不确定度与数据处理

1、不确定度与数据处理误差与不确定度1 误差与不确定度的关系(1) 误差：测量结果与客观真值之差x=x-A公认值一如物理常数等其中A称为真值，一般不可能准确知道，常用约定真值代替：标准值一更高精度仪器测量结果理论值一理论公式计算结果对一个测量过程，真值 A的最佳估计值是平均值 X。在上述误差公式中，由于 A不可知，显然 x也不可知，对误差的最佳估计值是不确定度u(x)。(2) 不确定度：对误差情况的定量估计，反映对被测量值不能肯定的程度。 通常所说“误差”一般均为“不确定度”含义。真值的估计值不确定度分为A、B两个分量，其中A类分量是可用统计方法估计的分量，它的主要成分是随机误差2.随机误差：多数

2、随机误差服从正态分布。定量描述随机误差的物理量叫标准差。(1)标准差与标准偏差标准差.k-(xkA)2丁真值A不可知，且测量次数 k为有限次/实际上也不可知，于是:用标准偏差S代替标准差:j I 1"单次测量的标准偏差结果表述:xi(置信概率S(x单次测量标准差最佳估计值68.3%)(并不是只做一次测量)S(x )的物理意义：在有限次测量中，每个测量值平均所具有的标准偏差。 通常不严格区分标准差与标准偏差，统称为标准差。(2 )平均值的标准差真值的最佳估计值是平均值，故结果应表述为：其中x / 真值的最佳估计值S( x )(置信概率平均值的标准差最佳估计值S(x)”(Xi x)2k(

3、k 1)68.3%)平均值的标准偏差例1:某观察量的n次独立测量的结果是 X1, X2, ,Xn。试用方差合成公式证明平均值的标准偏差是样本标准偏差的，即S(X)S(X).nX解： XL由题知Xi相互独立，则根据方差合成公式有nu(X)U2(XJU2(Xn)n利用样本标准偏差的定义，可知u(Xj=S(X)u(X) S(X)S2(X)S2(X)ni=1,2, ,n.nS2(X)nS(X)、n3. 系统误差与仪器误差(限)(1 )系统误差：在同一被测量的多次测量过程中，保持恒定或以可以预知方式变化的那一部分误差称为系统误差。 已被确切掌握了其大小和符号的系统误差，称为可定系统误差；对大小和符号不能

4、确切掌握的系统误差称为未定系统误 差。前者一般可以在测量过程中采取措施予以消除或在测量结果中进行修正；而后者一般难以作出修正，只能估计出它 的取值围。在物理实验中，对未定系统误差的估计常常利用仪器误差限来进行简化处理。(2 )仪器误差(限)：由国家技术标准或检定规程规定的计量器具的允许误差或允许基本误差，经过适当简化称为 仪器误差限，用以代表常规使用中仪器示值和(作用在仪器上的)被测真值之间可能产生的最大误差。常用仪器的仪器误差(限) 长度测量仪器：游标卡尺的仪器误差限按其分度值估计；钢板尺、螺旋测微计的仪器误差限按其计算。 指针式仪表：仪=a%Nm式中Nm是电表的量程，a是准确度等级。数字仪

5、表：仪=a%Nx+b%Nm 或仪=a%Nx+n字式中a是数字式电表的准确度等级，Nx是显示的读数，b是误差的绝对项系数，Nm是仪表的满度值,误差，相当于最小量化单位的倍数。 电阻箱：仪=ai%Ri Roi式中Ro是残余电阻，Ri是第i个度盘的示值，ai是相应电阻度盘的准确度级别。 直流电位差计：仪=a% (Ux巴)10式中a是电位差计的准确度级别，Ux是标度盘示值，Uo是有效量程的基准值，规定为该量程中最大的最小分度的1/2n代表仪器固定项10的整数幕。直流电桥：仪=a% Rx -)10式中Rx是电桥标度盘示值，a是电桥的准确度级别， Ro是有效量程的基准值，意义同上。(3) B类不确定度的处

