D【解析】化简 z=(1+2i)(1+ai)=1 2a a 2 i，再根据 z R 求解.【详解】因为 z=(1+2i)(1+ai)=:1 2aa 2 i,又因为 z R,所以a 20,解得 a = -2.故选：D【点睛】本题主要考查复数的运算及概念，还考查了运算求解的能力，属于基础题2 .已知集合 M = x| 1vxv2, N = x|x (x+3) 0贝 U MA

2、N =()A . - 3, 2)B. (- 3, 2)C.( - 1, 0D . (- 1, 0)【答案】C【解析】 先化简 N= x|x (x+3) 0=x|-3WW0,再根据 M = x|- 1vxv2，求两集合的交集【详解】 因为 N= x|x (x+3)w0=x|-3$w0,又因为 M = x|- 1vxv2,所以 MAN = x|- 1vx0在 - 1, 1恒成立，贝U实数 a 的取值范围是（）3亦A.a0B.aWC.a0在 - 1, 1恒成1立，转化为a x2在-1, 1恒成立再求解x【详解】当x 0时，不等式成立，a R当x 0时 关于 x 的不等式 x3- ax2+10在 -

3、1, 1恒成立，沿 SE、SF 及 EF 把这个正方形折成一个四面体，使Gi、G2、G3三点重合，重合后的A . SG EFG 所在平面B . SD EFG 所在平面C . GF ! SEF 所在平面D. GD ! SEF 所在平面第9页共 18 页1一、a x2在-1 1恒成立，x1x2，x彳0,x123.123时，g X所以 a 0故选：A【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题及导数求最值，还考查了转化化归的思想和运算求解的 能力，属于中档题12 .已知 ABC 的三边分别为 a, b, c,若满足 a2+b2+2c2= 8,则 ABC 面积的最大值为（ ）【答案】B2 222 2 2 24

4、 ab 8 3c 4S，而a b 8 2c 2ab，两式结合有2 22222 24S 8 2c28 3c216 5c2c2，再用基本不等式求解【详解】因为 a2+b2+2c2= 8,所以a2b28 2c2,解得x1时，g x 0.所以当xZV123时，g x取得极小值，又g 10,g 12,所以g x的最小值为 0.【解析】根据 a2+b2+2c2= 8，得到a2b28 2c2，由余弦定理得到2abcosC 8 3c2，由正弦定理得到2absin C 4S，两式平方相加得由余弦定理得cosC2 , 2 2a b c2ab8 3c22ab第10页共 18 页即2ab cosC 8 3c2第11页

5、共 18 页1由正弦定理得S absinc,2即2absinC 4S由，平方相加得4 ab2228 3c24S2ab228222c,22222A1165c2225c264所以4S8 2c283c165c2c2525即S2-，所以S红5,55128当且仅当a2b2且16 5c25c2即a2b2,c2时，取等号55故选：B【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理及基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力,属于中档题二、填空题13 .函数 f (x)= xlnx+1 在点(e, e+l )处的切线方程为 _.【答案】2x- y- e+1 = 0.【解析】根据函数 f (x)= xlnx+1，求导得

6、f x 1 In x,再分别求得f e,f e,用点斜式写出切线方程【详解】因为函数 f (x)= xlnx+1 ,所以 f x 1 Inx,所以f e 1 lne 2,f e elne 1 e 1,所以切线方程为：y e 12 x e,即2x y e 10.故答案为：2x y e 10【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，还考查了运算求解的能力，属于基础题cosx a14 .若函数 f (x)- 在(0,)上单调递减，则实数 a 的取值范围为_.第12页共 18 页sinx2【答案】a亠1.第13页共 18 页【解析】将函数 f（x）cosx a在（0,）上单调递减，转化f X1 a2csx

7、0 sinx2sin x1 1在f0,）上恒成立 即a在f0,）上恒成立 再求最大值即可.2cosx2cosx【详解】因为函数 f （x）cosx a在（0,）上单调递减，si nx2所以f x1严叫0在（0，）上恒成立，sin x21一、即a在（0，）上恒成立，cosx2因为x 0,2所以cosx 0,1，1所以（，1，cosx所以a 1.故答案为：a 1【点睛】本题主要考查了导数与函数的单调性，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.15.已知M x.1 y2y 1 x2，则 M 的最大值为【答案】1.【解析】 利用柯西不等式求解【详解】当且仅当严1七，即x2y21取等号.故

8、M 的最大值为 1 故答案为：1【点睛】本题主要考查了柯西不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题16 根据气象部门预报，在距离某个码头 A 南偏东 45 方向的 600km 处的热带风暴中 心 B 正以30km/h 的速度向正北方向移动， 距离风暴中心 450km 以内的地区都将受到影响，从现在起经过 _小时后该码头 A 将受到热带风暴的影响(精确到0.01).【答案】9.14h.由柯西不等式xC2x21 x221 y2y2第14页共 18 页【解析】 先建立坐标系，设风暴中心最初在 B 处，经 th 后到达 C 处.自 B 向 x 轴作垂 线，垂足为 D .若在点 C 处受到热带风

