信号流图和梅森公式

1、8:301第五节第五节 信号流图和梅森公式信号流图和梅森公式第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型8:302项 目内 容学 习 目 的掌握由信号流图利用梅森公式求取传递函数的方法。 重 点利用梅森公式求取传递函数 难 点闭环系统有关传函的一些基本概念2-5 信号流图和梅森公式信号流图和梅森公式8:303本节内容信号流图的组成和绘制MASON公式求系统传递函数闭环系统有关传函的一些基本概念8:304一 信号流图的组成和绘制对于复杂的控制系统，结构图的简化过程对于复杂的控制系统，结构图的简化过程仍较复杂，且易出错。仍较复杂，且易出错。u信号流图信号流图：对系统的：对系统的结构结构和信号

2、（变量）传和信号（变量）传递过程的递过程的数学关系数学关系的图解描述的图解描述。优点：优点：用梅森公式可以直接写出系统的传递函用梅森公式可以直接写出系统的传递函数，数，无需对信号流图进行化简和变换无需对信号流图进行化简和变换。8:305由节点、支路组成u基本组成： 节点节点：节点表示信号。输入节点表示输入信号，输出：节点表示信号。输入节点表示输入信号，输出节点表示输出信号。节点表示输出信号。 支路支路：连接节点之间的线段为支路。支路上箭头方向：连接节点之间的线段为支路。支路上箭头方向表示信号传送方向。传递函数标在支路上箭头的旁边，表示信号传送方向。传递函数标在支路上箭头的旁边，称支路增益。称支

3、路增益。xyGxGy8:3062x3x4x5xabcdef1xu有关术语输入节点输入节点：源节点。只有输出支路。：源节点。只有输出支路。输出节点输出节点：阱节点。只有输入支路。：阱节点。只有输入支路。混合节点混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点。相：既有输入支路又有输出支路的节点。相当于结构图中的信号比较点和引出点。它上面的信当于结构图中的信号比较点和引出点。它上面的信号是所有输入支路引进信号的叠加。号是所有输入支路引进信号的叠加。8:3072x3x4x5xabcdef1xg 回路回路：通路与任一节点相交不多于一次，但起：通路与任一节点相交不多于一次，但起点和终点为同一节点的通路称为点和终

4、点为同一节点的通路称为( (单独单独) )回路。回路。8:3082x3x4x5xabcdef1x 回路回路：通路与任一节点相交不多于一次，但起：通路与任一节点相交不多于一次，但起点和终点为同一节点的通路称为点和终点为同一节点的通路称为( (单独单独) )回路。回路。g8:3092x3x4x5xabcdef1x 回路回路：通路与任一节点相交不多于一次，但起：通路与任一节点相交不多于一次，但起点和终点为同一节点的通路称为点和终点为同一节点的通路称为( (单独单独) )回路。回路。g 不接触回路不接触回路：各回路间没有公共节点的回路。：各回路间没有公共节点的回路。 回路增益回路增益：回路中所有支路增

5、益的乘积。一般用：回路中所有支路增益的乘积。一般用L La a表示。表示。8:30102x3x4x5xabcdef1xg 前向通路增益前向通路增益：前向通路上各支路增益的的：前向通路上各支路增益的的乘积。一般用乘积。一般用Gk k来表示。来表示。 前向通路前向通路：信号从输入节点到输出节点传递时，：信号从输入节点到输出节点传递时，每个节点只通过一次的通路。每个节点只通过一次的通路。8:30112x3x4x5xabcdef1xg 前向通路增益前向通路增益：前向通路上各支路增益的的：前向通路上各支路增益的的乘积。一般用乘积。一般用Gk k来表示。来表示。 前向通路前向通路：信号从输入节点到输出节点

6、传递时，：信号从输入节点到输出节点传递时，每个节点只通过一次的通路。每个节点只通过一次的通路。8:3012232xxx2342xxxx343xxx2352xxxx23542xxxxx3543xxxx44xx 232xxx和44xx 2352xxxx和44xx Output node1Mixed nodeinput node(source)1x2x3x4x5x6x23a32a34a45a25a44a24a12a43a1235453a单独回路(7个)不接触回路(2组)8:30131 1 信流图是线性代数方程组结构的一种图形表示，信流图是线性代数方程组结构的一种图形表示，两者一一对应。两者一一对应。