6、理灵和估计误差限 估。其中灵敏度误差可表示为0.20.2n/ xB类不确定度与各种误差限之间的关系为Ub3'4.不确定度的合成(1)直接测量u(x)间接测量u(y)x： ua(x) , ub(x) .u2(x) u(x) y=f(X1, X2, xn)Ji(2)2u2最终结果表述形式：(3)结果有效数字的确定原则：(Xi)(称为合成不确定度)其中X1, X2,u(y)yN u(N)= 不确定度 测量结果例2：用分光计测棱镜材料的折射率公式为，则黄光所对应的折射率Asinn厂.A sin2A ,1 A cos (dA 2 2A sin 2解:dn,xn为相互独立的直接测量量lnf)2u2

7、(xi)Xiu(n)n u(n)=60 050 58sin单位)u(N )只保留一位有效数字；N与不确定度u(N)小数位数对齐。Asinn 2.Asin21.6479 0.0007。已测得A=60 0' 2',黄光(汞灯光源)所对应的=50 58'2d2.60 0sin2、 A 1 A )cos dA 2 2Asin -21.6479*ctg 耸2 2n 、寸(ctgF ctgA)2u2(A)寸ctg2u2()AInn lnsin2A Insin2ctg -)dA ctg 2 2rd160 050 5860 0 2 2180 212 60 050 58t -(ctg c

8、tg)( )_ctg.422604 yu(n) n 凹 1.6479 0.0004260.0007n5有效数字及其运算法则(1)有效数字：由若干位可靠数字加一位可疑数字构成。n u(n)=1.6479 0.0007型)20.000426在物理实验中，B类不确定度的来源通常包括以下三种：仪器误差仪、灵敏度误差在不计算不确定度的情况下，结果的有效数字由运算法则决定。(2 )运算法则 加减法：以参加运算各量中有效数字最末一位位数最高的为准并与之取齐。N=A+B-C-D，贝u U(N) u2(A) u2(B) u2(C) u2(D)取决于u(A)、u(B)、u(C)、u(D)中位数最高者，最后结果与之

9、对齐。 乘除法：以参加运算各量中有效数字最少的为准，结果的有效数字个数与该量相同。u(N)u(A) 22u(B)2u(C)u(D)N* AABCDN JAB，则 CD取决于其中相对不确定度最大者，即有效数字个数最少者。 混合四则运算按以上原则按部就班执行。例3：某物理量的计算公式为Y，其中k为常数，1.6为准确数，H 16cm， d=0.1500cm。若使Y的1 1.6d/H表示式中分母的值具有 4位有效数字，正确测 H的方法是(d )。(a)用游标卡尺估读到 cm千分位(b)用米尺估读到cm百分位(c)用米尺只读到 mm位(d)用米尺只读到cm位1.6d 1.6 0.15001.6d解：0.

10、015 分母11.015为4位有效数字H16H即H只需2位有效数字即可，故应选 (d)。 特殊函数的有效数字：根据不确定度决定有效数字的原则，从不丢失有效位数的前提出发，通过微分关系传播 处理。例4：tg45 2' =1.00116423解:y=tgx ，其中 x=45 2'最多可取几位有效数字？1取 x 10.00029(rad)601800.00029 0.00058即小数点后第四位产生误差1 1y 2 x cos x cos 45 2 tg45 2' =1.0012，有五位有效数字。例 5：双棱镜测波长的计算公式为汗，对实验数据进行处理的计算结果如下表所示。x=0

11、.28144mmb=5.9325mmb'=0.7855mmS=27.65cmS'=75.90cmu( x)=2.010 10-4m m(b)/b=0.025(b')/b'=0.025(S) =0.5cm(S') =0.5cm(b)=0.005mm(b')=0.005mm(S) =0.05cm(S') =0.05cm注：下标1代表来自方法误差，下标 2代表来自仪器误差 要求：(1)给出测量结果的正确表述(包括必要的计算公式)(2 )定量讨论各不确定度的分量中，哪些是主要的，哪些是次要的，哪些是可以忽略的？如果略去次要因素解：(1)x bb0

12、.28144. 5.9325 0.78554 _S S(276.5 759.0)5I J1 1 II 1 111,dd(x)dbdbdSInIn xln bln bln( SS)22x2b2bS S22 222u()u(x)u(b)u(b)u(S)u(S)0 0111Ix2b2bS SSSj .j i i i其中u(x)2.01010 40.000714 ;和可以忽略项的贡献，不确定度的计算将怎样简化？结果如何?dSS S0.281441(b)/、311(b)0.0250.007222b2、3b2“32(b)/ .30.0050 0002432b2 5.9325、3Ui (b)2bU2(b)2

