高定义概念公式全面总结

1、不等式单元知识总结一、不等式的性质1 两个实数a与b之间的大小关系(1) a b> 0 = a>b;(2) a b= 0= a= b;(3) a b< 0= a< b.若 a、b R ,a £ > 1二 则 M5)a = 1 =I ba(6)- v 1二a> b;a = b;av b.2不等式的性质(1) a > b 二 bv a(对称性)a> bb> ca> c（传递性）a> bcv 0二 acv bc（乘法单调性）(6)a> bc > da + c> b + d（同向不等式可加a> bcv

2、da c> b d（异向不等式可减）a> b> 01 -(8)c>d> 0 二ac> bd（同向正数不等式可乘（3）a > b= a十c> b十c（加法单调性）a> b- ac> bcc> 0(5)a + b>c= a>c b(移项法则)a> b> 0a b0vcv厂二> d（异向正数不等式可除）(10)a> b> 0 n Nan > bn（正数不等式可乘方(11)a> b> 0卜n Nna>nb（正数不等式可开方）1 1(12)a > b> 0= -

3、 v(正数不等式两边取倒数)a b3. 绝对值不等式的性质fa(a>0),(1)|a| > a; |a|=va(av0).如果a>0,那么|x| v a = x2 v a2 二 av xv a;|x| > a= x2 > a2 二 x>a或xv a.(3)|a b|= |a| |b| .a |a|才而甘0).(5) |a| |b| < |a ± b| < |a| + |b| .(6) |a卜+ an| w |a 11 + |a 2| + |a n| .二、不等式的证明1. 不等式证明的依据(1) 实数的性质：a、b同号=ab>0;

4、 a、b异号=abv 0a b> 0 二 a>b; a bv 0= av b; a b = 0 二 a = b(2) 不等式的性质(略) 重要不等式：|a| >0; a2>0; (a b)2>0(a、b R) a2+ b2 > 2ab(a、b R,当且仅当a=b时取“二”号)a亠b 2、ab(a、b R ，当且仅当a = b时取“二”号)2. 不等式的证明方法(1) 比较法：要证明a>b(a v b=，只要证明a b>0(a bv0=，这种证明不等 式的方法叫做比较法.用比较法证明不等式的步骤是：作差一一变形一一判断符号.综合法：从已知条件出发，

5、依据不等式的性质和已证明过的不等式，推导出 所要证明的不等式成立，这种证明不等式的方法叫做综合法.(3) 分析法：从欲证的不等式出发，逐步分析使这不等式成立的充分条件，直到 所需条件已判断为正确时，从而断定原不等式成立，这种证明不等式的方法叫做 分析法.证明不等式除以上三种基本方法外，还有反证法、数学归纳法等.三、解不等式1. 解不等式问题的分类(1)解一元一次不等式.(2)解一元二次不等式.(3)可以化为一元一次或一元二次不等式的不等式. 解一元高次不等式；解分式不等式；解无理不等式；解指数不等式；解对数不等式；解带绝对值的不等式；解不等式组.2. 解不等式时应特别注意下列几点：(1)正确应

6、用不等式的基本性质.正确应用幕函数、指数函数和对数函数的增、减性.(3)注意代数式中未知数的取值范围.3不等式的同解性ff(x) > 0If(x) v 0(i)f(x) g(x) >0与或 /、vc同解.I g(x) > 0 i g(x)v 0Jf(x) > 0f(x) v 0f(x) g(x) v 0与或同解.ig(x)v 0 ig(x)> 0；f(x) > 0 十或g(x) > 0f(x) > 0 十或丿g(x)v 0/八 f(x)(4) v ' 丿 g(x)(5) |f(x)|(6) |f(x)|与g(x)f(x) v 0 ”同解.

7、(g(x)丰0)g(x)v 0f(x) v 0 斤 同解.(g(x)丰0) ig(x) > 0v g(x)与一g(x) v f(x) v g(x)同解.(g(x) > 0)>g(x)与 f(x) >g(x)或 f(x) v-g(x)(其中 g(x) >0)同解;v 0同解.0与0与f(x) > g(x)2f(x) > 0 十、f(x) > g(x)与 f(x) > 0 或同解.Iig(x)v 0g(x) > 0f(x) v g(x) 2 ”(8) ：f(x)vg(x)与 q同解.lf(x) > 0(9) 当 a> 1 时，