7、u说明1121233254355xxxaxdxexxbxxxcxxxf2x3x4x5xabcdef1x8:30142 2 对于一个给定的系统，对于一个给定的系统，由于描述同一个系统的方由于描述同一个系统的方程可以表示为不同的形式程可以表示为不同的形式，因此信号流图不是唯一，因此信号流图不是唯一的。的。3 3 混合节点可以通过增加一个增益为混合节点可以通过增加一个增益为1 1的支路变成的支路变成为输出节点为输出节点, ,且两节点的变量相同。且两节点的变量相同。2x3x4xabcde1xx518:3015v由原理图绘制信号流图由原理图绘制信号流图(1)(1)列写系统原理图中各元件的原始微分方程式。

8、列写系统原理图中各元件的原始微分方程式。(2)(2)将微分方程组取拉氏变换，并考虑初始条件，将微分方程组取拉氏变换，并考虑初始条件，转换成代数方程组。转换成代数方程组。(3)(3)将每个方程式整理成因果关系形式。将每个方程式整理成因果关系形式。(4)(4)将变量用节点表示，并根据代数方程所确定将变量用节点表示，并根据代数方程所确定的关系，依次画出连接各节点的支路。的关系，依次画出连接各节点的支路。u信号流图的绘制8:3016例 绘制RLC电路的信号流图，设电容初始电压为uo(0)，回路中电流的初始值为i(0)。8:3017o( )(0)( )( )( )iL sI siRI sU sUsoo(

9、 )(0)( )C sUsuI s1 1 列写网络微分方程式如下：列写网络微分方程式如下：od ( )( )( )( )dii tLRi tu tu ttod( )( )du tCi tt2 2 方程两边进行拉氏变换：方程两边进行拉氏变换：8:30183 3 按照因果关系，将各变量重新排列得方程组：按照因果关系，将各变量重新排列得方程组：oo( )(0)( )C sUsuI so( )(0)( )( )( )iL sI siRI sU sUso( )( )(0)( )iU sUsiI sRLsRsLoo(0)( )( )uI sUsCs8:3019o( )( )(0)( )iU sUsiI s

10、RLsRsLoo(0)( )( )uI sUsCs1L sR1-1( )( )ioU s U s4 4 按照方程组绘制信流图按照方程组绘制信流图1s(0)ou( )oU s( )iU s( )I s(0)i11RL1C8:3020v由系统结构图绘制信号流图由系统结构图绘制信号流图 信号流图包含了结构图所包含的全部信息，信号流图包含了结构图所包含的全部信息，在描述系统性能方面，其作用是相等的。但是，在描述系统性能方面，其作用是相等的。但是，在图形结构上更简单方便。在图形结构上更简单方便。结构图：输入量比较点引出点信号线方框输出量信流图： 输入节点混合节点支路输出节点8:3021由系统结构图绘制信

11、号流图的步骤由系统结构图绘制信号流图的步骤 1 1）将方框图的所有信号）将方框图的所有信号( (变量变量) )换成节点，换成节点，并按方框图的顺序分布好；并按方框图的顺序分布好；2 2）用标有传递函数的线段）用标有传递函数的线段( (支路支路) )代替结构代替结构图中的方框。图中的方框。8:3022画出系统的信流图。画出系统的信流图。 G1 1G6 6G7 7G2 2G3 3G5 5-H1 1-H2 2G4 4abcdR(s)C(s)8:3023注意：引出点和比较点相邻的处理8:3024例 绘制下图所示系统结构图对应的信号流图。8:3025abc( )R s( )C s2( )G s1( )G

12、 s3( )G s114( )G s( )H s1 将结构图的变量换成节点，并按结构图的顺序分布好；解：解：2 用标有传递函数的线段(支路)代替结构图中的函数方框。abc8:3026输入与输出两个节点间的传递函数可用梅森公输入与输出两个节点间的传递函数可用梅森公式来求取：式来求取：Nkkk 11GGm1m2m3mmm1LLL 式中：式中：信流图的特征式信流图的特征式梅森公式梅森公式 =1-( =1-(所有单独回路增益之和所有单独回路增益之和)+()+(任意两个任意两个互不接触回路增益互不接触回路增益乘积乘积之和之和) )( (任意三个互不接触任意三个互不接触回路增益回路增益乘积乘积之和之和)+

