量子力学教程及答案第8章习题

1、第 8 章习题习题 8.1 假设在一维无限深方势阱（ -a < x < a ） 的中心加入一个 d 函数势微扰H ¢ = ad (x) ，其中a 为。并解释 n 为偶数的能级不受到扰动的（a）（b）（c）求出能级的一级。求出基态波函数一级的前三个非零项。求能级的。æ npö1y =sin(x + a) ，其能级是非简并的，0解：（a）所给一维无限深方势阱的波函数为ç÷naè2aø公式 E(1) = yy，可得到0n0H '就是零级近似波函数。根据能量的一级nn= aapapæ nö&#

2、230; n öa( )ò= yy(x + a) d x dx =sinE(1)0n0n22H 'sinç 2a÷ç÷nèøaèø2-a当 n 为奇数时， E(1) = a / a ；当 n 为偶数的时候， E (1)= 0 ，这是因为对n 为偶数的波函nn数，它在势阱中心 x = 0 处的波函数为零，因此感受不到此处的微扰。（b）基态波函数的一级为¥ån=2y=y(1)0n1E0 - E01n其中矩阵元为= asin æ np (x + a öd

3、 ( x)sin æ p(x + a) ö dxaòyy0nH '0ç 2a÷ç 2a÷1aèøèø-a= a sin æ np öç÷aèø22p 22m(2a)2 (1- n)E1 - E =002n前三个非零n = 3,5,7 ，a 2m(2a)2 é1öùæ 3pæ 5pæ 7pö -ö +112411481y=(1)sin 

4、31;(x + a) ÷ a2asin ç(x + a) ÷ a2asin ç(x + a) ÷ú a2aê8p 2 21aèøèøèøûë（d） 能量的公式为矩阵元为H ¢2E(2) = åmnnE(0) - E(0)m¹nnmy 0nH 'y 01= asin æ np (x + a öd ( x)sin æ mp (x + a) ö dxaòyy0n0m

5、H 'ç 2a÷ç÷aèøè2aø-a= a sin æ np ösin æ mp öç÷ç÷aèøèø22仅当 n，m奇数时，矩阵元才不为零。2p 22m(2a)2 (n - m)En - E=0022mH ¢2a 22m(2a)2sin(np / 2) sin(mp / 2)E(2) = åmn=åm=奇E(0) - E(0)a2p 2 2nn2 - m2

6、m¹nnm习题 8.2 在三维无限深方势阱如果0 < x, y, z < a其他地方V (x, y, z) = ì 0,í¥,î中引入微扰如果0 < x < a / 2, 0 < y < a / 2其他地方H ¢ = ìV0 ,í0,î（a）（b）（c）求无微扰时体系的能级和定态波函数。求基态和第一激发态能量一级（注意第一激发态是三重简并的） 求第一激发态的零级近似波函数解：（a）无微扰时体系的波函数是æ nypöæ 2 ö3/2

7、æ n pöæ n pöy (0)=(n , n , n =1, 2,3,.)sin x xsinçy ÷sin z zç a ÷ç÷ç÷ç÷nx ,ny ,nzxyzaaaèøèøèøèø能级为= p 2 2(n + n + n )E(0)222nxnynz2ma2xyz（b）基态， nx = ny = nz = 1 非简并，能量一级为æ 2 ö3

8、0; pöæ pöæ pö1a/ 2a/ 2a/ 2òò0ò0E(1) = y (0)H ¢ y (0)=Vsin2x dxsin2y dysin2z dz = V111ç a ÷ç a ÷ç a÷ç a÷111111004èøèøa / 4èøa / 4èø0a / 2对于第一激发态，我们需要利用简并微扰理论。第一步是计算矩阵元。它的对角元素和基

9、态是相同的（除了一个正弦函数的变量由p x / a 变为了2p x / a ）：设y112 ºy a ,y121 ºy b ,y 211 ºy c对角元为H ¢ = H ¢ = H ¢ = 1 Vaabbcc04非对角元为3a/ 2æ psin2a/ 2æ psiny ösinæ 2ppz ösinæ p z ö dz = 0= æ 2 öx ö dxy ö dysinæ 2aòò0òH

10、 ¢Vabç a ÷ç a÷ç a÷ç÷ç÷ç a÷0èøèøèøèaøèaøèø0003a/ 2æ psinx ösin æ 2p x ö dxa/ 22 æ psinæ 2pz ösin æ p z ö dz = 0= æ 2 ö

