高数提高讲义-第二讲导数与微分

1、第二讲 导数与微分一、考试要求1、理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解（了解 ）导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义（经济意义，含边际和弹性），会用导数描述一些物理量，理解函数的 可导性与连续性之间的关系。2、掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法 则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。3、了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。4、会求分段函数的导数。会求隐函数和由参数方程（*）所确定的函数及反函数的导数。二、内容提要1 、 导数与微分的定义（1）导数的定义：（ 2 ）左右导数：（3）几

2、何意义：切线法线（4）微分的定义：若则 dy=A2 、 导数与微分的运算法则3 、 求导方法（ 1 ）复合函数求导：设 y=f（u）, u= （x）, 则 y=f （x）（ 2 ）参数方程求导：,（ 3 ）隐函数 F（x,y）=0 求导：三种方法：直接求导、公式法、微分形式不变性（ 4 ） 对数求导 （适用于幂指函数、多项连乘除的情形）（5） 高阶导数（6） 抽象函数、隐函数求二阶导数三、重要公式与结论1、-般地，i)lifg(X)f(Xo)X3) limX Xo人 g(x)Xofg(x)f(Xo)0XXof g(x)fh(x)f (Xo)2) limX Xf (Xo)f (Xo)X Xo这里

3、 lim g(x) lim h(x)xoX XoX Xo *f(x)在X处可微 f(x)在X处可导lim 致XoX Xo X Xog(x) h(x) limX XoX Xo.f(x) limX 0 X Xo.f (X) limX 0 X Xo.f (X) limX 0 X Xof (X) limkX Xo(X Xo)f (X) limkX Xo(X Xo)可导的偶(奇)函数，其导函数为奇(偶)函数可导的周期函数，其导函数为同周期的函数.yf (x)在(x, y)处有 y A(x, y) xA( x , y)(一阶微分方程)可导 连续 limX Xo若f(x)在x= Xo处连续，且f (Xo)o

4、, f (Xo)A厂(x)在x= Xo处连续，且f (x)在x= Xo处连续，且f(x)在x= Xo处连续，且f(x)在x= Xo处连续，且注：则可微设 f (Xo) o, f (Xo)，则设 lim g(x)，则 g(x)xx XoA(kA(of (X)f(Xo)(Xo)(Xo)1)o(o, f (Xo) Ao, f (Xo) Af (Xo) o, f (Xo) o1) f (Xo) o, fX)f (X)在Xo处可导的充分必要条件为Xo在Xo处可导的充分必要条件为f (Xo) 叫 g(X)8、常见导数不存在的情形1八 f (X) X Xo在x= Xo处导数不存在，但 X Xo (X Xo)

5、在Xo处可导(Xo) 不存在2) f(X).1x sin ,x0,x 0,x 0在x=0处当a 1时导数存在；a 1时导数不存在四、典型题型与例题题型一、有关导数的定义及性质1、分段函数在分界点处的导数2、已知极限求f (X0)，或已知f (x0 )求极限3、涉及抽象函数的导数 f(X)4、抽象函数没给岀可导的条件，考察在某点处的可导性或导函数例 1、设 f (0)0，则 f (x)在 x0处可导的为( )(c)lim 丄 f (1h 0h2lim 4r f (hh 0h2cosh)存在sinh)存在(B)lim f (1 eh)存在h 0 h(D)lim 丄 f(2h)h 0hf (h)存在

6、例2、设0处连续，且x00f1，则例 3、( 0634 )设 f x 在 x0处连续，且f(h2) h21，则(A) f (0)0且 f (0)(B) f (0)1 且 f (0)(C) f (0)0且 f (0)(D) f(0)1 且 f (0)例 4、(04123)设函数f (x)连续，且f(0)0，则存在0，使得(A) f (x)在(0,)内单调增加(B) f (x)在(，0)内单调减少(c)对 x (0,)有f (x)f (0)(D )对 x (,0)有 f (x)f(0)例5、设f(x)是以4为周期的函数，且f2，则 limh 0 f(3h4h)f ( 1)2例6、设f（x）可导，y

7、 f（x）自变量x在x1处取得增量x 0.1时相应的函数增量y的线性主部为0.1，则f（）（A） -1（ B） 0.1（ C） 1（ D）0.52,求曲线y=f（x）过ln f （x） 3例7、设函数f（x）在x=1处连续，且是周期为 2的周期函数，满足limX 1xcos2点x= -1处的切线方程为 2例8、曲线y x与曲线y a ln x(a 0)相切，则a =(A)4e(B)3e(C)2e(D)e题型二、分段函数的导数方法：1、利用f （x0） A2、设 f（X。）0, f（X。）f（X。）f（X。） A，则f （x）在x0处可导的充分必要条件为f (x)03、设 lim g(x)，则

8、g(x)x X。在X0处可导的充分必要条件为lim g(x) 0X x0XXqln( 1 x) xX0x2 例9、设f（X）aX0在x 0处可导，求a,b,csin bxcx,X0X例10、设 f (x)0不连续(C)例11、例12、1x arcta n , x 0x，则f (x)在x 0处x 0可导但f(X)在X求函数f (x) (x处可导的0不连续(034 )设 f (x)x3(A)充分必要条件(C)充分但非必要条件题型三、变限积分求导h(x)方法：1、(、f (t)dtg(x) 2、若被积表达式中含有 x,再令u例13、F(x)(B)连续但不可导(D)可导且f(X)在x 0连续2)x s

9、in x的不可导点。(x)，其中(x)在x 1处连续，则 (1)0是f(x)在x 1(B)必要但非充分条件(D)既非充分也非必要条件fh(x)h (x) fg(x)g (x)h(x)g(x)a(x)f (x,t)dt ，提出 a(x),(x,t)，使被积表达式中不含有x20 tf(xt)dt 求 F (x)例 14、.设 f（X）sin xUduu,x0,求 f (0).0,例15、设f（X）连续，（X）10 f (Xt )dt ,limf (X)X 0 XA （为常数），求（x）,并讨论(x)在 x 0处的连续性题型四、利用导数公式及法则求导1、熟记16个求导公式2、四则运算法则3、反函数求

10、导法则4、复合函数求导法则5、隐含数求导法则6、参数方程所确定函数的导数（极坐标） 注：1、直接求导或微分2、多项乘积的导数可考虑对数求导法3、区别 f g（x）, fg（x）例16、设方程xy y确定y是x的函数，求dydx3、公式法x arctan tdv例17、设函数V V(x)确定，求2y ty e5dx例18、(022 )已知曲线的极坐标方程是 r 1 cos求该曲线上对应处的切线与法线的直角坐标方程。题型五、高阶导数方法：1、数学归纳法2、重要函数的高阶倒数公式3、莱布尼兹公式4、幂级数展开(泰勒公式)f(x) an(x Xo)nn 0例 19、( 0023 )求 f (x)法一、

11、用莱布尼兹公式，nx2ln(1 x)的 f (n)(0)。2时 f (n)(0)0nx)(n k)|x0n 2 时，f(n)(0) C；(x2)(k)l n(1k 0Cn 2ln(1x)(n 2) |x 0n(n 1)( 1)n 3(n3)!(1nx)|x 0(1)03 n!n 2法二、泰勒公式f(x) x22 x3 xx23n 2(*仁 o(xn 2)(1)(n1)o(xn)【分析】利用函数y In 1【评注】此题也可用In 1x的麦克劳林展开式，比较系数得到结果0,n2f (n)(0)n3 n!(1),n2n 2例20、（ 102 ）函数yIn1 2x 在x0处的n阶导数y n 0 =【答案】应填2nn