8、af(x) > ag(x)与 f(x) >g(x)同解，当 0v av 1 时，af(x) > ag(x，与 f(x) v g(x)同解.f(x) > g(x)(10) 当 a> 1 时,logaf(x) > logag(x)同解.lf(x) > 0f(x) v g(x) 当 0v av 1 时,logaf(x) > logag(x)与 f(x) >0 同解.'g(x) > 0直线与圆单元知识总结一、坐标法1 .点和坐标建立了平面直角坐标系后，坐标平面上的点和一对有序实数(x , y)建立了对应的关系.2. 两点间的距离公式设

9、两点的坐标为P1(x 1，yj，P2(x 2，y2)，则两点间的距离尸也1= ,（x2 - Xi）2 仏 - yi）2特殊位置的两点间的距离，可用坐标差的绝对值表示：（1）当xi=X2时（两点在y轴上或两点连线平行于y轴），贝U |P iP2|=|y 2-yi| 当yi=y2时（两点在x轴上或两点连线平行于x轴），贝U |P iP2|=|x 2-xi| 3 线段的定比分点（i）定义：设p点把有向线段PP2分成PP和PP2两部分，那么有向线段PP和PP2的数量的比，就是p点分PP2所成的比，通常用 入表示,即入二 ，点p叫做分线段pp2为定比入的定比分点.PP21当p点内分PP2时，入o；当p点

10、外分pp；时，入vo. 公式：分Pi（Xi, y2）和B（X2, y2）连线所成的比为入的分点坐标是X + 入 x2x =1 +入（入疋- 1）I y 入 y2特殊情况，当p是证的中点时，入=1,得线段的中点坐标 公式X1 x22yy2、直线1. 直线的倾斜角和斜率（1）当直线和X轴相交时，把X轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所 转的最小正角，叫做这条直线的倾斜角.当直线和x轴平行线重合时，规定直线的倾斜角为 0.所以直线的倾斜角 a 0，n ）. 倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线n 率，直线的斜率常用k表示，即k = tana （ a工一）. 的斜2当

11、k>0 时，a =arctank .（锐角） 当 kv0 时，a = n arctank .（钝角）斜率公式：经过两点 R（X1, y”、P2（X2, y2）的直线的斜率为（X1 半 X2）k= 3x2 _ x12. 直线的方程 （1）点斜式 已知直线过点（X0, y°），斜率为k，则其方程为：y y0=k（x x°） 斜截式 已知直线在y轴上的截距为b,斜率为k,则其方程为：y=kx + b 两点式 已知直线过两点（xi, yi）和（X2, y2），则其方程为:y - yiX - Xq （Xi 半 X2）X2 - Xq（4）截距式（5）参数式已知直线在x, y轴上截

12、距分别为a、b,则其方程为： 已知直线过点P（xo，yo），它的一个方向向量是（a，b），XV = 1a b"x = x0 + at则其参数式方程为（t为参数），特别地，当方向向量为!yy obtV（COS a， sin a ）（ a为倾斜角）时，则其参数式方程为X 二 Xoy = yot COS atsin a（t为参数）这时，t的几何意义是tV = pop，|t| = |poPl = |PoPl一般式 Ax + By+ C=o （A、B不同时为0）.（7）特殊的直线方程 垂直于x轴且截距为a的直线方程是x=a，y轴的方程是x=0. 垂直于y轴且截距为b的直线方程是y=b，x轴的方

13、程是y=0.3. 两条直线的位置关系（1）平行：当直线I 1和12有斜截式方程时，k1=k2且“工b2.ABC当h和I2是一般式方程时，一1 =工A2b2C2 重合：当11和12有斜截式方程时，k1=k2且b1=b2，当l 1和丨2是般方程时,C1C2相交：当丨1，丨2是斜截式方程时，力工k2当l1， l2是一般式方程时,A2B2丨交点： 斜到角： 交l1到12的角tan 0夹角公式：l1和12夹角tank2 - k1 J（1 k1k2 工0）1 k1k/1 2 fk2 _ k1=1r（1 k1k2 工 0）i k1k1 2垂直当l1和l2有叙截式方程时，k1k2 = - 1I当l1和|2是一

14、般式方程时，a1a2 + b1b2 = 04. 点P(xo, yo)与直线l : Ax+ By+ C=0的位置关系：Ax0 + By0 + C = 0= P在直线I上(点的坐标满足直线方程)Ax0 + By0 + Cz 0= P在直线I夕卜.点P(x0, y0)到直线I的距离为：的距离为：d|CC2|Ax° + By。+C|I 2 : Ax+ By+ C2=0 间5. 两条平行直线I i : Ax+ By+ C=0,6. 直线系方程具有某一共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程的特点是除含坐标 变量x, y以外，还含有特定的系数(也称参变量).确定一条直线需要两个独立的条件，在

