有关微分与积分章节知识点的总结

1、有关微分与积分章节知识点的总结姜维谦 PB08207063一元函数的积分一 求不定积分1. 积分基本公式2. 换元积分法凑微分法f(u(x)u(x)dx=f(u(x)du(x)=F(u(x)+C第二换元法f(x)dx=f(u(t)u(t)dt=F(u-1(x)+C注意：x=u(t)应单调（可以反解）不单调时应分类讨论(e:g开方去绝对值时)3. 分部积分法u(x)dv(x)=u(x)v(x)-v(x)du(x)适用于解异名函数“反对幂三指”（与dx结合性递增）应用：解二元方程，递推式e.g:In=(lnx)n(次方)dx,n>=1In=dx/(x2+a2)n(次方)，n>=14.

2、模式函数：有理函数类整形分式部分分式法（通解）P(x)/Q(x)dx分离常数得既约真分式与多项式Q(x)因式分解化为部分分式和待定系数后比较系数（还可以结合赋值，求导数，取极限等）化为Ik=dx/(x-a)k(次方)类与Jk=(Bx+C)/(x2+bx+c)k(次方)dx类积分三角有理式万能代换（通解）特殊代换 R(cosx,sinx)=-R(cosx,-sinx) R(cosx,sinx)=-R(-cosx,sinx) R(cosx,sinx)=R(-cosx,-sinx)可有理化的无理式三角换元代数换元 R(x,(ax+b)/(cx+d)1/m(次方) R(x,(ax2+bx+c)1/2(

3、次方)Euler代换消除平方项注：三角有理式，可有理化的无理式均可以通过代换转化为标准有理函数形式后积分，但通解过程均较繁琐。故而在求解有理函数类积分时应适当考虑凑配，变形等技巧并利用上述1.2.3.常用方法简化运算 详见书P103Xa一 求定积分1.N-L公式（形式直接易求） f(t)dt=F(x)-F(a)(f(x)在a,b上连续，x在a,b上)(积分形式的微积分基本定理)Xa微分形式：F(x)= f(t)dt是f(t)的一个原函数2.Riemann积分步骤：分割求和近似取极限ßba求极限（T一般取等分）转化为相应定积分(注意x对应的上下限)3.换元法 = f(u(t)u(t)d

4、t注：只需注意上下限的变化（不同积分变元） 变量代换思路：被积函数，积分上下限，无穷积分与常义积分的转化观察利用被积函数在积分区间上的对称关系/2 0/204分部积分求解函数异名&递推关系&方程组e.g:Im= sinxm(次方)dx= cosxm(次方)dxb a+ a5. 广义积分-极限观点无穷积分 f=lim (b->+)b a+b a瑕积分 lim f+ -+A -ACauchy主值V.P.lim f=lim fb c+c-ab a V.P.lim f=lim( f+ f)广义积分也可以用上述1.3.4.解法求解注：求定积分时应结合分项积分与分段积分二 积分的性质

5、运用1.单调性 2.有界性 3.积分绝对值三角不等式（Riemann和理解）用于放缩为“易积分形式”如常值积分4.区间加合性 5.积分中值 6.定理4.1.11有关积分不等式的证明结合微分中值定理结合Rolle定理7线性 8.对称性xa四变上限积分F(x)=( ) f)=f(x)(x)(x)一般形式（ f(t)dt）=f(x)(x)-f(x) (x)-积分式求导注意区分各步的积分与微分变元1.研究函数极值、拐点、单调性 2.结合RH法则求极限 3Rolle定理五定积分的应用举例（详见书）一元函数的微分一 导数的求解1. 根据导数的定义F(x0)=lim(f(x)-f(x0)/(x-x0)(x-

6、>x0)间断点可导性判断：比较limf(x0)（x->x0）与lim(f(x)-f(x0)/(x-x0)(x->x0)2. 复合函数（f-1(y0)）=1/f(x0)(f(x)=f-1(y)k n3.高阶导数Leibniz定理 （uv）(n)(n阶导数)=C u(n-k)v(k)化积商形式为和差形式e.g:y=Pn(x)y=(ax+b)&(c/(ax+b)(n)sinx(n)=sin(x+n/2)求递推关系三 重要定理的运用Rolle证明存在性的等式（微分式的转化）注意辅助函数的构造f(a)=f(b)形式Lagrange中值证明不等式 求未定式极限 求函数导数研究函数性质单调性不等式证明 求极小（大）值、最值 凹凸性判断定义f(x) 渐近线求法垂直渐近线非垂直渐近线Cauchy中值证明不等式 求未定式极限LH法则 注：l可以无穷大，x0任意 适用于0/0、/型，其他形式未定式应做适当转化Taylor公式等价无穷小量 有关的恒等式证明四 求未定式极限RH法则（仅适用于未定式）中值定理重要极限幂指函数的转化等价无穷小量（因子替换）Taylor展开-统一形式注：各种极限求法各有其使用范围，在具体求解过程中还应考虑比较优化、综合运用结语：由于个人对知识的理解有