2020届辽宁省丹东市高三上学期期末教学质量监测数学(理)试题(解析版)

1、力第 1 页共 18 页2020 届辽宁省丹东市高三上学期期末教学质量监测数学(理)试题一、单选题1.设集合A x|x22x 3 0, B x|x 2 0，则AI B()A.(-1,2)B.2,3C.3, 1D.,2【答案】A【解析】由一元二次不等式的解法得出集体A，再得出集合 B，根据集合的交集运算可得选项【详解】由A x|x22x 3 0，即(x 1)(x 3)0，解得-1x3，所以A x| 1 x 3,又B x|x 20，即B (,2),所以AI B ( 1,2).故选：A.【点睛】本题考查集合的含义与表示和集合的运算，属于基础题【点睛】本题考查了复数的四则运算及复数模的计算，其中根据复

2、数的除法运算求得复数2.复数z1 i的模z()A . 1B.2【答案】D【解析】利用复数的除法运算，求得复数【详解】由题意z3 i (3 i)(1 i) 2 4i1 i (1 i)(1 i)2故选：D.C. 2D. 、51 2i，所以|z|x12( 2)2、 、5，z 1 2i,即可求解复数的模第2页共 18 页z 1 2i，再利用复数模的公式求模是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能第3页共 18 页3某商家统计了去年P,Q两种产品的月销售额(单位：万元) ，绘制了月销售额的雷达图，图中A点表示P产品 2 月份销售额约为 20 万元，B点表示Q产品额约为 25 万元.根据图中信息，下面统

3、计结论错误的是(【答案】B差、中位数、平均值的概念，可得选项【详解】品的销售额只有两个月的销售额比25 万元稍小，其余都在 25 万元至 30 万元之间，所以 P 产品的销售额的极差较大， 中位数较小，Q 产品的销售的平均值较大， 销售的波动 较小, 故选：B.【点睛】 本题考查识别统计图的能力，会根据图示得出其数字特征的大小关系，属于基础题4.( 1+2x2) (1+x)4的展开式中 x3的系数为A . 12B. 16C. 20D. 24【答案】A【解析】本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数【详解】由题意得 x3的系数为C：2C44 812，故选 A 【点睛】本题主要考查二项式定理

4、，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数9 月份销售P产品的清售额万元A .P产品的销售额极差较大B P产品销售额的中位数较大C Q产品的销售额平均值较大D Q产品的销售额波动较小【解析】由图示中 P 产品的销售额的波动较大,Q 产品的销售额的波动较小,再根据极据图求可以看出，P 产品的销售额的波动较大,Q 产品的销售额的波动较小,并且 Q 产月述第4页共 18 页5 设a 0.60.6,b 0.615,c 1.50.6，则a,b,c的大小关系是()A.a b cB.b c aC.b a cD.c b a【答案】C【解析】设f(x) 0.6x,g(x) 1.5x。根据指数函数的单调性和中介值1

5、 可得出选项【详解】设f (x) 0.6x，g(x) 1.5x。因为0.6 1，故 f (x)在R上单调递减，又因为当x 0时，f(x)1，所以0.61.50.60.51。因为1.51，故g(x)在R上单调递增，又因故选:C.【点睛】属于基础题.件可求选项.【详解】；sin 2cos故选:C.【点睛】将原式化为分式的齐次式，属于基础题.为当x 0时，g(x) 1,所以1.50.61,所以b a c。本题考查指数幕的大小比较，在比较时，一般需转化成同底数或同指，或者寻找中介值，6 .若sin 2cos，则cos2sin 212A .5【答案】CB.【解析】 将所求的表达式转化2cossin 2c

6、os22sinsin22coscos，代入已知cos2sin 2cos22sin cos:22sin coscos22 2cosT 222cos coscos1本题考查正弦的二倍角公式和同角三角函数的平方关系，关键在于运用平方关系中的 ” 1”，第5页共 18 页nB.-3【答案】B【解析】根据题意，建立a与b的关系，即可得到夹角.【详解】因为a b b,所以a b b=o,则ab b2=0，则2b2cosob2=o，所以1nCOS0=，所以夹角为 故选 B.23【点睛】本题主要考查向量的数量积运算，难度较小8.设 ， 是两个平面，m,n是两条直线，下列命题错误 的是（）A .如果m,n /