13、)+ 8:3027Gk k N条前向通路中第条前向通路中第k k条前向通路的增益；条前向通路的增益；k k第第k k条前向通路余因式，即与第条前向通路余因式，即与第k k条前向条前向通路不接触部分的通路不接触部分的值（特征式）；值（特征式）；去掉第K条前向通路后剩余的流图的特征式。 N 前向通路的总数。前向通路的总数。Nkkk 11GG8:3028例例1 利用梅森公式，求：利用梅森公式，求：C(s)/R(s)。8:3029G1 1G6 6G7 7G2 2G3 3G5 5-H1 1-H2 2G4 4abcdR(s)C(s)v该系统中有四个独立的回路：该系统中有四个独立的回路：用梅森公式用梅森公式

14、141L = G H8:3030G1 1G6 6G7 7G2 2G3 3G5 5-H1 1-H2 2G4 4abcdR(s)C(s)v该系统中有四个独立的回路：该系统中有四个独立的回路：用梅森公式用梅森公式141L = G H2272 L = G G H8:3031G1 1G6 6G7 7G2 2G3 3G5 5-H1 1-H2 2G4 4abcdR(s)C(s)v该系统中有四个独立的回路：该系统中有四个独立的回路：用梅森公式用梅森公式141L = G H2272 L = G G H36452L = G G G H8:3032G1 1G6 6G7 7G2 2G3 3G5 5-H1 1-H2 2

15、G4 4abcdR(s)C(s)v该系统中有四个独立的回路：该系统中有四个独立的回路：用梅森公式用梅森公式141L = G H2272 L = G G H36452L = G G G H423452L = G G G G H8:3033G1 1G6 6G7 7G2 2G3 3G5 5-H1 1-H2 2G4 4abcdR(s)C(s)v该系统中有四个独立的回路：该系统中有四个独立的回路：用梅森公式用梅森公式v互不接触的回路互不接触的回路L1 L2。141L = G H2272 L = G G H36452L = G G G H423452L = G G G G H()123412=1- L +

16、L +L +L +L L所以，特征式所以，特征式8:3034G1 1G6 6G7 7G2 2G3 3G5 5-H1 1-H2 2G4 4abcdR(s)C(s)v前向通道有三个：前向通道有三个：112345P = G G G G G11 8:3035G1 1G6 6G7 7G2 2G3 3G5 5-H1 1-H2 2G4 4abcdR(s)C(s)v前向通道有三个：前向通道有三个：112345P = G G G G G26145P = G G G G11 21 8:3036G1 1G6 6G7 7G2 2G3 3G5 5-H1 1-H2 2G4 4abcdR(s)C(s)v前向通道有三个：前向

17、通道有三个：112345P = G G G G G26145P = G G G G3712P = G G G11 21 311L 8:3037G1 1G6 6G7 7G2 2G3 3G5 5-H1 1-H2 2G4 4abcdR(s)C(s)v前向通道有三个：前向通道有三个：112345P = G G G G G26145P = G G G G3712P = G G G11 21 311L 8:3038得系统的传递函数C(s)/R(s)为 272142543225462721414721346154321332211HGGHGHGGGGHGGGHGGHG1)HG(1GGGGGGGGGGGG)p

18、p(p1GR(s)C(s)=1-(L1+L2+L3+L4)+L1L2 G1= G1G2G3G4G5 1=1 G2= G1G6G4G5 2=1 G3= G1G2G7 3=1-L1Nkkk11GG将将代入代入8:3039e1abcdfghC(s)R(s)四个单独回路，两个回路互不接触。四个单独回路，两个回路互不接触。C(s)R(s)=1+前向通路两条。前向通路两条。afbg ch efhgahfced(1g)bdabc例例2：求系统传递函数。：求系统传递函数。8:3040例例3：求系统的传递函数：求系统的传递函数12,Lbg Lbci单 独 回 路 :abcdefghi3456,Lehg Lei

19、LfLch45L Leif两 两 互 不 接 触 回 路 :1bgbciehgeifcheif 8:304111,1Gabcd abcdefghi( )(1)( )1C sabcdadefR sbgbciehgeifcheif22,1Gadef由梅森公式，得传递函数8:3042G1G2-RC例例4 用梅森公式求系统传递函数。用梅森公式求系统传递函数。8:3043解：由结构图绘制出信号流图。解：由结构图绘制出信号流图。G1G2C(s)R(s)1111111-1x1x2x3x4x5x68:3044单独回路有单独回路有5条：条：1234111:xxxxxLG G1G2R(s)-1x1x2x3x4x5