15、求直线方程的过程中往往先根据一个条件 写出所求直线所在的直线系方程，然后再根据另一个条件来确定其中的参变量. 共点直线系方程：经过两直线I i : Aix + Biy + C=0，丨2 : Ax + By + C2=0的交点的直线系方程 为：Ax+ By+ G+入(A2X+ Ry + G)=0，其中入是待定的系数.在 这个方程中，无论入取什么实数，都得不到Ax + By + C2=0，因此它不表示I 2.当入=0时，即得Ax+ By+ C=0，此时表示Ii.平行直线系方程：直线y=kx + b中当斜率k 一定而b变动时，表示平 行直线系方程.与直线 Ax+ By+ C=0平行的直线系方程是Ax

16、+ By+入 =0(入工C)，入是参变量.垂直直线系方程：与直线 Ax+ By+ C=0(Az 0，Bz 0)垂直的直线系方 程是：Bx Ay+入=0.如果在求直线方程的问题中，有一个已知条件，另一个条件待定时，可 选用直线系方程来求解.7. 简单的线性规划(1) 二元一次不等式 Ax+ By+ C> 0(或v 0)表示直线 Ax+ By+ C=0某一 侧所有点组成的平面区域.二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集 的交集，即各个不等式所表示的平面区域的公共部分.(2) 线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问 题，称为线性规划问题，例如，z=a

17、x+ by，其中x，y满足下列条件：A1x+ B” + C > 0(或w 0)A 2x + B2 y+ C20(或w 0)S(*)A nx + Bnx+ Cn0(或w 0)求z的最大值和最小值，这就是线性规划问题，不等式组(*)是一组对变量x、y的线性约束条件，z=ax+ by叫做线性目标函数.满足线性约束条件的解(x，y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域，使线性目标函数取得最大值和 最小值的可行解叫做最优解.三、曲线和方程1 定义在选定的直角坐标系下，如果某曲线C上的点与一个二元方程f（x，y）=0的实数解建立了如下关系： 曲线C上的点的坐标都是方程f（x ，y）=0的解（

18、一点不杂）；以方程f（x，y）=0的解为坐标的点都是曲线 C上的点（一点不漏）.这时称方程f（x，y）=0为曲线C的方程；曲线C为方程f（x，y）=0的曲线（图形）.设P=具有某种性质（或适合某种条件）的点，Q=（x，y）|f（x ，y）=0，若设点M的坐标为（X。，y°），则用集合的观点，上述定义中的两条可以表述为：（1）M p= （x°，y°） Q，即 P Q ;（2）（x0，y0） Q= M P，即 Q P.（1）（X0，y°） Q= m p；以上两条还可以转化为它们的等价命题（逆否命题）:（2）M（X。，y0）Q.显然，当且仅当P Q且Q P，即

19、P=Q时，才能称方程f（x，y）= 0 为曲线C的方程；曲线C为方程f（x，y）=0的曲线（图形）.2.曲线方程的两个基本问题（1）由曲线（图形）求方程的步骤： 建系，设点：建立适当的坐标系，用变数对 （x，y）表示曲线上任意一点M的 坐标； 立式：写出适合条件p的点M的集合p=M|p（M）； 代换：用坐标表示条件p（M），列出方程f（x，y）=0 ； 化简：化方程f（x，y）=0为最简形式； 证明：以方程的解为坐标的点都是曲线上的点.上述方法简称“五步法”，在步骤中若化简过程是同解变形过程；或最简方程 的解集与原始方程的解集相同，则步骤可省略不写，因为此时所求得的最简方 程就是所求曲线的方程

20、.由方程画曲线（图形）的步骤： 讨论曲线的对称性（关于x轴、y轴和原点）；方程组f（x，y） 一 °的解是曲线与x轴交点的坐标； 求截距：= 0f （x， v） = 0方程组 _0y的解是曲线与y轴交点的坐标； 讨论曲线的范围；列表、描点、画线.3. 交点求两曲线的交点，就是解这两条曲线方程组成的方程组.4. 曲线系方程过两曲线f 1（x，y）=0和f2（x，y）=0的交点的曲线系方程是f 1（x，y） + 入 f2（x，y）=0（入 R）.四、圆1. 圆的定义平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆.2. 圆的方程（1）标准方程（x a）2+ （y b） 2=r2. （a，b

21、）为圆心，r为半径. 特别地：当圆心为（0，0）时，方程为x2 + y2=r2一般方程 x2+ y2 + Dx+ Ey+ F=0配方（x即（y铲D2 E-4F当D2 + E2 - 4F > 0时，方程表示以(一D ,-)为圆心，以2 2D2 E2 -4F为半径的圆；2当D2 + E2 - 4F = 0时，方程表示点(一D，-)2 2当D2 + E 4FV0时，方程无实数解，无轨迹.参数方程 以(a , b)为圆心，以r为半径的圆的参数方程为(6为参数)特别地，以(0 , 0)为圆心，以r为半径的圆的参数方程为x = r cos 6y = rsin 6(6为参数)(1) 点在圆外二(2)

