高导数的概念

1、课程信息年级高二学科数学内容标题导数的概念编稿老师胡居化、教学目标：(1) 理解导数的概念及几何意义，能利用导数的几何意义求切线方程(2) 能根据导数的定义求简单的函数y = c,y=x, y=x2,y =丄，y =、x的导数.x、知识要点分析:1.导数的含义(i)平均变化率：设函数y二f (x)在X=X0处附近有定义，当自变量在X = Xo处有增量x时，函数y = f(X)相应的增量 y = f(x x0) -f(x)，则竺 叫函数y = f (x)的平 LX均变化率-(*)，厶x,.胡可正、y = f(x)当 x > xo时的注意：(1)平均变化率还可以表示为勺=f(Xi *x) -

2、 f(x1)AxAx可负，ex 0,但二y可以是零.(2)当f (x)是常数时，平均变化率=0.Ax= f'(X0)pm0f(X0 "f(X0)(ii)导数定义：当.x > 0时，平均变化率的极限值叫函数 导数.X注: (1 )导数是局部概念，它只与函数y = f (x)在x0及其附近的函数值有关，与以无关.(2)在定义中，设x v xy .；X = X - xo，当=Xr 0 时，x x0，故导数的定义可以写成:f (xo)=lim f(Xo切-心0)= rm f(x)-f(xo)0LXx >XoxXox駅0(3)若极限f'(x0)二 limof(XoX

3、)f(Xo)不存在，则称函数y = f (x) 在 X = X0处不可导.2.导函数：若函数开区间内的导函数.简称导数.记作：y = f (x)=炉y = f (x)在区间(a, b)内每一点处都有导数，此时对于每x (a,b)都对应一个确定的导数f (x),从而构成一个新的函数f (x),贝U函数f (x)为在f(X X)- f (x)Ax3. 导数的物理意义：若物体运动的规律是 S = s（t），则物体在t时刻的瞬时速度是V二s'（t），若运动的速度随时间的变化率是V二v（t），则物体在t时刻的加速度是 a二V （t）.4. 导数的几何意义：函数y二f （x）在X。处的导数的几何意

4、义是：在X。处的导数是曲线y = f （x），在点（xo, f （x。）处的切线的斜率.曲线在P（ Xo, f （x。）处的切线方程是Iy - f（x。）= f （xo）（x -x。）.注：若函数f （x）在点（Xo，y。）的切线的倾斜角是 ，函数的导数不存在，此时切线2方程是x = X。.【典型例题】考点一：函数的变化率及其在实际中的应用例1.国家环保总局在规定的达标排污之前，对甲，乙两家企业进行检查，检查的结果如图所示，问：哪个企业治理污染的效果较好？分析：用W表示治污量，利用甲乙两企业治理的平均治污率（平均变化率）比较治理的效 果，即平均治污率大效果就好 解：由图知：虽然W（ t。）to

5、）但.t。）一W甲（t。一 At）t。）一 W乙（t。一也t） -/:- t. :t所以，单位时间里企业甲比企业乙的平均治污率大即企业甲比企业乙略好 注：y二w（t。）-w（t。- t）,故mt,不能误写成凤.例2.枪弹在枪筒中运动看作是匀加速运动，若其加速度a = 5 105m/s2，枪弹从枪口中射出时所用的时间是 1.6，求枪弹射出枪口时的瞬时速度1 s分析：由物理学知识得：运动方程是S = at2，由此计算出 一，枪弹射出枪口的瞬时速2 At度是当：t > 0时竺的极限值.1 2 1 2 解，at 2分(皿)at。2 二 at°. ：t a（ ：t）2.1 2 ato：t

6、 -aC：t）2atg.：t1 . at,2当：t > 0时,S +石 >at0,523把 a =5 10 m/s ，tg -1.6 10 s代入 atg得：v = at。=800m/s ,即枪弹射出枪口的瞬时速度是800m/s.例3.路灯距离地面8米，一个身高为1. 6米的人以84m/min的速率在地面行走，从路灯在地上的射影点C,沿某直线离开路灯，求人影的长度的变化速率D分析：设人影的长度为y，根据几何性质求出 y=f(t)，则人影的长度的变化速率是y对t的导数.解：根据题意画出图形：设路灯距地平面的距离是DC人的身高是EB，假设人从点C走到点B的路程是x m，时间为t,(单位

7、：s) 人影的长度为y,BE/CD= AB BE y16 ： y 二1 x,AC CDx + y 84又 84m/min=1 . 4m/s,故 x=1.4t= t ,5即 y=Zt20 ''77所以“二云，故人影长度变化的速率是-m/s, 考点二：导数的几何意义及其简单的应用例4.已知曲线C：旳仝(1) 求过曲线C上横坐标为1的点的切线方程.(2) (1 )中的切线与曲线 C是否还有其他的公共点？分析：(1)由已知的曲线方程可求横坐标为1的点的坐标P (1, 1),然后利用定义求在 x=1处函数的导数即点 P处的切线的斜率，根据点斜式写出切线方程.y' = lim -=

8、lim 3x2 .x 0(X + Ax)3-X3=limlim.x 0；xx >02 23x. ：x (. ：x) = 3x 2233x . x 3x( .x)(. ：x)：x故切线的斜率k = y lx=3，即过P (1 , 1 )的切线方程是：y仁3 ( x- 1)(2)y = 3(： _1) +1把代入得:y=X3= 3x-2即有：(x -1)(x2x - 2) = 0，故 x=1 或 x = -2所以此时切线与曲线 C还有另一个公共点(一2， 8)例5.已知曲线f (x) = x2 1,g(x) = x3x在两曲线交点处切线的夹角为求cosr的值.分析：先求两曲线的交点坐标 P(