20、x68:3045单独回路有单独回路有5条：条：1234111:xxxxxLG 1654122:xxxxxLG G1G2R(s)-1x1x2x3x4x5x68:3046单独回路有单独回路有5条：条：1234111:xxxxxLG 1654122:xxxxxLG 23652312:xxxxxLGGG1G2R(s)-1x1x2x3x4x5x68:3047单独回路有单独回路有5条：条：1234111:xxxxxLG 1654122:xxxxxLG 1236541412:xxxxxxxLGG 23652312:xxxxxLGGG1G2R(s)-1x1x2x3x4x5x68:3048单独回路有单独回路有5

21、条：条：1234111:xxxxxLG 1654122:xxxxxLG 1652341512:xxxxxxxLGG 1236541412:xxxxxxxLGG 23652312:xxxxxLGGG1G2R(s)-1x1x2x3x4x5x68:3049单独回路有单独回路有5条：条：1234111:xxxxxLG 1654122:xxxxxLG 1652341512:xxxxxxxLGG 1236541412:xxxxxxxLGG 23652312:xxxxxLGG没有互不接触回路。前向通路有没有互不接触回路。前向通路有4条：条：123411:xxxxPGG1G2R(s)-1x1x2x3x4x5x

22、68:3050单独回路有单独回路有5条：条：1234111:xxxxxLG 1654122:xxxxxLG 1652341512:xxxxxxxLGG 1236541412:xxxxxxxLGG 23652312:xxxxxLGG没有互不接触回路。前向通路有没有互不接触回路。前向通路有4条：条：123411:xxxxPG165422:xxxxPGG1G2R(s)-1x1x2x3x4x5x68:3051单独回路有单独回路有5条：条：1234111:xxxxxLG 1654122:xxxxxLG 1652341512:xxxxxxxLGG 1236541412:xxxxxxxLGG 2365231

23、2:xxxxxLGG没有互不接触回路。前向通路有没有互不接触回路。前向通路有4条：条：123411:xxxxPG165422:xxxxPG123654312:xxxxxxPGGG1G2R(s)-1x1x2x3x4x5x68:3052单独回路有单独回路有5条：条：1234111:xxxxxLG 1654122:xxxxxLG 1652341512:xxxxxxxLGG 1236541412:xxxxxxxLGG 23652312:xxxxxLGG没有互不接触回路。前向通路有没有互不接触回路。前向通路有4条：条：123411:xxxxPG165422:xxxxPG123654312:xxxxxxP

24、GG165234412:xxxxxxPGG31212kkk 1121221G1GGGGGGGGG1i 由梅森公式，得：由梅森公式，得：G1G2R(s)-1x1x2x3x4x5x68:3053注意千万小心！用梅森公式求系统的传递函数方法虽然简单，但是不要漏掉任意一条单独回路、不接触回路和前向通路，否则最终结果就是错的！8:3054 微分方程、传递函数、动态结构图、微分方程、传递函数、动态结构图、信号流图（梅森公式）等表达形式各有千信号流图（梅森公式）等表达形式各有千秋，各有自己的应用特点，但同时他们又秋，各有自己的应用特点，但同时他们又相辅相成，共同组成了描述系统的体系，相辅相成，共同组成了描述

25、系统的体系，只有将他们有机地结合在一起统一研究，只有将他们有机地结合在一起统一研究，才能对系统有更深入、更全面的认识。才能对系统有更深入、更全面的认识。v小结：求传函的方法小结：求传函的方法系统原理图系统原理图微分方程组微分方程组微分方程微分方程动态结构图动态结构图信号流图信号流图传递函数传递函数梅森公式梅森公式化简拉氏变换消去中间变量各元件输入输出关系拉氏变换8:3056五五 闭环系统传递函数的几个重要概念闭环系统传递函数的几个重要概念 C sG sE s B sH sC sn 反馈通路传递函数：反馈通路传递函数：n 前向通路传递函数：前向通路传递函数：闭环系统的典型结构图闭环系统的典型结构

26、图8:3057n闭环系统的开环传递函数闭环系统的开环传递函数简称开环传递函数简称开环传递函数定义：反馈信号定义：反馈信号B(s)B(s)与偏差信号与偏差信号E(s)E(s)之比（假设断之比（假设断开反馈）开反馈） 开环传递函数并不是开环传递函数并不是第一章所述的第一章所述的开环系统的传开环系统的传递函数递函数，而是指闭环系统在开环时的传递函数。，而是指闭环系统在开环时的传递函数。 8:3058n闭环传递函数闭环传递函数定义：系统的主反馈回路接通以后，输出量与输入定义：系统的主反馈回路接通以后，输出量与输入量之间的传递函数，通常用量之间的传递函数，通常用 (s)(s)表示。表示。系统的输入信号有