9、暴的影响，则 AC= 450,则有AD2DC2450, 即:(600sin4530t)2450；两边平方并化简、整理求解 .【详解】建立如图所示直角坐标系:设风暴中心最初在 B 处，经 th 后到达 C 处.自 B 向 x 轴作垂线，垂足为 D .若在点 C 处受到热带风暴的影响，则OC = 450,即.AD2DC2450,即(600cos45 )2(600sin45 30t)2450;两边平方并化简、整理得t2- 20、.2t+175 = 0二t10.2 5或10、2 5，10 ,2 5 9.14所以9.14时后码头将受到热带风暴的影响.【点睛】本题主要考查了三角函数的实际应用，还考查了运算

10、求解的能力，属于中档题三、解答题17.若等比数列an的前 n 项和为 Sn,满足 a4- a1= S3, a5- a1= 15.(1) 求数列an的首项 a1和公比 q;(2) 若 ann+100，求 n 的取值范围.【答案】(1) q = 2, a1= 1； (2) n 7.【解析】(1)根据 a4- a1= S3, a5- a1= 15，利用 q, aJ法求解.(2)由(1)建立不等式2n 1 n+100,通过估值法求解第15页共 18 页【详解】(1)Ta4- ai= S3, a5- ai= 15.显然公比 ql,3a11q3a1q 11 q ，解可得 q= 2, a1= 1,a1q41

11、15(2) 由(1)可得 an=2n 1,Tan n+100，即2n 1 n+100,解可得，n7.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式及其应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18 .如图，在棱长为 a 的正方体 ABCD - A1B1C1D1中，P, Q, L 分别为棱 A1D1, C1D1,BC 的中点.(1)求证：AC 丄 QL ;(2)求四面体 DPQL 的体积.【答案】(1)见解析；(2)爲3.8【解析】(1)取 CD 的中点 H，根据正方体的几何性质，有QH 丄 AC , AC 丄 HL ,再利用线面垂直的判定定理证明 (2)连接PB1, B1L,四边形 LDPB1是平行

12、四边形，根据等体积法，则有VQPDLVQ PB,LVLQPB1, 然后通过VLQPB1求解【详解】(1)证明：如图所示:第16页共 18 页H 为 CD 的中点，连接 QH , HL, P, Q, L 分别为棱 A1D1, C1D1, BC 的中点.所以 QH 丄 AC, AC 丄 HL , QHAHL = H,所以 AC 丄平面 QHL ,/ QL?平面 QHL , AC 丄 QL ；(2)解：如图所示:5Q/1. Xa 1/ 汀 j*-*-丿CAB连接 PBi， BiL，四边形 LDPBi是平行四边形，则VQPDLVQ PBLVL QPB1121111111VL QPB,二SPQB1AA1

13、a -a aa aaa a313222222213a.8【点睛】本题主要考查了正方体的几何特征和线面垂直的判定定理，以及三棱锥的体积，还考查了空间想象，推理论证，运算求解的能力，属于中档题19 一个小商店从一家食品有限公司购进10 袋白糖，每袋白糖的标准重量是500g,为了了解这些白糖的实际重量，称量出各袋白糖的实际重量(单位：g)如下：503, 502,496, 499, 491, 498, 506, 504, 501, 510(1) 求这 10 袋白糖的平均重量X和标准差 s；(2) 从这 10 袋中任取 2 袋白糖，那么其中恰有一袋的重量不在( x s,应 s)的概率是多少？(附： 0)

14、的焦点为 F , P 是抛物线r上一点，且在第一象uur限，满足FP(2,2、3)(1) 求抛物线r的方程；(2) 已知经过点 A ( 3,- 2)的直线交抛物线r于 M, N 两点，经过定点 B ( 3,- 6) 和 M 的直线与抛物线r交于另一点 L,问直线 NL 是否恒过定点，如果过定点，求出 该定点，否则说明理由.【答案】(1) y2= 4X； (2)直线 NL 恒过定点(-3, 0),理由见解析.【答(1) 501 , 5.08； (2)1645则其平均重量X64(X点P的坐标，再代入抛物线方程求解“4x yyi于(2)设 M(xo，yo)， N (xi， yi)， L (x2， y