9、x0,y0)，分别再求在x = x0处的两函数的导数，即两切线的斜率，从而求出两切线的方向向量利用向量的数量积求解解:2丄彳y =x +1由=3,y = x xx3 -x2 x _1 = 0= (x _1)(x21) = 0= x = 1 ,故两曲线的交点为 P (1, 2)f'(1r2(1：X)21 _2zx切线 I ! : y - 2 = 2(x -1) = y = 2x ,(1 Lx)3 V 二X -(11)x=4,(2)由切线方程与曲线方程组成方程组可求解:(1)由曲线C的方程：y = x3，把x=1代入得切点p( 1, 1)的坐标即切线 l2 ： y-2 = 4(x-1) =

10、 y=4x-2,所以切线h的方向向量a =(1,2),切线J的方向向量b= (1,4),9、8585则 cosH 二 9| a | |b|15J17【本讲涉及的数学思想、方法】：本讲主要讲述函数的变化率的概念、 导数的含义、几何意义及其简单的应用， 在应用这 些知识的过程中充分现了等价转化的数学思想(例 5)方程的数学思想(例 4、例5)等数 学思想的应用【模拟试题】(答题时间：100分钟)、填空题(本题共10小题，每题6分，共60分)1 2 21 物体自由落体运动的方程是h gt2,g =9.8m/s2,在3,3 厶x这段时间内的平均速度是.2某物体做匀速运动的方程是s二vt b，则该物体在

11、运动过程中其平均速度与任何时刻的瞬时速度的关系是 .3.函数y =2x2十1在xo到x°+Ax之间的平均变化率 .广 23t +2,（0 兰t <3）一4 .物体运动的方程是s =2则物体在t=4时瞬时速度是29 +3（t _3） ,（t 启 3）5.函数f （x）在X。处可导，则limof（X。 ：x） f（X。）6. 函数y = 1在点（1 ,2）处的切线的斜率是 .x27. 设曲线y=ax2在点（1, a）处 的切线与直线2x y 6=0平行，则a=1 23&已知曲线y = X2 2上一点P（1-）,则过点P的切线的倾斜角是.2 29.若 函 数f（x）在x二a处

12、的导数是A,则lim f（a+x） f（ax）_&m）2 也x=.3210.直线L ：=x+a,（a不等于零）和曲线C: y = x -x +1相切，则切点坐标是 .二、计算题（本题共3小题，共40分）11. 已知函数f（X）二X21 ,（1 ）利用导数的定义求函数f' （1）;（2）求过 P（1, 2） 点的切线方程.（13分）f （a + 4t） f （a 十 5t）12. 若函数f（x）在x=a处的导数是 A,求 慎；（12分）3313. 曲线y=x在点（a, a）,（a=0）处的切线与x轴、直线x=a所围成的三角形的面1积是丄，求a的值.（15分）6你热愛主佈吗？那么别

13、浪费时间 > 因为时间是蛆咸生7/命的材料-富兰克林【试题答案】、填空题（本题共10小题，每题6分,1. 4.9 （6 Lt）解析：.：h =丄（3：t）2 Zg 32共60分）1g（6 二t）二t2故平均速度Ahv 二.：t= 4.9（6：t）.2 22 相等解析：s（号-s（to ）v（t0 ： =t）-v（t0） V ：tAt- At=V，当也t T 0 时,v0 = V 3. 4x0，2=x,解析：函数的平均变化率逍 2（X0：x）2 1 -（2x 1）X _4x02x4. 6解析：当t=4时，二§At2 229 3（4 讥 - 3） - 293（4 - 3）：t当At

14、 > 0时,5 f （Xo）原式冲0倔一小似）f（X。- ：x） - f（x。）=-lim二- f（Xo）6. 41 1XX故切线的斜率k= y' |解析：y二叭=lim.X 0_1X2 XX1 一 -4-X =27. a=1解析：切线在X=1处的斜率k= lim02a（1：x）-a 12=2ax 2a=2，即 a=1& 45°解析：设过P点的切线的倾斜角为-1 2 一 （1歆）22则 tan v - k 二 lim-3012-2- 12 -2 2 =1.x9. A解析:lim 住-心）”,.Hm x ）0；X' 上 0f （a - ：x） - f（a）

15、 _ Af (a；x) - f (a -, ；x)f(a ： _x)-f(a) f (a)f (a：x)Sim f(a：x)-f(a)2 -x Qxf (a) - f (a - . ：x)Ax)=A.1 23、10. （1, 1）或（-，）3 27解析：设直线L与曲线切于P（x0,y0）f（X。：x） f（X。）Z3232lim (x° +Ax) -(x° +Ax) +1-(x°-x°+1) 炉0：x=叽2 2(3x0lx-2x0lx (3x0 -1)( = x)x(Ax)32=lim0 3x0-2X0 (3x0 -1). x C x)2=3x2 -2x

16、021由题意知：k=1,故 3x0 '2x0 =1= x0 = 1 或x0 :3故切点坐标是(1,1)或1 233 27二、计算题（本题共3小题，共40分）11 .解：(1) f (1) = lim。f(1"(1)=lim121=lim.x_0( i(1：x)2 1 - .2)( ., (1：x)21、2)：x( i (1 x)21#2)2(1：x) 12=limx Q % ,. (1 ，x)2 12)x " . (1x)2 T 222/(2)易知：P(1, 2)在曲线 y = . x2 1，切线方程为 y - 2 = 2 (x - 1)12.解：原式=ltim f(a+4t)-f(a)7a)-f(a+5t)tf(a+4t) f(a) f(a+5