22、点在圆上二(3) 点在圆内二d> r; d = r; dv r.3. 点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d，圆的半径为r.4. 直线与圆的位置关系|Aa Bb C| d = / 2 2 设直线 I : Ax+ By+ C=0和圆 C: (x a)2+ (y b)2=r2，贝UA B(1) 相交二 直线与圆的方程组成的方程组有两解，>0或dv r;(2) 相切二 直线与圆的方程组成的方程组有一组解，= 0或d = r;(3) 相离直线与圆的方程组成的方程组无解，<0或d> r.5. 求圆的切线方法 2 2(1)已知圆 x + y + Dx+ Ey+ F=0.若已知切点(X

23、。，y°)在圆上，则切线只有一条，其方程是x°x 二 y°yD(x X。)2E(y y°)F20.Xc + xVc + y当(X。，y°)在圆外时，X°x+ y°y+ D(2 ) + E- ) + F = 0表示 过两个切点的切点弦方程. 若已知切线过圆外一点(x。，y。)，则设切线方程为y y°=k(x X。)，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线. 若已知切线斜率为k，则设切线方程为y=kx+ b,再利用相切条件求b，这时 必有两条切线.(2)已知圆 x2+ y2=r2.若已知切点

24、P°(x。，y。)在圆上，贝U该圆过P。点的切线方程为X0X + y°y=r2.已知圆的切线的斜率为k，圆的切线方程为y二kx ± n k21.6 圆与圆的位置关系已知两圆圆心分别为 O、Q,半径分别为ri、宀，贝U(1) 两圆外切二 |O1O2|= r1 + r2;(2) 两圆内切 =|O1O2|=|r1 r2|;(3) 两圆相交二 |r1 r21 v |O1O2|< r1 + r2.圆锥曲线单元知识总结一、圆锥曲线1椭圆(1) 定义 定义1:平面内一个动点到两个定点 F1、F2的距离之和等于 常数(大于IF1F2I)，这个动点的轨迹叫椭圆(这两个定点叫焦

25、点).定义2:点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比c数e= - (0 < e< 1)时，这个点的轨迹是椭圆.是常a(2)图形和标准方程图8 1的标准方程为:图8 2的标准方程为:+x2ax2b7 +b? = 1(a>b> 0)=1(a> b> 0)J< Ml 0<6珀)叫°7 Bz”图日-g(3) 几何性质条件M|MF|+|MFI=2a 2a>|F1F2|“ |MF|MF>| “M| 点M到l1的距离点M到12的距离e? ° e 1标准方程tx2 y22= 1(a>b>°)a b2

26、2X2+与= 1(a>b>C)b a顶点Ai(a，0), A2(a，0)Bi(°，一b), B(0, b)A1(0，a, A2(0 , a) Bi( b, 0), E2(b, 0)轴对称轴:x轴，y轴.长轴长1钿=25,短轴长|§|=2»隹占八、八、Fi( C,°), F2(C,0)F1(0，一C),F2(0 , C)焦距|F1F2|=2c(O 0), c2=dr b离心率e= -(0 v ev 1)a准线方程2 2iaiall : X =； l 2 : x =CC2 2 aah : y =;丨2 : y =CC焦点半径|MF 11= a +

27、 ex0 , |MF 2| = a ex0|MF 补=a + ey。,|MF 2 | = a ey 0点和椭圆 的关系>外2 22 + =1二(x 0, y 0)在椭圆上abv内切线方程(k为切线斜率2 L2y = kx 土寸a2/ + b2(k为切线斜率2 2,2y = kx ± V b2k2 + a2xox , yoy 12十.21ab(x 0 , y 0)为切点xox , yoy 1.2十21ba(x o , y o)为切点切点弦 方程(x0 ,y0)在椭圆外x0x | yoy - 1 ab(x0 ,y0)在椭圆外xox | yoy - 1ba弦长公式|x 2 x1 1 + k 或 |y 1 y 2 1 +2其中(x1 , y1), (x2 , y2)为割弦端点坐标，k为割弦所在直线的斜率2.双曲线（1）定义定义1:平面内与两个定点Fi、F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|FiF）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）. 定义2:动点到一定点的距离与它到一条定直线的距离之比是常数e（e > 1）时，这个动点的轨迹是双曲线（这定点叫做双