15、2)，表示出 MN 的方程 y - 和 MLyoyi4x y0y2的方程 y - ，因为 A (3,- 2) , B (3,- 6)在这两条直线上，分别代入两yoy2直线的方程可得 yiy2= i2 ,然后表示直线 NL 的方程为：y-yi4(xyi2)，代yiy24入化简求解.【详解】(i)由抛物线的方程可得焦点 F ( , o),满足FP( 2 , 2、3)的 P 的坐标为(2 ,222 .3 ), P 在抛物线上,p22)，即P2+4P-i2=o，Po，解得P=2，所以抛物线的方程为：y2= 4x;即 y,yoyi-2), B (3 , - 6)分别代入 ，的方程【解析】(1)根据抛物线

16、的方程，求得焦点puuuF ( -，0)，利用FP所以(2、3)2= 2p (2(2)设 M (xo,yo),(xi,yi) ,L(X2,y2),贝廿 yi2= 4xi, y22= 4x2,直线 MN 的斜率则直线 MN 的方程为:yiyoXoyiyo22% y。4yiyo，y- yoyiyo(x同理可得直线 ML 的方程整理可得 y4xyo讐,64(Xi2 yyi第 i4 页共 i8 页可得yoyii2 yy2，消 yo可得 yiy2= i2 ,易知直线 kNL,则直线 NL 的方程为：y- yi2建),yiy2第20页共 18 页y”2-xy y2yi，故 yy212- xyiy2-yiy

17、?4所以 y(x+3),yiy2因此直线 NL 恒过定点(-3, 0).【点睛】本题主要考查了抛物线的方程及直线与抛物线的位置关系,直线过定点问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题sinx21 . (1 )研究函数 f (x)在(0,n)上的单调性;x(2)求函数 g (x)= x2+ncos 的最小值.2【答案】(1) f (X)在(0,n)递减；(2) 一 .4sinx【解析】(1)根据f X，求导得f xxxcosx sinx2，设 m (x)= xcos x -xsinx, x (0,n),通过求导来判断其正负，从而得到f (x)的正负，进而研究f (x)的单调性.(

18、2)易知 g (x)是偶函数，故只需求x 0 , +s)时 g (x)的最小值，求导得 g (x)=2x-nsinx,根据 sinx 的特点，分 x ( 0,)和x22时两种情况讨论 g( x)单调性，进而求其最小值【详解】sinxxcosx sinx(1)因为f x，所以f Xxx设 m(x)=xcos x-sinx,x (0, n),m(x)=-xsin xv0,所以 m (乂)在(0,n)递减，则 m (x)vm (0)= 0故 f (x)v0，所以 f (x)在(0,n)递减;(2)观察知 g (x)为偶函数，故只需求 x 0 , +s)时 g (x)的最小值,由 g(x)= 2x-n

19、sinx，当 x (0,) 时，设 n (x)= 2x-nsinx，贝 n (x)= 22-ncos(,显然 n (x)递增，而 n (0)=2- nV0, n一20 ,2第21页共 18 页第22页共 18 页由零点存在定理，存在唯一的x00, ，使得 n(Xo)= 02当 x (0,xo)时，n(x)v0, n (x)递减，当xXo，时，n (x) 0, n (x)递增，2而 n ( 0)= 0,n0，故x 0,时，n (x)v0,2 2即 x0, 时，g (x)v0,贝Ug (x)递减；2又当x,时，2xn nsinx, g (x) 0, g (x) 递增；22所以g(x)ming -2

20、4【点睛】本题主要考查了导数与函数的单调性及最值，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题x 5cos一22 .在直角坐标系 xOy 中，曲线 Ci的参数方程为(为参数)，以坐标原y 4si n点 o 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2：p2- 4pCOSH03 = 0.(1) 求曲线 C1的一般方程和曲线 C2的直角坐标方程；(2) 若点 P 在曲线 Ci上，点 Q 曲线 C2上，求|PQ|的最小值.2 2【答案】(1) J 1 , ( x-2)2+y2= 1 ; (2) 2.2516x 5cos【解析】(1)由 C1的参数方程为(为参数)，消去参数即可转换为直角坐y

21、4si n标方程，根据曲线 C2：p2-4pcos9+30.利用x cos ,y sin转换为直角坐标方程(2)设点 P (5COS94sin ),根据点 Q 在圆上，先求点 P 到圆心的距离，然后减去半径即为最小值【详解】第23页共 18 页x 5cos(1)曲线 Cl的参数方程为(为参数)，y 4si n2 2两式平方相加整理得 1.2516sin代入 p2 4pcos9+30.得 x2+y2 4x+3 = 0, 整理得(x 2)2+y2= 1 .(2)设点 P (5cos94sin9)在曲线所以:当 cos0=1 时，|PO|min=3,所以|PQ|的最小值 3 1 = 2.【点睛】本题主要考查了参数方程，普通方程，极坐标方程间的互化及点与圆的位置关系，还考 查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题23 .已知函数 f (x)= |2x a|+|x- a+1|.(1) 当 a= 4 时，求解不等式 f (x)82(2)已知关于x的不等式 f (