13、bUi (b )2bU2(b )2bUi(S)S SU2(S)S SUi(S)S SU2(S)S Si(b)/、.31 i(b)2b2、3 b2 (b ) / . 30.0052b 2 0.7855 ”3i (S) / , 3S S2(S)/ .3S Si(S ) / , 3S S2(S)/ .3S S0.0252、30.007220.001840.5(27.65 75.90)-30.05(27.65 75.90) “30.002790.0002790.5(27.6575.90).30.05(27.6575.90) . 30.002790.0002792u(b)2ud)2u2(b)2b2 b2

14、b2u(b)5(b) 2(b) 22b2b2b222u(S)u1(S)u2(S)S SS SS S_ 2u(S)25(S)2u2(S)S SS SS S于是得 u( )= 5.86716 10 4 0.0111=6.53 10-6mmu( )=587 7nm由前面的计算可知，不确定度主要来自5(b)吐)和2b 2b次要因素是出®22bu1(S)和u1(S)，可以忽略的因S S S S素是 u( x)u2(b)x2bU2 (S)和 u2 (S )若只考虑主要项的贡献:u()2 25(b) u1(b)1(b)0.01026b则有u( )=6nmu( )=5872b2b6nm比严格计算的结

15、果稍小但相差无几。二、数据处理方法1. 列表法：按一定规律把数据列成表格。 列表原则：(1 )表格的标题栏中 注明物理量的名称、符号和单位 ；(2) 记录原始数据(如记录刻度数，而不是记录长度)；(3) 简单处理结果(如算出长度)或函数关系；(4) 参数和说明(如表格名称、仪器规格、环境参数、常量以及公用单位等)。2. 作图法：把实验数据用自变量和因变量的关系作成曲线，以便反映它们之间的变化规律或函数关系。 作图要点：(1) 原始数据列表表示 一一见列表法；(2) 用坐标纸作图，图纸大小以不损失有效数字和能包括所有点为最低要求，因此至少应保证坐标纸的最小分格 (通 常为1mm)以下的估计位与实

16、验数据中最后一位数字对应；(3) 选好坐标轴并标明有关物理量的名称(或符号)、单位和坐标分度值。其中分度比例一般取1、2、5、10较 好，以便于换算和描点；(4) 实验数据点以+、x、 、 、等符号标出，一般不用细圆点“ ”标示实验点；光滑连接曲线 并使实验点匀称 地分布于曲线两侧(起平均的作用)；(5) 图解法求直线斜率和截距时，应：在线上取点(不能使用实验点)；所取两点要相距足够远 (以提高精度)；在 图上要注明所取点的坐标 。例6:拉伸法测弹性模量的载荷一一伸长曲线如图所示，图上至少有 不规。它们是 坐标轴应标注物理量和单位，轴上缺少分度值标记标出，曲线应光滑连接，计算点坐标标注不规。3

17、 最小二乘法与一元线性回归法(1)最小二乘法：对等精密度测量若存在一条最佳的拟合曲线，那么 取极小值。5处绘制错误或 实验点应以醒目各测量值与这条曲线上对应点之差的平方和应例7:试用最小二乘原理推导直线方程解：根据最小二乘原理应有n(yii 1于是得y=kx中回归系数k的计算公式。kxi )2minn(yik i 1kxi )20n2(yii 1kxi)(为)0nXiyii 1nkxi20i 1xi yi2Xixyx2(2) 元线性回归法:由最小二乘原理,应有设直线方程kyi (a1(abXi)2解之得y=a+bx，其中自变量bxi )2 minx的误差可略k2yii 1(a bxj( 1)a

18、kXi1kyii 1kbi1yi(a(3 )相关系数r物理意义bXi)2Xik2yii 1(a bXj)(为)2XikXiii 1xy xyXiyi22(Xi) kXiXi yiXiyi yx22 2 () k Xiyix2x2bx用于检验x和y之间是否存在线性关系。xyxyx2x2)(y2y2)例8:根据所给相关系数 r=-1y a bx通过全部实验点 之间线性相关强烈Xi、yiyi随xi增加而增加yi随xi增加而减小Xi、yi之间无线性关系r作出实验点分布草图: r=0.9993拟合直线为与x轴平行的直线 r=0.015解：根据线路图可得R ()20.050.0100.0200.0300.