7、/，那么m nB.如果/,m，那么m/C .如果m n,m,n/ /，那么D .如果 内有两条相交直线与 平行，那么/.【答案】C【解析】对于 A 选项，由线面垂直的性质定理，线面平行的性质定理和空间的直线所成的 位置关系可证m n;对于 B 选项,由面面平行的性质定理可得m/；对于 C 选项，与 相交或平行，故C 选项是错误的；对于 D 选项，由面面平行的判定定理可得/.【详解】由，是两个平面，m,n是两条直线，得：对于 A 选项，如果m,n/，那么由线面垂直的性质定理，线面平行的性质定理和空间的直线所成的位置关系可证得m n,故 A 选项是正确的.对于 B 选项，/,m，由面面平行的性质定

8、理可证得m/，故 B 选项是正确的.对于 C 选项,m n,m,n/，贝 y 与 相交或平行，故 C 选项是错误的. 对于 D 选项，内有两条相交直线与平行，由面面平行的判定定理可得/,故 D7 .已知非零向量满足av2 b，且v，则a与v的夹角为()第6页共 18 页选项是正确的.故选:C.【点睛】本题考查线面垂直的判定，线面平行的判定，线线垂直的判定等空间的线线，线面，以及面第7页共 18 页赛制为 5 局 3 胜制，若甲乙两队水平相当，则最后甲队以3:1获胜的概率为（）31A .B.-164【答案】A由已知得甲队以3:1获胜 则前 3 局中，甲获胜 2 局,乙获胜 1 局，第 4 局甲获

9、胜根据独立重复实验的概率的计算可得选项【详解】11由已知得，设事件 A:甲队获胜，则P A,事件 B:乙队获胜，则P B，甲队以3:122获胜，则前 3 局中，甲获胜 2 局乙获胜 1 局，第 4 局甲获胜，则甲队以3:1获胜的概率为2厂211 13C3，22 2 16故选:A.【点睛】法，求解原理，属于基础题10 下列函数中，其图象与函数y igx的图象关于点1,0对称的是（ ）A.y ig 1 xB.yig 2 xC .y logo.11xD . ylog0.12x【答案】D【解析】设M x, y为所求函数图象上任意一点，求得点M关于点1.0的对称点N 2 x, y必在函数y lgx的图象

10、上，代入可得选项.【详解】设M x,y为所求函数图象上任意一点，则由已知可得点M关于点1.0的对称点面的关系，属于基础题.9.甲乙两队进行排球决赛,【解本题考查独立重复实验的概率的求解方法，关键在于明确比赛的规则在数学中的表示第8页共 18 页N 2 x, y必在函数y lgx的图象上，所以y lg 2 x,即y Ig 2 xlog0.12 x,故选:D.【点睛】本题考查函数关于某点对称的函数，关键在于设所求函数上的点，根据对称，可得所设关第9页共 18 页于已知点的对称点的坐标，再代入原函数的解析式中，属于基础题11.关于函数 f xsinx sinx 有下述四个结论:f X是偶函数f x在

11、区间,0单调递减2f X在，有 4 个零点f x的最大值为 2其中所有正确结论的编号是()A .B.C .D .【答案】A【解析】 根据函数的奇偶性的定义可判断出函数的奇偶性，讨论区间得si nx的正负和x【详解】f(x)的定义域为(，)，故正确；f (x)2si nx有一个零点所以 f (x)在，上有三个零点，故不正确;当x 0时，f(x) sinx |sinx|其最大值为 2,又因为函数 f(x)是偶函数，所以函数 f(x)的最大值为 2,故正确.所以正确的命题有，故选:A.【点睛】本题考查函数的奇偶性、三角函数的图象与性质；考查学生的推理论证能力和运算求解能力；考查的核心素养是逻辑推理，

