第十二讲重积分的计算方法探讨

1、泰山学院信息科学技术学院教案 数值分析 教研室 课程名称高等数学研究授课对象授课题目 第十二讲重积分的计算方法探讨课时数4教学目的通过教学使学生掌握计算二重积分与三重积分的各种方法。重点难点1.化累次积分计算二重积分与三重积分2.利用极坐标计算二重积分3、用球坐标计算三重积分难点是二重积分与三重积分的计算技巧教学提纲第十二讲重积分的计算方法探讨一、二重积分的计算方法二重积分的基本计算方法有两种，一是化累次积分的方法,二是极坐标的方法。1.化累次积分计算二重积分2.利用极坐标计算二重积分二、二重积分的计算技巧3.改变累次积分的次序计算二重积分4.分割积分区域计算二重积分5.利用函数的奇偶性化简二

2、重积分三、三重积分的计算1、用函数奇偶性化简三重积分2用直角坐标计算三重积分（先1后2，先2后1，）3、用柱坐标计算三重积分4、用球坐标计算三重积分教学过程与内容教学后记第十二讲重积分的计算方法探讨重积分的计算一方面本身是很重要的，另一方面它是曲线积分、曲面积分和概率统计的基础，分割积分区域、利用函数的奇偶性简化积分和利用对称性（轮换）简化积分是重积分计算的技巧。一、二重积分的基本计算方法二重积分的基本计算方法有两种，一是化累次积分的方法,二是极坐标的方法。1.化累次积分计算二重积分 X-型区域: D : j1(x)£y£j2(x), a£x£b . Y

3、 -型区域: D : y1(x)£y£y2(x), c£y£d . 例1： 计算, 其中D是由直线y=1、x=2及y=x所围成的闭区域. 【解法一】把D看成是X-型区域: 1£x£2, 1£y£x . 于是， 【评注】积分还可以写成. 【解法二】也可把D看成是Y-型区域: 1£y£2, y£x£2 . 于是. 例2. 计算, D是由直线y=1、x=-1及y=x所围成的闭区域. 【解】 画出区域D, 可把D看成是X-型区域: -1£x£1, x£y

4、£1. 于是. 也可D看成是Y-型区域:-1£y£1, -1£x<y . 于是 . 2.利用极坐标计算二重积分 有些二重积分, 积分区域D 的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便, 且被积函数用极坐标变量r 、q 表达比较简单. 这时我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分. 若积分区域可表示为 D:j 1(q)£r£j 2(q), a£q£b, 则 . 例3. 计算, 其中D是由中心在原点、半径为a 的圆周所围成的闭区域. 【解】在极坐标系中, 闭区域D可表示为: 0£r£a , 0

5、3;q £2p . 于是 . 【评注】 此处积分也常写成. 例4 求球体x2+y2+z2£4a2被圆柱面x2+y2=2ax所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积. 【解】由对称性, 立体体积为第一卦限部分的四倍. , 其中D为半圆周及x轴所围成的闭区域. 在极坐标系中D可表示为 0£r£2a cosq , . 于是 . 二、二重积分的计算技巧1.改变累次积分的次序计算二重积分有些题目若把积分区域视为X型积分比较困难，甚至积不出来，但视为Y型区域就好积多了。化累次积分时，除了看积分区域外还应看被积函数。例5 计算二重积分，其中是由直线所围成的平面区域.【

6、解】积分区域如右图.因为根号下的函数为关于的一次函数，“先后”积分较容易，所以把D视为Y型区域 .例6：(1)求(2)，计算【分析】这两个几分直接计算都是困难的，但交换累次积分的顺序后计算就简单多了。2.分割积分区域计算二重积分绝对值函数、分段函数、取整函数，max()，min()往往在积分区域的不同部分有不同的取值，应根据被积函数合理分割积分区域，以正确计算积分例7设，表示不超过的最大整数. 计算二重积分【分析】首先应设法去掉取整函数符号，为此将积分区域分为两部分即可.【解】令， .则 = =【评注】对于二重积分（或三重积分）的计算问题，当被积函数为分段函数时应利用积分的可加性分区域积分.

7、而实际考题中，被积函数经常为隐含的分段函数，如取绝对值函数、取极值函数以及取整函数等等.3.利用函数的奇偶性化简二重积分设函数在区域D上连续，则 （1）如果关于是奇函数，并且D关于Y轴对称,则；（2）如果关于是偶函数，并且D关于Y轴对称,则。评论：还有两条类似的结论，（1）能简化二重积分的计算。例8:设区域， 计算二重积分【分析】由于积分区域关于轴对称，故可先利用二重积分的对称性结论简化所求积分，又积分区域为圆域的一部分，则将其化为极坐标系下累次积分即可.【解】 积分区域如右图所示.因为区域关于轴对称，函数是变量的偶函数，函数是变量的奇函数.则 ，故. 【评注】只要见到积分区域具有对称性的二重

8、积分计算问题，就要想到考查被积函数或其代数和的每一部分是否具有奇偶性，以便简化计算.例设二元函数 计算二重积分，其中【解】由区域的对称性和被积函数的奇偶性有 其中为D在第一象限的部分. 设 , ,.因此 .例10: 求，其中D是由圆和所围成的平面区域(如图).【分析】首先，将积分区域D分为大圆减去小圆，再利用对称性与极坐标计算即可.【解】令，由对称性，.所以，.三、重积分的计算1、用函数奇偶性化简三重积分对称性：若关于xy(yz或zx)面对称，而是z(x或y)的偶（奇）函数，则（）。例11：(1)设，求；(2)设，求。【解】(1)积分区域关于面对称，为的奇函数，故故原式(2)关于面对称，为的奇

9、函数，故故2用直角坐标计算三重积分在直角坐标系中，可化三重积分为三次积分。设积分域如图，则可表示为故 式称为计算三重积分的先一后二法。式可进一步化为 式即为计算三重积分的三次积分法。也可表示为，故 式称为计算三重积分的先二后一法或切片法。注：用直角坐标计算三重积分的关键是根据积分区域的形状以及被积函数的特点选择适当的积分组合与次序。例12：求，为三个坐标面及平面所围成的区域。【解】故例13、求，为球面及三个坐标面所围第一卦限部分。【解】故例14、求，由围成。【解】由对称性，因为关于面对称，而分别为的奇函数，故从而例15：求，由围成。【解】3、用柱坐标计算三重积分点在面上的投影为，的极坐标为，则称为的柱坐标。直角坐标与柱坐标的关系为.积分域在面上的投影是圆或被积函数含有时，适宜用柱坐标