立体几何专题复习自己精心整理

1、专题一 证明平行垂直问题 题型一证明平行关系(1)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点求证：MN平面A1BD.(2)在正方体AC1中，M，N，E，F分别是A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点，求证：平面AMN平面EFDB.思考题1(1)如图所示，平面PAD平面ABCD，ABCD为正方形，PAD是直角三角形，且PAAD2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点，求证：平面EFG平面PBC.(2)如图，在四面体ABCD中，AD平面BCD，BCCD，AD2，BD2，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ3QC.求证：PQ平面B

2、CD. 题型二证明垂直关系(微专题)微专题1：证明线线垂直(1)已知空间四边形OABC中，M为BC中点，N为AC中点，P为OA中点，Q为OB中点，若ABOC.求证：PMQN.(2)(2019山西太原检测)如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1ABAC1，E，F分别是CC1，BC的中点，AEA1B1，D为棱A1B1上的点，求证：DFAE.微专题2：证明线面垂直(3)在正方体ABCDA1B1C1D1中，求证：BD1平面ACB1.(4)(2019河南六市一模)在如图所示的几何体中，ABCA1B1C1为三棱柱，且AA1平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD2CD，ADC60.若AA1AC，求

3、证：AC1平面A1B1CD.微专题3：证明面面垂直(5)已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点，求证：平面DEA平面A1FD1.(6)如图，四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD，PDQA，QAABPD，求证：平面PQC平面DCQ.思考题2(1)(2019北京东城区模拟)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PDDC，E是PC的中点，作EFBP交BP于点F，求证：PB平面EFD.(2)(2019济南质检)如图，在三棱锥PABC中，ABAC，D为BC的中点，PO平面ABC，垂足O落在线段AD上已知BC8，PO4，AO3，OD2.证

4、明：APBC；若点M是线段AP上一点，且AM3，试证明平面AMC平面BMC.题型三探究性问题在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD为正方形，PDDC，E，F分别是AB，PB的中点(1)求证：EFCD；(2)在平面PAD内是否存在一点G，使GF平面PCB.若存在，确定G点的位置；若不存在，试说明理由思考题3 (2019山西长治二模)如图所示，四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，PACD，PA1，PD，E为PD上一点，PE2ED.(1)求证：PA平面ABCD；(2)在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF平面AEC？若存在，指出F点的位置，并证明；若不存在，说明理由专题二 求解异面

5、直线所成角和线面角问题题型一异面直线所成的角(1)在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E，F分别是CC1，AD的中点，则异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于_(2)(2019安徽知名示范高中联合质检)若在三棱柱ABCA1B1C1中，A1ACBAC60，平面A1ACC1平面ABC，AA1ACAB，则异面直线AC1与A1B所成角的余弦值为思考题1(2019湖南雅礼中学期末)如图1，在矩形ABCD中，AB2，BC1，E是DC的中点；如图2，将DAE沿AE折起，使折后平面DAE平面ABCE，则异面直线AE和BD所成角的余弦值为_题型二定义法求线面角(1)(2019

6、山东荷泽期末)在斜三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1平面AB1C1，且AB1C1为等边三角形，B1C12AA12，则直线AB与平面B1C1CB所成角的正切值为()A. B. C. D.(2)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点O为线段BD的中点设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为，则sin的取值范围是()A，1 B，1 C， D，1思考题2(1)(2019河北石家庄一模)如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则BB1与平面AB1C1所成的角的大小为_(2)把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四

7、点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为()A90 B60 C45 D30题型三向量法求线面角(1)(2019河南郑州月考)如图，已知四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PAPD，平面ABCD平面PAD，M是PC的中点，O是AD的中点，则直线BM与平面PCO所成角的正弦值是_(2)如图，菱形ABCD中，ABC60，AC与BD相交于点O，AE平面ABCD，CFAE，AB2，CF3.若直线FO与平面BED所成的角为45，则AE_思考题3(1)正四棱锥SABCD中，O为顶点S在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SOOD，则直线BC与平面PAC所成的角是_(2)

8、(2019河南百校联盟联考)已知斜四棱柱ABCDA1B1C1D1的各棱长均为2，A1AD60，BAD90，平面A1ADD1平面ABCD，则直线BD1与平面ABCD所成的角的正切值为()A. B. C. D.(1)(2019太原模拟一)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为的正方形，PABD.求证：PBPD；若E，F分别为PC，AB的中点，EF平面PCD，求直线PB与平面PCD所成角的大小(2)(2019湖南长郡中学选拔考试)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BABC5，AC8，D为线段AC的中点求证：BDA1D；若直线A1D与平面BC1D所成角的正弦值为，求AA1的长思考题4(2