12、关键在于讨论化简函数的表达式，属于中档题的正负可化简函数x的表达式，再由ysin x的单调性，值域，零点可判断得出选项f ( x) sin | x | sin( x) | sin | x |si nx| f(x)，.f (x)是偶函数，故正-，0 时，f (x)sin x sin x2si nx，. f (x)在 x2,o 单调递减，当x 0，时，sin x 0，f (x)2sin x有两个零点：0，当x ，0)时,第10页共 18 页212.抛物线C:y 2px p 0的焦点为F，过F且斜率为1的直线与C交于A,B两点，若AB 8，则p()第11页共 18 页【答案】C【解析】设过F且斜率为

13、 1 的直线方程为y x卫，与抛物线方程联立可得根与系数关2系，再利用弦长公式|AB| . (1 1) x,x224x2，即可得出P.【详解】2设A为， ,B X2，y2，则x1x23p,x1x2,4| AB | , (1 1) % x224X1X22 9p2p2故选:c.【点睛】本题考查了直线与抛物线相交问题、根与系数、弦长公式二、填空题13 .已知函数f x在R单调递减，且为奇函数，则满足f x 1 f x 3 0 的x的取值范围为_ .【答案】(1，+?)【解析】 由函数f x的单调性和奇偶性得 x 13 x,解之可得答案.【详解】因为函数f x在R单调递减，且为奇函数，所以f X 3

14、f x 3 f 3 x ,所以由 fx1 f x 30 得 fx1 f 3 x ,所以 x 1 3 x，解得x 1,故答案为：1,【点睛】本题考查运用函数的奇偶性和单调性求解不等式，关键在于由性质，化简不等式，得到关于x的不等式，属于基础题.14 .a2b2c2ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，右ABC的面积为4设过F且斜率为 1 的直线方程为ypx冬联立x士化为x23px0,2 px8,解得p 2.，属于中档第12页共 18 页故答案为【点睛】本题考查三角形的面积公式和余弦定理的应用，关键在于熟悉各公式的特点，选择合适的公式，属于中档题a2交于P,Q两点，若PQ OF，则C的渐近

15、线方程为【答案】y x【解析】 根据双曲线的几何性质，圆的几何性质，得出其中的线段的关系|OP |2| PF |2|OF |2，可得a2b2，可得出双曲线的渐近线的方程【详解】由题意得下图：由双曲线C的性质得F(c,0),又以 OF 为直径的圆与圆x2y2a2交于P,Q两点，且| PQ | | OF |,所以PQ为以 OF 为直径的圆的直径，OP a,PF OP,【答【解根据三角形的面积公式和余弦定理，由已知条件可SVABC1bcsin A1bc cos A,再根据二角形中的角的范围可得所求的角2【详在VABC中,SVABC12bcsinA,而SVABCa2b2c2由余弦定理得a2b2c22b

16、ccosA，则SvABC2bccosAbc cos A2故bcsin A21bccosA，贝U sin A2cosA。由于A3(0,)，则A 。42X15 .设F为双曲线C: -2ab21 a 0,b0的右焦点,O为坐标原点，以 OF 为直径的圆与圆x2y2第13页共 18 页所以|OP|2| PF |2|OF |2，则a2a2c2,2a2c2,所以a2b2,所以C的渐近线方程为y x.第14页共 18 页本题主要考查双曲线与圆的几何性质，关键在于由其几何性质，得出线段的关系，并且与双曲线的a,b,c建立联系，属于中档题16 .已知正三棱柱ABC A1B1C1的六个顶点都在球0的表面上，AB3

17、，异面直线 AC13与BC所成角的余弦值为一，则AA1，球0的表面积为10【答案】428【解析】分别取AB、AC、CC1的中点E,F,G，连接GF、EF、EG,因为EF/CB,FG/AC1,则DEFG（或其补角）为异面直线AG与BC所成的角，运用余弦定理可求得AA的长,设上下底面的中心为M , N，连接MN，则球0的球心为MN的中点,连接MC OG，根据勾股定理可求得球半径，再运用球体的表面积公式可求得球体的表面积【详解】分别取AB、AC、CC1的中点E,F,G，连接GF、EF、EG,因为EF/CB,FG/AC1,则DEFG（或其补角）为异面直线 A。与BC所成的角,设正三棱锥的高为h,AB

