类比拓展探究题

1、题型七：第22题类比、拓展探究题命题规律总结：类比、拓展、探究近8年共考查6次，其中2009年，2010年未考查，设题的背景为特殊三角形（2013-2016）和特殊四边形（2012和2010年）常涉及旋转、折叠，利用全等相似的知识加以解决。典例精讲例题（16年河南22题）（1）发现：如图1，点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b填空：当点A位于 时，线段AC的长取得最大值，且最大值为 （用含a，b的式子表示）（2）应用：点A为线段BC外一动点，且BC=3，AB=1，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE请找出图中与BE相等的线段，并说明理由

2、；直接写出线段BE长的最大值（3）拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA=2，PM=PB，BPM=90°，请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标【分析】（1）（思路分析）根据点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，即可得到结论；解：CB的延长线上，a+b【解法提示】：（1）点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b，当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为BC+AB=a+b，故答案为：CB的延长线上，a+b；（2）（思路分析）根据等边三角形的性质得到AD=AB，AC=AE

3、，BAD=CAE=60°，推出CADEAB，根据全等三角形的性质得到CD=BE；由于线段BE长的最大值=线段CD的最大值，根据（1）中的结论即可得到结果；解：CD=BE，理由：ABD与ACE是等边三角形，AD=AB，AC=AE，BAD=CAE=60°，BAD+BAC=CAE+BAC，即CAD=EAB，在CAD与EAB中，CADEAB，CD=BE；线段BE长的最大值=线段CD的最大值，由（1）知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的延长线上，最大值为BD+BC=AB+BC=4；（3）（思路分析）连接BM，将APM绕着点P顺时针旋转90°得到PBN，连接AN，得到

4、APN是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到PN=PA=2，BN=AM，根据当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，即可得到最大值为2+3；如图2，过P作PEx轴于E，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论解：2，P（2，）（解法提示）连接BM，将APM绕着点P顺时针旋转90°得到PBN，连接AN，则APN是等腰直角三角形，PN=PA=2，BN=AM，A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），OA=2，OB=5，AB=3，线段AM长的最大值=线段BN长的最大值，当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，最大值=AB+AN，AN=AP=2，最大值为2+3；如图2，过P作

5、PEx轴于E，APN是等腰直角三角形，PE=AE=，OE=BO3=2，P（2，）【方法指导】对于类比探究题，一般会有三问，每一问都是对前一问的升华和知识迁移应用，因此，在做这类题时，应从第(1)问开始，逐步进行，对于每一问都不能跳跃.一般地，第(1)问中，通过操作发现，找出解决问题的方法，可以利用全等或者相似进行求解，注意这一问有时会因为简单而不要求写出求解过程(如：直接写出结论等)，但对于考生而言，最好能不怕麻烦，将其解决过程完全呈现，从而找出其中演变的方法和思路；对于第(2)问，通过改变第(1)问的某个条件来计算求值，这样可以在做第(1)问的基础上，将变化的条件代入其中，观察其变化的特点；

6、第(3)问一般是在原题设的情景下，将条件改变，而应用相同的解题思路做题，因此，可以沿用第(1)问的解题方法，或者反方向思维，找出解决第(3)问的方法加以求解.试题演练1. (15长春)在矩形ABCD中，已知AD>AB.在边AD上取点E，使AEAB，连接CE，过点E作EFCE，与边AB或其延长线交于点F.猜想：如图，当点F在边AB上时，线段AF与DE的大小关系为_探究：如图，当点F在边AB的延长线上时，EF与边BC交于点G.判断线段AF与DE的大小关系，并加以证明应用：如图，若AB2，AD5，利用探究得到的结论，求线段BG的长第1题图2.(16郑州二模)如图1，在RtABC中，ACB90&

7、#176;，B60°，D为AB的中点，/EDF90°，DE交AC于点G，DF经过点C（1）求/ADE的度数；（2）如图2，将图1中的EDF绕点D顺时针方向旋转角（0°<<60°），旋转过程中的任意两个位置分别记为E1DF1，E2DF2，DE1交直线AC于点P，DF1交直线BC于点Q，DE2交直线AC于点M，DF2交直线BC于点N，求的值；（3）若图1中B（60°<<90°），（2）中的其余条件不变，请直接写出的值（用含的式子表示）3.（16石家庄一模）如图1，一副直角三角板满足AB=BC，AC=DE，ABC=D

8、EF=90°EDF=30°，【操作1】将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC于点Q在旋转过程中，如图2，当时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并给出证明【操作2】在旋转过程中，如图3，当时EP与EQ满足怎样的数量关系？，并说明理由【总结操作】根据你以上的探究结果，试写出当时，EP与EQ满足的数量关系是什么？其中m的取值范围是什么？（直接写出结论，不必证明）m第1题4（16黄石）在ABC中，AB=AC，BAC=2DAE=2（1）如图1，若点D关于直线AE的对称点为F，求证：ADFABC；（

9、2）如图2，在（1）的条件下，若=45°，求证：DE2=BD2+CE2；（3）如图3，若=45°，点E在BC的延长线上，则等式DE2=BD2+CE2还能成立吗？请说明理由5. （16·陕西）问题提出（1）如图，已知ABC，请画出ABC关于直线AC对称的三角形问题探究（2）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，AE=4，AF=2，是否在边BC、CD上分别存在点G、H，使得四边形EFGH的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由问题解决（3）如图，有一矩形板材ABCD，AB=3米，AD=6米，现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形EFGH部

10、件，使EFG=90°，EF=FG=米，EHG=45°，经研究，只有当点E、F、G分别在边AD、AB、BC上，且AFBF，并满足点H在矩形ABCD内部或边上时，才有可能裁出符合要求的部件，试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件？若能，求出裁得的四边形EFGH部件的面积；若不能，请说明理由6（15河南）如图1，在RtABC中，B=90°，BC=2AB=8，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE，将EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为（1）问题发现当=0°时，= ；当=180°时，=（2）拓展探究试判断：当0°360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明（3）问题解决当EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长7.（16龙东）已知：点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不