11、46;aacç a ÷0 ò0ò0òH ¢Vy dysinç a÷ç÷ç a÷ç÷ç a÷èøèøèaøèøèaøèø003a/ 2æ psinx ösinæ 2p x ö dxpy ösinæ p y ödy a sin2 æ p z &

12、#246;dz =V= æ 2 öæ 216a/ 2òòò0H ¢Vsinç a ÷ç a÷ç÷ç÷ç a÷ç a÷bc09p 20èøèøè2a/3paøèaøèø2a/3pèø1a/200而169p 2= ( H ¢ )= (H ¢ )= (H ¢ )*

13、=*H ¢¢¢= 0, H= 0, HV ,baabcaaccbbc0所以微扰矩阵为æ 10 ö01k1çk ÷649p 2¢k ºH =V0ç÷04ç 01 ÷èø设本征方程为æ 10 öæ c1 öæ c1 ö01k1 Vç 0k ÷ç c÷ = 1 V l ç c÷0 ç÷ç2 ÷0

14、2 ÷ç44ç 01 ÷ç c ÷ç c ÷èøè 3 øè 3 ø久期方程为1- l00k1- l01- l= 0 Þ (1- l)3 - k 2 (1- l) = 0k0l = 1, l = 1± k本征值为（能量一级）V , V (1± k ) 4 0 4 0（d） 若求零级近似波函数，需要对能量一级求出对应的c1, c2 , c3l = 1 ，æ 1110 öæ c1 ö

15、0; c1 ö01kç 0k ÷ç c ÷ = ç c÷ Þ c = c = 0, 归一化c = 1ç÷ç2 ÷2 ÷23ç1ç 01 ÷ç c ÷ç c ÷è故零级近似波函数为øè 3 øè 3 øy=y=y(0)l=1a112l = 1+ kæ 101k0 öæ c1 öæ c1 &#

16、246;ç 0k ÷ç c÷ = (1+ k ) ç c ÷ Þ c = 0, c = c12归一化c = c =ç÷ç2 ÷ç2 ÷12323ç 01 ÷ç c ÷ç c ÷èøè 3 øè 3 ø故零级近似波函数为121(y) =(y)y+y+y(0)l =1+k=bc1211122l = 1- kæ 101k0 ö

17、0; c1 öæ c1 ö12ç 0k ÷ç c÷ = (1- k ) ç c ÷ Þ c = 0, c = -c归一化c = -c=ç÷ç2 ÷ç2 ÷12323ç 01 ÷ç c ÷ç c ÷èøè 3 øè 3 ø故零级近似波函数为121(y) =(y)y=-y-y(0)l =1+kbc1211122是 H &#

18、162; 的期待值，即容易验证，这三个零级近似波函数是相互正交的，能量一级1 V= yH ¢ y(0)l =1(0)l =1041 VH ¢ y(1+ k ) = y(0)l =1+k(0)l =1+k041 V(1- k ) = yH ¢ y(0)l =1-k(0)l =1-k04习题 8.3 一个量子系统仅有三个相互线性的态。假设哈密顿量的矩阵形式为：æ1 - e01e0 öçe ÷H = V00 ç÷ç2 ÷0è1）。ø其中， V0 为， e 为一小量（ e(

19、a) 求出无微扰(e = 0) 时哈密顿量的本征态和本征值。(b) 严格求解 H 的本征值。结果展开为e 的幂级数，展开到e 的二次项。公式，求出由 H0 的非简并本征态所生成态的近(c) 利用非简并微扰理论的一级和似本征值。同（a）中的精确结果比较。(d) 利用简并微扰理论，找出两个原来简并的本征值的一级解：（a）无微扰情况下哈密顿的矩阵表示是：。同精确结果比较。æ 10 ö010ç 00 ÷= VH 00 ç÷ç 02 ÷èø已是一个对角矩阵，它的对角元就是 H 0 的本征值。本征值为V ,

20、V ,2V ，对应的本征态000为æ 1 öç÷æ 0 öç÷æ 0 öç÷y= 0 ，y= 1 ，y= ç 0 ÷00203ç÷ç÷1ç 0 ÷ç 0 ÷ç 1 ÷èøèøèø（b）设本征值为V0l ，哈密顿 H 的久期方程为1det ( H - lV0 ) = V03131所以： l1 =1-

