第九讲重积分

1、第九章 重积分一、学习目的与要求1、加深理解二重积分与三重积分的概念，熟悉重积分的性质。2、熟练掌握二重积分的计算方法（包括直角坐标与极坐标系下的计算）。3、熟练掌握三重积分的计算方法（包括直角坐标、柱坐标以及球坐标系下的计算）。4、能用重积分来表达一些几何量与物理量（如体积、曲面面积、质量、重心、转动惯量等）。二、学习重点二重积分和三重积分的计算法三、内容提要 1、重积分的定义（与D的划分及取法无关），其中D为平面有界闭区域，。（与的划分及取法无关，其中为空间有界闭区域，。 2、重积分的几何意义当时，表示以区域D为底，以曲面z=f(x,y)为顶的曲顶柱体体积。当时，表示平面区域D的面积。当时

2、，表示空间区域的体积。 3、重积分的可积性若（或）在有界闭区域D（或）上分块连续，则（或）在D（或）上可积。 4、重积分的性质二重积分与三重积分具有类似的性质，现以二重积分为例，并假设所有被积函数都是可积的。（）线性性质 ，其中k1,k2为 常数。（）区域可加性 ，其中且D1，D2除 边界外无其它公共点。（）比较性质若，则特别有 （）估值定理设，则，其中为有界闭区域D的面积。（）中值定理：若f(x,y)在D上连续，则，其中 5、重积分的计算重积分计算需化为累次积分，积分顺序的选取应视区域形状及被积函数的特点而定。（）二重积分计算 （1）在直角坐标系下，面积元 若（x-型区域），则 若（y-型区

3、域），则（2）在极坐标系下，面积元素若则 特别，若极点O在D的内部，则；若极点O在D的边界上， 则 若，则 （）三重积分的计算（1）在直角坐标系下，体积元若则此方法俗称“先一后二”法，区域D为在xOy面的投影区域。若则此法俗称“先二后一”法，区域Dz为平面z=z(c1<z<c2)截所得截面在xOy平面的投影区域。（2）在柱坐标系下，体积元若则若则（3）在球坐标系下，体积若则=6、重积分的应用（）平面图形的面积 设D为平面区域，其面积为（）空间立体的体积 设为空间区域，其体积为（）曲面的面积 设曲面方程为，函数f(x,y)在D上有连续的偏导数，则该曲面面积为: (IV) 物体的质量(

4、 1) 平面薄片的质量：设薄片占有平面区域D,其面密度为，则其质 量为： （2）空间立体的质量：设物体占有空间区域，其体密度为，则其 质量为 （）物体的质心（1） 平面薄片的质心：设薄片占有平面区域D，其面密度为，则薄片的重心坐标为： ，其中m为薄片的质量（2） 空间物体的质心：设物体占有空间区域，其体密度为，则物体的质心坐标为：其中（）物体的转动惯量： （1）平面薄片的转动惯量：设平面薄片占有区域D，其面密度为，则薄片对x轴和y轴的转动惯量Ix、Iy分别为：（2）物体的转动惯量：设物体占有空间区域，其体密度为，则物体对x,y,z轴的转动惯量Ix、Iy 和Iz分别为： （）引力 设立体的密度为

5、，外一点处有质量为m的一 质点，则立体对质点P0的引力为 F=Fxi+Fyj+Fzk，其中其中 为引力常数。四、思考题1、设函数在区域D上连续，则符号表示什么？这个量与什么有关？与什么无关？其几何意义是什么？2、采用极坐标计算二重积分时，其面积元素的表达式是什么？一般在什么情况下采用极坐标计算比较方便？3、试问下列等式是否成立，为什么？（1）其中D:x2+y24,D1:x2+y24,及x0,y0（2）其中D:（x-a）2+y2a2 (a>0)（3），其中D:1:x2+y24（4），其中，2及x0,y0,z0（5），其中及 x0,y0,z0 4、通常在什么情况下采用柱坐标或球坐标计算三重积

6、分比较方便？5、何谓三重积分的“先二后一”计算法？在什么情况下采用此法比较方便？五、典型例题分析例1 将表示为累次积分，其中D:由所围。分析 先画出积分域D的草图。由图可见，若选择先y后x的积分次序，积分将分为三段， 计算量较大。所以本题应选先x后y的积分次序。 解 图9-1例2 计算分析 按题中所给积分次序进行积分，将比较困难，若更换积分次序，会比较方便。 这 首先需要根据所给积分限画出积分区域的草图（图9-1），然后改选先x后y的积分次 序，再定限积分。解 原式= =小结 如何选择积分次序？（1）取决于积分区域的形状，要使积分域的分块情况最简单； （2）取决于被积函数的具体形式，使先作的积

