考点1用经典工具计算函数数列极限讲义fixed

1、【野蛮生长吧】&2019数学 23 个冲刺必会考点精讲前言本课程是根据以及 2019 最新大纲钦点的 23 个冲刺必会考点精讲课。课程讲解包含：考点的概念和理论+基本题型总结+解题套路总结+常用结论，内容精炼，适用于冲刺阶段。复习程度不同的同学均可通过此课程，掌握每个必会考点的概念、题型、一般解题套路，高效提分，直击！请同学们根据更新进度，合理安排复习计划，认真利用此课程，必有所收货和提高。【野蛮生长吧】&考点 1 用经典工具计算函数、数列极限题型 1：函数极限计算统计套路：类型® 转化® 代入关键点：七种未定式转化方法¬ ：极限计算三步曲

2、2; ：极限计算秘籍¥¥00通分¥ - ¥ ®放分母¬0×¥或倒代换­­­1¥ ,00，¥0对数恒等变形等价抓大头洛必达洛必达注意：整个过程中，常用化简技巧有：有理化，三角函数公式，极限四则运算法则. 记忆：(1) 等价无穷小替换原则：整个函数的乘除因子；(2) 等价无穷小替换公式： x ® 0 时，-1 : ln(1+ x) ；换成“狗® 0 ”也成立.(3) 等价无穷小替换：进阶：公式；2+ o(x 2 )2+ o( x 2)2sin2arc

3、sin x = x +63a(a-1)4+ o(+x + o(x )22cos!20¥(4) 洛必达法则：大家最爱，一般先化简再处理 或 型极限;0¥注意：极限式中如果出现变上限函数，一般也用洛必达.分年值份科 目2009201020112012201320142015201620172018数一41410410144104数二18101814数三8241414141818182020【野蛮生长吧】&(5) 抓大头：抓主要，擒贼先擒王；先类型：® +¥)再：同一类型比较次数高低，例如(6) 对数恒等变形： u(x)v ( x ) = ev ( x

4、 ) ln u ( x ) （幂指函数求极限常用此变形）注：对于1¥ 型极限，常变形为lim u(x)v ( x )1(7) 常用极限： lim题目= elim v ( x )v ( x ) -1 ，此公式可直接套用.ln x = 0 （结论直接记住用）n 1+ sin x -1lim(1)tan xx®01+ tan x - 1+ sin xlim(2)x(1- cos x)x®0lim sin(3)sin3 xx®011-lim(4)sin2 xò0ln(1 + t)dtlim(5)x®0 ( 3 1 + x3 -1) ×

5、;sin x+14lim(6)x®-¥x2 + sin x1lim( x + ex ) x(7)x®0lim (sin x)tan x(8)x®0+1lim ( x + 1 + x2 ) x(9)x®+¥ex(10) limx®+¥1 2(1+)xx【野蛮生长吧】&题型 2：数列极限统计套路：利用单调有界收敛定理证明极限并求极限猜出界与单调性® 一般先证有界（方法：数学归纳法、不等式）；再证单调性（方法：n+1 ） ® 两遍取极限，求出极限.xn记忆：(1) 数列xn 单调有界必收敛；数

6、列xn 收敛必有界但不一定单调.(2) 假若 xn+1 = f (xn ) ，当< 1时，数列xn 必收敛。特别的，当0 < f '( x) < 1 时，f '(x)可以用单调有界定理证明数列xn 收敛.(分析：因为 xn+1 - xn= f (xn ) - f (xn-1 ) = f'(x)(xn - xn-1 ) ，当 f '(x) < 0 时，xn 非单调，只能用极限定义证明极限)(3) 常用不等式a1 + a2 +Lann£ n a a La £(i)均值不等式：111an1 2nn+L+a1a2(ii) 绝对

7、值不等式： a - b(iii) 当0 < x < p时， sin2当 x > 0 ， ln(1 +£a ± b£a + b；1< ln(1 + 1) <1-1;1+(iv)准则常用结论：有界量乘以无穷小量=无穷小量；lim n an + an +Lan = maxa , a ,L, a ，其中 a , a ,L, a ³ 0 ；12k12k12kn®¥分年值 份考点2009201020112012201320142015201620172018数一1010数二10141111数三1010【野蛮生长吧】&(v)定理设 f (x) 在 U 0 (x ,d) 内有定义， 则 lim f ( x)=AÛ 对任意以 x 为极限的数列00x®x00 ) ，极限 lim f ( x)=A.x®x0题目n (n = 1, 2, L) ，求lim x(1) 设nxn®¥n1(2) 设 x = 1, x= 2 +(n = 1, 2,L) ，求lim xn+11nxn®¥n+ a )(n = 1, 2, L) ，求lim x(3) 设 a >