21、e ， l2 =-1 + 4e， l3 =+1 + 4e222222能量本征值为= 3V0 - V0= 3V0 + V0= (1 - e )V1 + 4e 2 ， E1 + 4e 2E， E10232222利用函数展开式+1+ 1 x - 3 x2 +51628可以将本征值 E2,3 展开为关于e 的级数，精确至二次：E » (1- e 2 )V()， E » 2 + eV22030（c）微扰哈密顿的矩阵表示为：æ -eç00eH ¢ = H - H 0 = V00 çç0èy非简并，一级能量为：03E1 = yH

22、 ¢ y= W= 00303333能量为：2y的能量为：0所以在下非简并态3E = 2V + e V2300它正好是（b）中 E3 的精确解关于e 的精确至二次的结果。yy，首先解久期方程：00（d）下面考虑有二重简并的本征态和12H ¢ - E1H ¢-eV - E10-E1= 0 Þ E1 = 0, -eV111200H ¢H ¢ - E102122于是简并情况的能量经过一级之后为：E1 = V0 - eV0 ， E2 = V0能量简并被消除。与（b）中的结果对比可知上式与精确解在保留到一次的结果一致。习题 8.4 求出一维谐振子

23、能级的相对论（最低级的）。解：由相对论公式，对能量的相对论可以表示为 12mc2éùûE = -1E - 2E V +2V 2ër1V =E ，所2n2所以我们需要求出一维谐振子的 V 和 V。我们已经知道，对谐振子以1E1 =- V 2r2mc2利用产生与湮灭算符有：2mw (a+ a- )x = 1 m 2w4116(a + a)2y(a + a)2y2y2w2=V 2n+ -n+ -n44而(a)2y= a y + a a y + a a y + a y+ a22+-n+n+ - n- + n-n= a y + a a y + (1 + a a )

24、y + a y22+ n+ - n+ -n-n=(n + 1)(n + 2)y n+2 + (2n + 1)y n +n(n -1)y n-2所以1163162w2 (2n2 + 2n +1)2w2 é(2n +1)2 + (n +1)(n + 2) + n(n -1)ù =V 2=ëû2w23(2n + 2n +1)Er = -1232mc2习题 8.5 氢原子准确的精细结构公式（直接由相对论的狄拉克方程求出而没有利用微扰理论）为：ìé-1/ 2ö2 ùüïæaï 

25、4;úE = mc1+ ç÷2-1ýíç n - ( j +1/ 2) +( j +1/ 2)2 -a 2÷ïêúnjïèøîë展开至a 4 项（注意到有aûþ1），并证明你重新得到了利用微扰理论所得的公式13.6eV éa 2 æ3 öùn= -1+-Enjê÷úçn2nj +1/ 224 øûèë解：a

26、<< 1 Þ a << j + 1 / 2 Þa<< 1j + 1 / 2a 2éa 2ùa 211（j+1/2）-a = ( j +1/ 2)221-( j +1/ 2)2» ( j +1/ 2) 1-= ( j +1/ 2) -êú2 ( j +1/ 2)22 ( j +1/ 2)ëû a=aa 22( j +1 / 2)n - ( j +1 / 2) +( j +1 / 2)2 -a 2n - ( j +1 / 2) + ( j +1 / 2) -é&#

27、249;úa êaa éa 2ù1ênú »=n ê1+ 2n( j +1 / 2) úa 22( j +1 / 2)a 2ê1-úëûn -êë2n( j +1 / 2) úû所以-1/ 2ö2 ùé2 ù-1/ 2æéê1+ ça÷= ê1+ a æ1+aö ú22úç2n(

28、 j +1 / 2) ÷ç n - ( j +1 / 2) +( j +1 / 2)2 -a 2÷êún2êúèøèøëûëûöù-1/ 2éa 2 æa 21 a 2 æa 23 a 4ö» ê1+ n2ç1+ n( j +1 / 2) ÷ú» 1-1+ 2+ç÷n( j +1 / 2)8 nn24

29、2;øûèøë1 a 2a 4æ-n3 ö4 ø= 1-+2 n2+ç÷2n( j +1 / 2)4è+÷ -1ú = mc2 ê-2+Enj1çç÷ú2 n22n4 è ( j +1/ 2)2)4 ø4 øûûë= - mc2a 2 é3 öùéa 2 æ-na 2 æ-n13.6eV1-+

30、47;ú = -ê1-+ê÷ún ç ( j +1/ 2)çn è ( j +1/ 2)2n22224 øûn4 øûèëë习题 8.6 质子自旋为1/ 2 ，它的磁矩为gpe S =2mppp其中质子的朗道因子为 gp = 5.59 。这个磁矩形成一个磁场m0é3( × r)r - ù + 2m0 d 3(r)B =4p r3 ëp ûpp3其中 m0 是真空磁导率， r 是沿径向的矩的相互作用