18、3,则有EF中，由余弦定理得:cos EFGEF2FG2EG22 EF FG第15页共 18 页设上下底面的中心为M , N,连接MN，则球O的球心为3 9h2,GF i-,EG2 14499 h227蛍44444c 3h22 打，-24310,解得h 4,所以27 h，在 EFG44MN的中点，11第 10页共 18 页MO 2,MG3,OCi所以球O的表面积为4:/ 22：7,_ 2728,故答案为：4,28【点睛】本题考查正三棱柱的线面关系,线线关系，以及正三棱柱的外接球的表面积，关键在于运用几何体的线线关系，线面关系，求得外接球的球心的位置和球的半径，属于中档题三、解答题17 设Sn是

19、数列an的前n项和，且印(1)证明：数列是等差数列;&(2)求an的通项公式【答案】(1)证明见解析(2) a1,n1,n 2,n【解析】(1)由an 1Sn 1Sn，得1两边同除以丄Sn1可证得数列是等差数列.1(2)由(1)得n ,SnMl1n 2时，由 anW &分n 1,n 2,得通项.n【详解】(1)因为an 1Sn 1Sn，所以S11SnSnSm.两边同除以Sn 1得Sn 11Sn11第 10页共 18 页第18页共 18 页因为ai1，所以丄1.因此数列丄 是首项为-1，公差为-1 的等差数列.Sn(2) 由（1） 得11Snn 11n,Sn1 n当n2时， an

20、Sn 1Sn1 n n 1 .1,n1于是an1,n*2,n N n n 1【点睛】本题考查数列中an与Sn的关系，构造等差数列，求数列的通项的时候，注意验证n 1时 是否满足，属于中档题18 .经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t 该产品获利润 500 元，未售出的产品，每 1t 亏损 300 元根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如右图所示经销商为下一个销售季度购进了130t 该农产品以 x （单位：t,100 0.1+ 53 000 0.2 + 61 000 0.3+ 65 000 0.4 =59400.为AC的中点.(1) 证明：PO平面ABC;(2)

21、 若点M在棱BC上，且二面角M PA C为 30 ,求PC与平面PAM所成角的正弦值.19 .如图，在三棱锥P ABC中，ABBC 2.2，PA PB PC AC 4,O【答(1)见解析(2)【解析】(1)根据等腰三角形性质得PO 垂直 AC,再通过计算，根据勾股定理得PO 垂第20页共 18 页直 OB ,最后根据线面垂直判定定理得结论;(2)根据条件建立空间直角坐标系，设立各点 坐标，根据方程组解出平面 PAM 一个法向量，利用向量数量积求出两个法向量夹角,第21页共 18 页根据二面角与法向量夹角相等或互补关系列方程，解得M 坐标，再利用向量数量积求得向量 PC 与平面 PAM 法向量夹

22、角，最后根据线面角与向量夹角互余得结果【详解】(1) 因为-AC-4 为駅的中点，所以且连结 I电因为- 7 ,所以为等腰直角三角形，2且丄AC, 0B=扣工由円丁知卞二:丄法由甘知陰 儿平面匸 詔(2) 如图，以 Q 为坐标原点，的方向为苦轴正方向，建立空间直角坐标系由已知得 0(OQQ)卫(2QQ),禺 0, - 2 卫),C(02O).P(OQ2g),2.炳取平面 PAC|的法向量 设卜陨 1 仁:鳥“严邈，则./ ?： - .-肖=型.设平面 mi 的法向量为由PFFAS/F O得盘匕，可取八-(岳 T 辰-町,凯3 qji 4-厂，亠所以 n 三(-.-J.又 (02 -耳 3：，所

23、以 cos(PC,n)凋所以虞:与平面 PAX 所成角的正弦值为4【点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于四破”：第一，破 建系关”构建恰当的空间直角坐标系；第二，破 求坐标关”准确求解相关点的坐标；第三，破求法向量关”求所以co$OB.n)-_ Xa - 4)2 林-斗r F+由已知得|cos(OB,n)| = 所以2凋引5(舍去)第22页共 18 页2Xy x t与2当8 3 t20时，即所以 DM | |DN 2 X1X2由(1)得A 0,y21联立得3x24tx 2t22、3t . 3时，XX24(t210.2t221，A 0,1所以DA DB t 1 t 1 t21出平面的法向量；