7、分简便，有时甚至先积分中的被积函数没有初等原函数，如积分只有改变积分次序，才能达到积分的目的。在作重积分计算时，应注意下面几点：1） 应选择好适当的坐标系，一般选坐标系应兼顾被积函数与积分区域两头。如被积函 数为f(x2+y2)积分区域为圆形，或其一部分，应选极坐标系。但两头都能兼顾的情况是很少的，一般以区域优先考虑。如区域为圆形、扇形、圆环或区域边界用极坐标方程表达较简单时，应选极坐标，否则选直角坐标。2）应尽量利用对称性，但对称性也必须兼顾两头，即区域或被积函数。具体方法如下：（1）若区域D关于x轴对称（图9-2），则（2）若区域D关于y轴对称（图9-3），则（3）若区域D关于x轴和y轴均

8、对称（图9-4），则 图9-2 图9-3 图9-4例3 计算下列二重积分（1）（2），其中D是以(0,0),(1,0)(0,1)为顶点的三角形。（3），其中D由y=x3，y=1，x=-1围成，f是连续函数。分析 （1）D为方形域，应选直角坐标系。因积分区域关于x、y轴都对称，函数f(x,y)= 中y关于y是奇函数，而关于x，y都是偶函数，故应分成两个积分。 （2）虽然f(x,y)=f(x2+y2)，但区域为方形，故仍应选直坐标计算。又因D为轮换对称 （如），故 (3)被积函数出现抽象形式f(x2+y2)，直接积分是不可能得到结果的。但应注意，其中满足及若能创造条件使积分区域D分为两部分，其图形

9、分别关于x轴和y轴对称，则可利用 对称性使问题迎刃而解。解：（1） （2）由轮换对称性（3）用曲线将D分为D1与D2（图9-5）。显然D1关于y轴为对称，D2关于x轴对称。故= 图9-5小结 利用被积函数与积分域的对称性质，常常使重积分的计 算简化许多，避去容易错的繁琐计算，而且使一些无法 直接积分的问题得以解决。但必须注意正确利用这种性 质，否则会导致错误。例4 计算分析 带有绝对值（或偶次根号）的函数的积分关键是适当划分积分区域，使在绝对值内的被积函数在各小区域上保持定号，然后利用区域可加性去掉绝对值后再积分。解：将D表成D1+D2，其中，则 =y例5 计算所围。分析 当（1）积分域的边界

10、曲线以极坐标方程给出方便（如圆，心形线，双纽线等），且 被积函数是f(x2+y2)或f(xy)等形式；（2）用直角坐标积分较繁，甚至不可积时（如 ），常采用极坐标进行积分。本 题属于（1）的形式，故可利用极坐标来计算。解 如图9-6图9-6 =*例6 计算是由xy=2, xy=4,y=x,y=2x围成分析 积分区域较复杂，直接用直角坐标计算较麻烦，故可根据区域的不等式表示选择一 般坐标变换。解 令xy=u, ，则，故，D变为，于是原式=*例7 计算分析 本题适合用广义极坐标变换：，会使问题简化。解 原式= =*例8 计算，其中D由曲线x2+y2=x+y所界分析 此边界直接画图较难，可先化成极坐

11、标方程再绘草图，也可不绘图，通过解不等式， 来决定变化范围即积分限。解（）D为圆形域，引入极坐标代入曲线方程得由故，于是（）易知圆心在点，令，（即极点取在圆心而 非原点），显见，将变换代入圆的方程，得，于是得， 故 （）画图见限（略）例9 设f(x)在a,b连续，且f(x)>0，利用二重积分证明分析 所证不等式右端（b-a）2可视为二重积分，那么就希望将左端也化为二 重积分，这是可能的。重积分的计算方法，是化做累次积分。反过来累次积分也可 以化成一个重积分，根据定积分之值与积分变量的记号无关的性质，可将两个定积 分之积写为二次积分，进而化为二重积分，然后利用被积函数的不等关系来证明。证