31、为矢量， d 3(r) 是三维d 函数。质子磁矩与电子磁é3(S p ×r)(Se ×r) - S p ×Se ùm gm ge2e2ëûr3(× S )d 3(r)H ¢ = 0 p+ 0 p3Shf8pm mpep e由此引起的氢原子能级的称为超精细结构。对l = 0 的态，波函数是球对称的，上式第一项的平均值为零，能量的仅由第二项决定。精细结构对氢原子基态的能量。注意无微扰时，由于质子自旋与电子自旋耦合，氢原子基态是 4 度简并的，你自旋¾自旋耦合表象中讨论问题。解：按照微扰理论，能量的一

32、级就是微扰哈密顿量的平均值：m g3(S × r)(S × r) - S × Se2=0ppepeE1hf8p m mr3p em ge22+0pS × Sy (0).pe3m m p e对基态（或者对于 l = 0 其它态），波函数是球对称的，第一项的平均值为零。另外，23y100 (0) = 1/(p a ) , 所以对于基态能量一级为m ge2E1=0 pS × S.3p m m a3hfpep e它称为自旋自旋耦合，因为它和两个自旋的点积有关（对比于自旋轨道耦合，它和S × L相关）。在自旋自旋耦合时，单个的自旋角动量不再是守

33、恒量；“好的”量子态为总自旋的本征矢, 和以往一样，我们对上式进行平方，得到：(0.1)但是电子和质子都具有 1/2 的自旋，所以在三重态（自旋“平行”），总自旋为 1，因此；在自旋单态，总自旋为 0，因此所以，4ì+1/ 4, 三重态4g=pE1í(0.2)hf3m m c a-2 43 / 4,单态p eî自旋自旋耦合打破了基态的自旋简并，抬高了三重态的能级，降低了单态的能级（见图 6.13）。能量间隔显然为，44g=p= 5.88´10-6 eVE1(0.3)hf3m m c2a4p e图 6.13：基态氢原子的超精细。伴随三重态跃迁到基态所出的光

34、子的频率为，(0.4)对应的波长为c /u = 21cm ，它属于微波段。这个著名的 21 厘米长谱线是宇宙中最普遍的射线之一。习题 8.7 如果氢原子的核不是点电荷，而是半径为b ，电荷均匀分布的小球，计算这种效应对氢原子基态能量的一级。解：这种分布只对 r < b 的区域有影响，对 r ³ b 的区域无影响。据题意知H ¢ = V (r) -V0 (r)其中V0 (r) 是不考虑这种效应的势能分布，即e2V（0 r）=- srV (r) 为考虑这种效应后的势能分布，在 r ³ b 区域，e2V (r) =- sr在 r < b 区域，V (r) 可

35、由下式得出，¥V (r) = -eòr Edr其中电场ì1e× 4 p r3 =e×(r £ b)r,ï 4pe4 p b34per2b33e2E = í030e2 ºs4peeï (r ³ b)0ï4per2î0¥beEdr - eòb EdròV (r) = -r2e1b¥3 òòb r2= -rdr - e2sdrsbre2e2e2= - s (b - r ) - s = - s (3b- r )(r

36、 £ b)22222b3b2b3所以ì-e2e2 s (3b - r) + s r(r £ b)ï22H ¢ = V (r) -V0 (r) = í2b3ïî(r ³ b)02由于b 很小，所以 H ¢ << H (0) = -Ñ2 +V (r) ，可视为一种微扰，由它引起的一级修2m0ö1/ 2æZ 3y= çe-r / a0 ）(0)÷正为（基态p a1003è0 øò= y¥H ¢

37、;ytE(1)(0)*(0)d100100100e2e21p ab3 ò=-s (3b2 - r2 ) + s e43-2r /a2p r dr02br00-2r / a0区域r << a0 ，故e» 1。因为在所所以2 a bbb2r2 - r4 )dE(10习题 8.8 转动惯量为 I 、电偶极矩为 D 的空间转子处于均匀外电场Eext 中，设电场较小，用微扰法求转子基态能量的一级和。解：取Eext 的正方向为 z 轴正方向建立坐标系，则转子的哈密顿算符为L212H =- D × E=L - DEco2Iextext2I1取 H (0)=L2 ,

