专题数列推理与证明等差数列等比数列

1、专题三数列、推理与证明第1讲等差数列、等比数列自主学习导引真题感悟1. (2012 浙江)设公比为q(q>0)的等比数列an的前n项和为Sn，若S2= 3a2+ 2,S4= 3a4+ 2，贝U q =.解析 利用等比数列的通项公式及前 n项和公式求解.解法一 S4= S2 + a3 + a4= 3a2 + 2 + a3 + a4= 3a4 + 2,2将 a3 = a2q, a4= a2q 代入得，2 2 23a2 + 2 + a2q + a2q = 3a2q + 2,化简得 2q q 3= 0,3解得q=2(q= i不合题意，舍去).解法二 设等比数列an的首项为ai，由= 3a2 +

2、2,得ai(1 + q) = 3aiq+ 2.由 S4 = 3a4 + 2,得 a1(1 + q)(1 + q2)= 3ag3+ 2.2 2由一得 a1q (1 + q)= 3ag(q 1).3q> 0,7 = .答案32. (2012 课标全国卷)已知an为等比数列，a4+ a7 = 2, a5a6= 8,贝U a1 + a10A. 7 B . 5 C. 5 D . 7解析 解法一 利用等比数列的通项公式求解.36 小a4+ a7= a1q + a1q = 2,由题意得452 9a5a6 = a1q xaq = aq = 8,-2,12'.ai = 8,9a4 + az 2，a

3、4 2，a4 4，由解得或a5a6 a4az 8，a7 4a7 2解法二 利用等比数列的性质求解.'3或q1ai2,12'a1 = 8,.a + aio= ai(1 + q )= 7.9-a1 + a10 a1(1 + q ) 7.答案 D考题分析等差数列与等比数列的基本性质与运算是各地高考考查的热点，突出了通性通法.三种题型都有可能出现，有较容易的低档题，也有与其他知识交汇命题的压 轴题.网络构建高频考点突破考点一：等差、等比数列的基本运算【例1】（2012盘锦模拟）已知数列an是各项均为正数的等比数列，且 a1 +a2=2 右+a，盼a4=32 2+a.(1) 求数列an的

4、通项公式；设bn= a2 + log2an,求数列bn的前n项和Sn.审题导引(1)利用所给的条件式求出aa与q,可求an;(2) 把数列bn分解为一个等差数列与一个等比数列，分组求和.门 1、ai + a2规范解答為+a2二2石+a；二2x応,11a3 + a4出+32 03+a；二 3宾号肓,数列an各项均为正数， aia2= 2, a3a4= 32,q； =書=16,.g 2,=a1a2=又 a192 = a1 aq= 2,a1= 1,an = a1qn-1 = 2-1.2n 1(2)°.bn= an+ Iog2an,bn= 4 - + (n- 1),0= b1 + b2 +

5、b3 + + bn0 1 2 n 1=(40 + 41 + 42+ 4n-1)+ (0+ 1+ 2+- + n- 1)4n- 1 n n- 1=丁 +【规律总结】方程思想在等差(比)数列的基本运算中的运用等差(比)数列的通项公式、求和公式中一共包含 a1> d(或 q)、n、an与Sn这五个 量，如果已知其中的三个，就可以求其余的两个.其中 a1和d(或q)是两个基本 量，所以等差数列与等比数列的基本运算问题一般先设出这两个基本量， 然后根 据通项公式、求和公式构建这两者的方程组，通过解方程组求其值，这也是方程 思想在数列问题中的体现.易错提示等差(比)数列的基本运算中，容易出现的问题主

6、要有两个方面：一是忽视题中的条件限制，如公差与公比的符号、大小等，导致增解；二是不能灵 活利用等差(比)数列的基本性质转化已知条件，导致列出的方程或方程组较为复 杂，增大运算量.【变式训练】1. (2012 安徽师大附中模拟)等差数列an的前n项和为Sn，已知a5二8, S3二6, 则s10 - s的值是A. 24B . 36C. 48D . 72解析S3= 3a2= 6，a2=2，又 a5= 8，3d= a5 a2=6，d = 2. Sio S ag+ a9 + ai0 3a9=3a5+ (9 5) d = 48.答案 C2. (2012青岛模拟)设等比数列an的各项均为正数，公比为q，前n

7、项和为Sn.若对？ n N +，有S2n<3Sn，则q的取值范围是A. (0,1 B. (0,2) C. 1,2) D. (0，.2)解析当q= 1时，显然有S2n<3S, 当 qM 1 时，tS2n< 3Sn，ai(1 qn)即 ®n 3Sn=(qn 2)< 0.i q qn 2< 0恒成立,0< q< 1,故 qq0,1.答案 A考点二：等差、等比数列的判定与证明【例2】已知数列an的前n项和为S,且满足：an 2SnS1 = 0(n2, n N+, SnM 0), ai = !，判断 S 与an是否为等差数列，并说明你的理由.审题导引因