24、第四，破应用公式关20 已知圆Oi:X2y22x 7 0,动圆O2过定点F 1,0且与圆Oi相切，圆心。2的轨迹为曲线C.（1）求C的方程；（2）设斜率为 1 的直线|交C于M,N两点，交y轴于D点，y轴交C于A，B两点，若 DM| |DN|DA |DB，求实数 的值.2【答案】（1）y21（ 2）-23【解析】（1）根据圆与圆的位置关系得出圆。2与圆。1相内切，曲线C是以点F 1,0，F 1,0为焦点的椭圆，继而求得轨迹方程；【详解】因为 FF 22、2，所以曲线C是以点F 1,0，F 1,0 为焦点的椭圆2由a 2，c 1,得b 1,故C的方程为xy21.（2）设l:y x t，M为，*

25、，N X2,y2，则D 0,t，DM , X102y1C2 X1， DNX2(2)设 | :x t，MX1, y1，N2xX2, y2，则D 0,t，y x t与y21联立得3x24tx22t 20根据根与系数的关系和两点的距离公式可得出1，由根的判别式得t的范围，可得出实数的值.（）圆。1的圆心为1,0，半径为2,2，点F在圆。1内，故圆。2与圆。1相内切.设圆。2的半径为r，则|。2日r，O2O12 近r，从而 QQ O2F242.12第23页共 18 页当、3 t .3且t 1时，当t 1时，可以取任意实数4综上，实数的值为上.3【点睛】,直线与圆锥曲线的综合问题，考查运算求解能力、方程

26、思想,体现了数学运算的核心素养，属于中档题21 已知函数 f x 戶 Inx.1 x(1)讨论函数f x的单调性;(2)证明：在(1,+?)上存在唯一的X。，使得曲线y Inx在x xo处的切线I也是曲 线y ex的切线.【答案】(1)f x在(0,1)单调递增，在(1,+?)单调递增.(2)证明见解析x21【解析】(1)得出函数f x定义域为0,1 U 1,，求导得fx2,可x 1 x得出函数f x的单调区间.值的正负可得证.等式DM DNDA DB可化为24t 13本题考查椭圆的定义及几何性质(2)得出曲线在yIn x在xx。处切线i的方程为y丄xX。In x1.设I与曲线exy ex相切

27、于点x1x1X。In xf x的零点时,I是曲线y的切线，再由f，可得f x00,即当且仅当x0是1,单调递增，特殊点的函数12第24页共 18 页(1)f x定义域为0,1 U1,因此f x在0,1单调递增，在1,单调递增.【详解】第25页共 18 页的切线【点睛】本题考查运用导函数研究函数的单调性，切线,零点，关键在于构造合适的函数，对其求导,判断导函数的正负，得出所构造的函数的图象趋势，属于难度题.22.平面直角坐标系xOy中，倾斜角为 的直线 I 过点M( 2，4),以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为sin22cos.(1) 写出直线I的参数方程(

28、为常数)和曲线C的直角坐标方程；(2)若直线I与C交于A,B两点，且MA MB 4o，求倾斜角的值.x2 tcosa【答案】(1)直线I的参数方程为(t为参数)，曲线C的直角坐标方y4 tsina程y22x； (2).4【解析】(1)直接写出直线I的参数方程，将曲线C的极坐标方程化为2sin22 cos，再将x cos,y sin代入上式即可得解；(2)把直线I的参数方程代入y22x中，得t2sin2(2cos 8sin )t 200,一20由一元二次方程根与系数的关系得：讯22，再根据直线的参数方程中参数的几何(2)曲线在y Inx在xxo处切线|的方程为y1x In x01Xo设I与曲线y ex相切于点 X1,eX1，则exXo1xiXoIn x01X),消去X1得 rlnxoo，即f X。0.于是当