38、2IHH ¢ = -DEcosq ，则ext= H (0) + H ¢由于电场较小，把 H ¢ 视为微扰，用微扰法求此问题。 H ( 0) 的本征值为（即 L2 的本征值乘以1/ 2I ）l(l +1)2El=(0)2I本征函数为y= Y (q ,f)(0)lmlmH的基态能量为 E= 0 ，为非简并情况。基态的能量一级( 0)（0）为02ppY * Hò0 òH ¢ Y=E(1)= Y0000000012pp-DEcosq sinq dq4p ò0ò=ext0根据定态非简并微扰论可知为2H¢= 

39、9;E(2) l 00E(0) - E(0)l ¹00lòòH ¢ = yH ¢ydt =*(0)(0)l 0l0ò= -DEY (cosq Y ) sinq dq d*extlm004p Y1ò= -DEY *sinextm104p3=- DEextòY sinq dq dfY *0103=- DEext d13H¢2D2 E2× 2I13= å¹0 0= -å2 = - extdE(2)D2 E2I0E(0) - E(0)3 ( +1)212ext¹0

40、0习题 8.9 若对三维各向同性谐振子加上微扰H ' = l x2 yz （ l 为（a）求基态能量的一级。）（b）求第一激发态能量的一级和零级近似波函数（第一激发态是三重简并的）。解：用直角坐标系，三维各向同性谐振子的波函数可以表示为一维谐振子波函数的直积y n n n (x, y, z) =y n (x)y n ( y)y n (z)x y zxyz= æ n + n + n+ 3 öw,n , n , n = 0,1, 2,3,.Enxnynzç xyz2 ÷xyzèø（a） 对于基态，波函数为y 0 (x, y, z)

41、 =y 0 (x)y 0 ( y)y 0 (z)它是非简并的，因此它的能量一级为ò=0 = y *(x)y *( y)y *(z)l x2 yzy (x)y ( y)y (z)dxdydzE(1)H '00000000¥¥-¥¥-¥ò-¥= ly* (000（b）对于第一激发态，波函数为1 = y1 (x)y 0 ( y)y 0 (z)2 = y 0 (x)y1 ( y)y 0 (z)3 = y 0 (x)y 0 ( y)y1 (z)，所以第一激发态三重简并，在以这三个态为基矢的简并子空间，微扰矩阵元为&#

42、242;1 = y (x)y *( y)y *(z)lx2 yzy (x)y ( y)y (z)dxdydz = 0H '= 1 H '*11100100ò2 = y (x)y ( y)y *(z)lx2 yzy (x)y ( y)y (z)dxdydz = 0H '=H '*222010010ò3 = y *(x)y ( y)y (z)lx yzy (x)y ( y)y (z)dxdydz = 0=H '3 H '*233001001()* =)* =ò= H2 = y (x)y *( y)y *(z)l x2 y

43、zy (x)y ( y)y (z)dxdydz = 0H ''1 H '*1221100011(ò3 = y (x)y *( y)y *(z)l x2 yzy (x)y ( y)y (z)dxdydz = 0H '= H'1 H '*1331100001()* =ò= y (x)y ( y)y *(z)l x2 yzy (x)y ( y)y (z)dxdydzH '= H'H '*2323320100012æö¥¥-¥¥-¥ò

44、;-¥= ly* (è 2mw ø0/2mw/ 2mw/ 2mwö2æh设k º lç÷，微扰矩阵可以写作wèø2mæ 000k0 öH' = ç 0k ÷ç÷ç 00 ÷èø解久期方程ì-k-E(1)00k100ï-E(1)= 0 Þ E=0(1)í1k1ï k-E(1)î1零级近似波函数。E= -k(1)1æ 000

45、k0 öæ c1 öæ c1 öç 0k ÷ç c÷ = -k ç c ÷ Þ c = 0, c = -c =12（归一化）ç÷ç2 ÷ç2 ÷123ç 00 ÷ç c ÷ç c ÷èyøè 3 øè 3 ø11=( 2 -3 ) =( y (x)y ( y)y (z)- y (x)y ( y)y

46、(z)(0)-k01000122E(1) = 01æ 000k0 öæ c1 öæ c1 öç 0k ÷ç c÷ = 0ç c ÷ Þ c = c = 0, c = 1 （归一化）ç÷ç2 ÷ç2 ÷231ç 00 ÷ç c ÷ç c ÷èyøè 3 øè 3 ø= 1 = y (x)y