8、为已知关系式中包含an, Sn, Sn-1，所以应根据an与Sn的关系式：an= s Sn- 1（ nA 2）将已知条件转化为关于Sn与Sn- 1之间的关系，从而判 断S |是否为等差数列，并求出Sn的表达式，然后求出数列an的通项公式，并 判断其是否为等差数列.规范解答因为an= Sn-Sn-1(nA2)，所以由 an 2SnSn-1 = 0，可得 Sn-Sn- 1-2SnS-1 = O(nA2)，111所以 一疋=2(nA2)，又因为S1= a1 = ，Sn-1 $2所以S|是以2为首项，2为公差的等差数列.1 1所以2+ (n- 1)X 2= 2n，故 Sn=亦.1 1所以当 nA 2

9、时，an= Sn- Sn- 1=1 2n 2(n -1)12n n - 1 '1所以an+ 1=，2n(n+ 1 )an+1 an =2n(n+ 1)2n(n 1)1( 12n |n+ 11 、n- 1尸1n n- 1 n+1 '所以当nA2时，an+1-an的值不是一个与n无关的常数,故数列an不是一个等差数列.综上，S是等差数列，an不是等差数列.【规律总结】判断数列是否为等差（比）数列的方法在判断一个数列是否为等差（比）数列时，应该根据已知条件灵活选用不同的/方法，一般是先建立an+ 1与an的关系式或递推关系式，表示出an + 1 - an或曲十1, an 然后验证其是

10、否为一个与n无关的常数另外，常数列an的通项公式an= a, 它是一个首项ai = a,公差d = 0的等差数列，若a0,则该数列也是一个首项 ai = a,公比q= 1的等比数列.如果一个数列中包含有 0的项，那么这个数列一 定不是等比数列.【变式训练】3. (2012 西安模拟)已知数列an满足：a产2, an+产2an+ 2.(1)求证：数列an+ 2是等比数列(要求指出首项与公比)；求数列an的前n项和Sn.解析 (1)证明由 an+1 = 2an+ 2,得 an+1 + 2 = 2an + 4,an+i + 2即 an+1 + 2 = 2(an+ 2),即卩=2( n6 +),an+

11、 2又由 a1 = 2 得 a1 + 2 = 4,所以数列an + 2是以4为首项，以2为公比的等比数列.由(1)知 an+ 2 = 4 2n" 1 = 2n+1, 所以 an= 2+ 2,所以 Sn= 22 + 23+ 2n+1 2n22 1 2n2n = 2n+2 2n 4.1 2考点三：等差、等比数列的性质及应用【例3】(1)已知正数组成的等差数列an，前20项和为100,则a7a14的最大值是A. 25B. 50 C. 100D .不存在(2)(2012 株洲模拟)设等比数列an各项均为正数，且a5a6+ a? = 18,则logs+ logsa2 + + logsa10=A

12、. 12B. 10C . 8D . 2+ logs5审题导引(1)求出a1 + a20,利用a1+ a20 = a?+ a14与基本不等式求解；利用等比数列的性质结合对数的运算法则解题.规范解答.an为等差数列，1°S2o= 2 20x (ai + a2o) = 100,'a7 + ai4= ai + a2o= 10.a7>0, ai4>0,°a7 ai4<二 25,a7 + ai4当且仅当a7 = ai4= 5时，等号成立.(2)'-a5a6 = a4 巧,a5a6+ a4a7 = i8,%= 9,log3ai + Iog3a2+ Iog

13、3aio= Iog3(aa2 aio)5=log3(a5a6) = 5log39= i0.答案(I)A (2)B【规律总结】等差、等比数列性质的应用技巧(1) 等差数列与等比数列有很多性质很类似，但又有区别，学习时需对比记忆，灵活应用.(2) 等差数列与等比数列的性质多与其下标有关，解题需多注意观察，发现其联系，加以应用.(3) 应用等差数列、等比数列的性质要注意结合其通项公式、前n项和公式.【变式训练】4. 设ap是公差为正数的等差数列，若 ai+ a2 + a3= i5, aia2a3= 80,则aii + ai2+ ai3等于A. I20B. I05 C. 90D. 75解析设公差为d且

14、d>0,.a + a? + a§ = 15,-a? d + a?+ a? + d = 15, a? 5.又 a1a2a3= 80,d2 = 9.'d > 0,d= 3.则 a11+ a12 + a13 = 3a12= 3(a2+ 10d) = 105.答案 B名师押题咼考【押题11在等比数列an中，a1 = 8, a4= a3a5,贝U a7 =解析解法一设等比数列an的公比为q.324'4 = a3a5, a1 = 8,8 q = 8 q 8 q ,即 q3=1，/q= 2,a7= a1q6 = 8 ? 6=解法二.a4= a3a5= a2, 且 a4工

15、0,.°a4= 1.2 1 又'-a4= a1a7, 即 卩 1 = 8a7,a7=答案 B押题依据本题可根据给出的条件利用等比数列的通项公式求解,等比数列的性质求解，解题切口较宽，不仅考查数列的通性通法, 对能力的考查，符合高考的要求，故押此题.【押题 21 在数列an中，a1= 1, an +1 = 2& + 2n.(1) 设bn=证明：数列bn是等差数列；(2) 求数列an的前n项和S.也可以利用同时也突出了解析(1)证明由已知an+1 = 2an+ 2“，得an + 1bn+ 1 =2an+2an2n-1=bn + 1.又 b1 = a1 = 1,因此bn是首项为1,公差为1的