19、0400.0V (V)2.802.722.602.382.202.04EVR RvR RvRvRv (写出计算公式即可)。1计算R、丄精度:Vu(R)Ru(1 /V)1/V0.1 0.120?0，400.0u(V)V0.005,0.000250.01 0.01280，204可知R的精度较高0.0036,0.005故将公式变形为ERv并设直线方程y=a+bx(4) 回归法使用要点： 自变量x测量误差可略，即应选择测量精度较高的物理量作自变量； 因变量y为等精度测量 或近似等精度测量，即 u(yi)近似相等； 作线性关系的检验：利用物理规律或作图等其它方法确认线性关系的存在；或检验相关系数是否满足

20、|r| 1。例9:实验线路及测量数据如下，用一元线性回归法计算电压表阻E RERvV则有aRV4. 逐差法(1) 测量次数为偶数的逐差法设自变量和因变量之间存在线性关系y a bx，并有一组实验数据:隔n项逐差，可得到yn 1y1b1Xn 1X1，bny2n ynX2nXn取平均值X1, Xn，Xn 1， X2n；y1, ,yk,yn 1,y2nb 丄nbin i 1 n i 1 Xn i Xi对于自变量x等间隔分布的情况，有 xnXi nXn nXi(yn iyi)1求得b后，可由公式yia bXi求出yibXit (C)85.080.075.070.065.060.055.050.0R (

21、)0.36220.35650.34990.34370.33800.33240.32700.3215例10:已知R=R0(1+ t)，实验数据如下，用逐差法求电阻温度系数(不要求计算不确定度)解：R=R0+ R0 t 并设 y=a+bx 则有 a= R0b= R0 =ai1234平均t=ti+4-ti (C )20.020.020.020.020.0卍 Ri+4-Ri ()0.02420.02410.02290.02220.02335即而利用逐差法可得:a于是有R 0.02335 bt 20.00.0011675n(R b t)丄(2.73120.0011675 540.0)0.262680.0

22、0116750.262634.45 10(1/C)12345平均N=n i+5-ni500500500500500500d500=Xi+5-Xi (mm)0.161600.160500.159700.158850.157850.15970222d500N2 O.15970638.8(nm)500u( ) U(d 500)V d500u(N)N其中u(d 500 ).Ua (d 500 )Ub (d500 )(d i d 500 )U a (d 500 ),5 40.00005ub (d500) 0.0000289(mm)0.000648(mm)例11:迈克尔逊干涉仪实验数据处理条纹吞吐n010

23、0200300400M2镜位置X (mm)34.4830534.5158534.5483034.5806034.61300条纹吞吐n500600700800900M2镜位置X (mm)34.6446534.6763534.7080034.7394534.77085解法一：由逐差法可得u(N) ub(N)0.50.289(3u(2U(d500 )d500u(N)N638. & °.00064822 0.1597020.289250022.6(nm)u( )=639 3(nm)解法二：由逐差法可得i12345平均N'=( ni+5-ni)/5100100100100100

24、100d100=(Xi +5-Xi ) /5 (mm)0.0323200.0321000.0319400.0317700.0315700.031940222d 100N2 °.031940638.8(nm)100u()U(d100)d100u(N )N其中u(d100 )Ua (d 100 )Ub (d100 )U a (d100 )U b ( d 100 )(di dp。)2V 5 40.00005 0.00000577(mm) 5、30.000130(mm)u(N ) Ub(N )空 0.05775、3u()2 2u(d100)u(N )Nd 100638.80.00013020

25、.03194022°.05772.6(nm)1002u( )=639 3(nm)(2) 测量次数为奇数的逐差法 处理原则：去掉中间的数据。例12:重新处理迈克尔逊干涉仪实验数据条纹吞吐n0100200300400M2镜位置X (mm)34.4830534.5158534.5483034.5806034.61300条纹吞吐n5006007008009001000M2镜位置X (mm)34.6446534.6763534.7080034.7394534.7708534.80280条纹吞吐n0100200300400M2镜位置X (mm)34.4830534.5158534.5483034.5806034.61300解:去掉中间的数据后为条纹吞吐n6007008009001000M2镜位置X (mm)34.6763534.7080034.7394534.7708534.8028012345平均N=n i+6-ni600600