47、( y)y (z)(0)0100E= +k(1)1æ 000k0 öæ c1 öæ c1 ö12ç 0k ÷ç c÷ = +k ç c ÷ Þ c = 0, c = c =（归一化）ç÷ç2 ÷ç2 ÷123ç 00 ÷ç c ÷ç c ÷èyøè 3 øè 3 ø11=( 2 +3 )

48、=( y (x)y ( y)y (z) + y (x)y ( y)y (z)(0)k01000122效应，y 3lm 是 9习题 8.10 考虑氢原子 n = 3 的态在沿 z 轴方向的均匀外电场Eext 中的度简并的（不考虑自旋）。（a）构造9´ 9 的矩阵表示出微扰哈密顿。（ b） 找出本征值和它们的简并度。（不要被 9´ 9 的矩阵吓着， 实际中它约化为一个3´ 3 3´ 3，2 个2 ´ 2 和 2 个1´1子矩阵，求解不是很复杂）解：简并子空间的 9 个态是003112-3由于， HS¢ = eEext z = e

49、Eext r cosq 不依赖f ，所以l'm'H 'nnlS当 m ¹ m' 矩阵元为零。对于对角元nlm H 'nS2éP (cosq )是cosq 偶次幂的多项式，而每一项的ùm由于ëûlpòcos q cosq sinq dq =2 J0零，另外当m = m 时，如果l + l 为偶数，P (cosq )P (cosq )''mm所以所有的对角元ll'也是cosq 偶次幂的多项式，为零，这样我们只需计算 4 个矩阵元（共有 8 个不为零）。300 H '3

50、S0 H '3031S¥RòR r3dr = 30310aæ¥2 ò0=1 -çè2aæ¥2 ò0=1 -çè2òY Y cosq sinq dq0 00 1所以0 = -3 6aeE300 H '3 1Se同样可以计算的320 = -3 3aeE3 1 0 H 'Sex32±1 = - 9 aeE3 1 ±1 H 'Se2所以微扰矩阵为æ0 ö03 603 300000003 30000000

51、00009 / 200000009 / 2000000000009 / 200000009 / 2000000000000ç÷0 ÷÷ç 3 6ç00000000 ÷çç0 ÷ç÷0 ÷-aeEext ççççç0 ÷÷0 ÷0 ÷ç÷ç0 ÷èø这个矩阵可以约化为一个3´ 3，2 个2 ´ 2 和

52、 2 个1´1子矩阵，设能量本征值为-aeEextl对3´ 3的矩阵，久期方程为-l3 603 6-l3 303 3-l= 0 Þ -l3 + 81l = 0 Þ l = 0, ±9所以能量的一级为（这里下标表示不同的能量本征值，不是能量量子数）E1 = 0, E1 = 9aeE, E1 = -9aeE,12ext3ext对2 ´ 2 矩阵（2 个一样）-l9 / 2 = 0 Þ l = ± 99 / 2-l为2所以能量的一级E1 = 9 aeE, E1 = - 9 aeE, E1 = 9 aeE, E1 = -

53、9 aeE4ext5ext6ext7ext2222对于 2 个1´1的矩阵， l = 0 ，所以 E = E = 0 。这样原来 9 重简并的能级11为 5 个899能级。 E1 = E = E = 0 （ 3 重 简 并 ）； E4 = E = 2 aeEext （ 2 重 简 并 ）；11111896E1 = E1 = - 9 aeE（2 重简并）； E1 = 9aeE, E1 = -9aeE（非简并）57ext2ext3ext2习题 8.11 求一维简谐振子的基态能量的最优上限，取试探波函数为Ax2 + b2y (x) =，其中 A 由归一化确定， b 是可调参数。解:首先归一

54、化波函数求 A22A 2 pp¥ æ1ö¥ æ1öA 2òA 2ò0A 21 =dx = 2dx = 2=ç÷ç÷x + b22x + b224b32b3èøèø-¥2b3pA =动能项2T = -2md 2æö212(3x2 - b2 )11¥¥ò-¥ x2 + b2 dxx + bò-¥ x2 + b222dx = -AAdxç

55、47;(x22 )3222èø2m+ b¥ 3(x2 + b2 ) - 4b22b3 éù24b2(x2 + b2 )443¥¥ò0dx = -êòò0dxúA 2 4 dx -= -(x2 + b2 )4(x2 + b2 )3mpêú2m0ëû3p5p2b3 æ2= - 4ö- 4b=23ç÷mp16b572è32bø4mb势能项¥ x2 + b2 - b2x21¥2ò-¥ (x2 + b