12、=又 =那么， 例10 计算，其中D是中心为原点，半径为r的圆所 围区域。分析 本题若先求积分，后算极限是困难的，注意被积函数连续，故可考虑用重积分的 中值定理估计出积分值，再取极限。解 ，当时，于是例11 计算在第一卦限的部分。分析 见图9-7，此三重积分可用多种方法计算，以使读者搞清在不同坐标系下的体积元素 是什么，如何定限等问题。解法1 采用直角坐标计算解法2 采用柱坐标计算图9-7解法3 采用球坐标计算。 =解法4 采用“先二后一”法计算。 =尽管可用多种方法求解，但此题用球坐标或“先二后一”法还是比较简便。例12 计算绕z轴旋转一周而成的曲面与平面 z=2,z=8所围的立体。分析 先

13、写出旋转曲面的方程，并画出的 草图（图9-8）。本题可采用柱坐标来积分。此时要注意， 对z 积分时的上下限在圆域x2+y24与环形域4x2+y29上不同（读者往往不注意这一点），故积分应分为两部分。又因用竖标为z的平面去截区域所得到的平面闭区域Dz为一个圆域，本题用“先二后一”法计算更 简便。图9-8解法1 采用柱坐标 =解法2 用“先二后一”法，截面。 =例13 计算，其中所围的立体。分析 积分域为顶点在原点的锥面与球面所围，采用球坐标较为方便，且依习惯将坐标 系作旋转，如图9-9所示，这样可将x,y,z表示为：解 其中图9-9 =0 （注意：） ,所以 三重积分计算中也经常用到对称或轮换对

14、称性，现叙述如下：（1）如区域关于xoy面对称。 （）被积函数关于z为奇函数，则（）被积函数关于z为偶函数，则，其中 是关于xoy面对称的上或下半个区域。如果关于yoz或zox对称，则考虑被积 函数关于x或y的奇偶性可得出类似结论。 （2）如果区域关于xoy，yoz平面都对称，而被积函数关于z及x都是偶函数，则，其中是关于xoy及yoz平面对称的个 区域。如果关于xoy或zox或yoz,zox对称，则应相应考虑函数关于z及y或x 及y的奇偶性可得出类似结论。 （3）如果区域关于xoy，yoz，zox平面都对称，被积函数关于x,y,z 都是偶函数，则，其中为位于任一卦限的区域。例14 计算下列三

15、重积分（1），其中（2），其中（3），其中（4），其中分析 上述积分区域都是对称区域，应尽量利用对称性，对（3）最好用广义球坐标变换。解 （1）关于xoz对称，被积函数中关于y为奇函数，故此项积分为0，于是 原式=的体积=（2）因轮换对称，故 用球坐标代换 于是（3）注意到关于yoz,xoz平面都对称，所以x的奇函数及y的奇函数部分为零 即的积分为0，即 因此令 则 （4）直接计算较麻烦，因此区域为上半球域，不具轮换对称性，而被积函数是z的偶函数，若将区域扩展到整个球，则有 ，其中，由的轮换 对称性知 故 注 本例（4）将延展成再利用对称性计算，使问题得到简化。这种思路应重视，值得 借鉴。例1

16、5 求所围立体的体积。分析 此立体为球面与旋转抛物面所围，利用三重积分计算体积时，选用柱坐标为好。 （不可选用球坐标）解 由解得 （舍去）再将z=1代入两个曲面方程之中的一个，可得立体在xoy面的投影区域=例16 求由y2=ax及直线x=a(a>0)所围成的均匀薄片（面密度为常数）对直线y=-a的转动惯量。分析 如图9-10，平面薄片对x轴的转动惯量，可表示为 其中y实质上代表了 平面域D上的点(x,y)到转动轴（y=0）的距离，那么若转动轴为某直线时，只须找出点(x,y)到此直线的距离就可以了。当然也可以利用坐标平移的方法。解 （选择先x后y积分方便）图9-10 = = =（注意利用奇、偶函数在对称区间上积分的性质） =例17 设半径为R的球面的球心在定球面x2+y2+z2=a2(a>0)上，问当R取何值时，球面 在定球面内部的那部分面积最大？分析 本题是求曲面面积与最值的综合应用题。其关键是（1）恰当选取坐标系，使曲面 的方程最简捷；（2）利用二重积分将所求部分曲面的面积表为R的函数A（R）；（3） 求A（R）的最大值。解 取坐标系如图9-11所示。球面的方程为x2+y2+(z-a)2=R2。球面在