27、两种：给定信号和扰动信号。系统的输入信号有两种：给定信号和扰动信号。 8:30591 1）给定闭环传递函数）给定闭环传递函数定义：设扰动信号定义：设扰动信号N(sN(s)=0,)=0,给定作用时的传递函数。给定作用时的传递函数。R1122RC (s)G (s)G1G(s)(s(s)G)R(s(s)s)H8:30602 2）扰动闭环传递函数）扰动闭环传递函数 定义：设输入定义：设输入R(sR(s)=0)=0，扰动作用时的传递函数。，扰动作用时的传递函数。N212NC (s)G (s)(s1 G (s)G)N(s(s)H s)8:30613 3）R(s(s) )、N(s(s) )同时作用时的输出：

28、同时作用时的输出：RN11212221 G (s)G (C(s)C (s)C (s)G (s)G (s)G (s)R(s)H(s)1 G (s)G (s)Hs)N s)s)(时时 ， 当当 12G (s)G (s)H(s)11G (s)H(s)1( )C(s)=H(s)R s且且 系统输出与系统输出与G G1 1(s)G(s)G2 2(s)(s)、N(sN(s) )没有关系没有关系, ,只与只与输入信号和反馈通路传函有关。输入信号和反馈通路传函有关。8:3062n误差传递函数误差传递函数 定义：系统的主反馈回路接通以后，偏差量与输定义：系统的主反馈回路接通以后，偏差量与输入量之间的传递函数。入

29、量之间的传递函数。 ( ),( )E sE sR sN s给定误给定误差传函差传函扰动误扰动误差传函差传函由于输入量有给定量和扰动两种信号，所以误差由于输入量有给定量和扰动两种信号，所以误差传函的两种定义式如下：传函的两种定义式如下：E E( (s s) )8:30631)给定误差传递函数：令N(s)02)扰动误差传递函数：令R(s)01E21 GE(s)1(s)(s)R(s)G (s)H(s)2N12G (s)H(s)E(s1)(s)N(sG (s)G (s)H(s)，则由梅森公式 ，则由梅森公式 E E( (s s) )8:30643)在给定量R(s)和扰动量N(s)同时作用时，系统总的误

30、差： 注意：当系统结构形式和参数确定后，系统的特征方程式1+G1(s)G2(s)H(s)即确定，不随系统输入量和输出量的改变而改变。21212( )( )1( )( )( )1( )( )( )1( )( )( )G s H sE sR sN sG s G s H sG s G s H s8:3065传递函数基本术语的辨析：传递函数基本术语的辨析：1. 开环传递函数、闭环传递函数、闭环系统的开环传递函数、闭环传递函数、闭环系统的开环传递函数和开环系统的传递函数；开环传递函数和开环系统的传递函数；2. 输出传递函数和误差传递函数，闭环传递函输出传递函数和误差传递函数，闭环传递函数、给定传递函数和

31、扰动传递函数；数、给定传递函数和扰动传递函数；3. 给定作用下的输出，扰动作用下的输出，给给定作用下的输出，扰动作用下的输出，给定和扰动共同作用下的输出；定和扰动共同作用下的输出；4. 给定作用下的误差，扰动作用下的误差，给给定作用下的误差，扰动作用下的误差，给定和扰动共同作用下的误差；定和扰动共同作用下的误差；5. 系统的特征式，特征方程，特征根。系统的特征式，特征方程，特征根。建议课后对这些名词对应的概念和公式做个小结建议课后对这些名词对应的概念和公式做个小结8:3066数学模型间的关系数学模型间的关系物理系统桥梁数学系统（数学模型）侧重工程偏重数学原理图、参数表、说明书等职能方块图原理方块图承上继往 动态结构图信号流图启下开来微分方程、传递函数、频率特性结构图、信号流图零极点图、阶跃响应图、根轨迹图、频率特性图等8:3067作业：2-12 2-138:3068提高篇由动态结构图直接利用Mason公式求解，省去信号流图环节。8:3069R(s)C(s)L1= G1 H1L2= G3 H3L3= G1G2G3H3H1L4= G4G3L5 = G1G2G3L1L2= (G1H1) (G3H3) = G1G3H1H3L1L4=(G1H1)(G4G3)=G1G3G4H1 G4(s) H1(s)H3(s) G1(s) G2(s) G3(s) G4(s) H1(s)H3(s) G1(s)