9、019石家庄质检二)如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BB1C1C为CBB160的菱形，ABAC1.(1)证明：平面AB1C平面BB1C1C；(2)若ABB1C，直线AB与平面BB1C1C所成的角为30，求直线AB1与平面A1B1C所成角的正弦值专题三 求解二面角问题题型一定义法求二面角(1)(2019台州一模)在边长为a的等边三角形ABC中，ADBC于点D，沿AD折成二面角BADC，若此时BCa，则二面角BADC的大小为_(2)如图，二面角l的大小是60，线段AB，Bl，AB与l所成的角为30，则AB与平面所成的角的正弦值是(3)已知三棱锥PABC的所有顶点都在表面积为16的球O的球面上

10、，AC为球O的直径当三棱锥PABC的体积最大时，设二面角PABC的大小为，则sin()A.B. C. D.思考题1 (1)如图，在矩形ABCD中，AB2，AD3，点E为AD的中点，现分别沿BE，CE将ABE，DCE翻折，使得点A，D重合于F，此时二面角EBCF的余弦值为()A. B. C. D.(2)如图，设AB为圆锥PO的底面直径，PA为母线，点C在底面圆周上，若PAAB2，ACBC，则二面角PACB的正切值是_题型二向量法求二面角(1)已知点E，F分别在正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E2EB，CF2FC1，则面AEF与面ABC所成的锐二面角的正切值为_(2)(2

11、019河南安阳)二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB4，AC6，BD8，CD2，则该二面角的大小为()A150 B45 C60 D120思考题2(1)设平面的一个法向量为n1(1，2，2)，平面的一个法向量为n2(2，4，k)，若和所成的锐二面角的余弦值为，则k_(2)(2019辽宁丹东模拟)如图，正方形A1BCD折成直二面角ABDC，则二面角ACDB的余弦值是_(3)(2019广东中山模拟)在矩形ABCD中，已知AB2，AD2，M，N分别为AD和BC的中点，沿MN把平面ABNM折起，若折起后|AC|，则二面角AMNC的大小为()A3

12、0 B45 C60 D90(2019惠州二次调研)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，ABC60，PAPB，PC2.(1)求证：平面PAB平面ABCD；(2)若PAPB，求二面角APCD的余弦值思考题3(2019河北五一名校联考)在斜三棱柱(侧棱不垂直于底面)ABCA1B1C1中，侧面AA1C1C底面ABC，底面ABC是边长为2的正三角形，A1AA1C，A1AA1C.(1)求证：A1C1B1C；(2)求二面角B1A1CC1的正弦值题型三空间角的综合问题(2019唐山五校联考)如图，在四棱锥PABCD中，PC底面ABCD，ABCD是直角梯形，ABAD，ABCD，AB2AD2

13、CD，E是PB的中点(1)求证：平面EAC平面PBC；(2)若二面角PACE的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值思考题4(2019江南十校素质检测)如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，平面CDEF平面ABCD，FCFB，四边形ABCD为平行四边形，且BCD45.(1)求证：CDBF；(2)若AB2EF2，BC，直线BF与平面ABCD所成角为45，求平面ADE与平面BCF所成锐二面角的余弦值专题四 综合问题 题型一空间的距离(1)(2019江西九江期末)如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，四边形ABCD为正方形，E为CD的中点，F为PA的中点，且PAAB2.则

14、点P到平面BEF的距离为()A.B. C. D.(2)已知正方形ABCD的边长为4，CG平面ABCD，CG2，E，F分别是AB，AD的中点，求点B到平面GEF的距离思考题1(1)(2019黑龙江哈尔滨期末)三棱柱ABCA1B1C1底面为正三角形，侧棱与底面垂直，若AB2，AA11，则点A到平面A1BC的距离为()A. B. C. D.2.(2017课标全国，理)如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，且BAPCDP90.(1)证明：平面PAB平面PAD；(2)若PAPDABDC，APD90，求二面角APBC的余弦值(2)(2019湖南长沙一模)正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别

15、为BB1，CD的中点，求点F到平面A1D1E的距离题型二探究性问题(2019湖南重点校联考)如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ADBC，ADCD,且ADCD2,BC4，PA2.(1)求证：ABPC；(2)在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角MACD的大小为45，如果存在，求BM与平面MAC所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由思考题2(2019西安八校联考)已知几何体ABCC1B1N的直观图如图所示，CB底面ABB1N，且ABB1N为直角梯形，侧面BB1C1C为矩形，ANABBC4，BB18，NABABB190.(1)连接B1C，若M为AB的中点，在线段CB上是否存在一点P，使

16、得MP平面CNB1？若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由(2)求二面角CNB1C1的余弦值题型三翻折问题(2019安徽合肥调研性检测)平面四边形ABCD中，DAB，ADAB，BCD为等边三角形现将ABD沿BD翻折得到四面体PBCD，点E，F，G，H分别为PB，PD，CD，CB的中点(1)求证：四边形EFGH为矩形；(2)当平面PBD平面CBD时，求直线BG与平面PBC所成角的正弦值思考题3如图，在直角梯形ABCP中，AB90，ABBC3，AP6，CDAP于D，现将PCD沿线段CD折成60的二面角PCDA，设E，F，G分别是PD，PC，BC的中点(1)求证：PA平面EFG；(2)若M为线段

17、CD上的动点，求直线MF与平面EFG所成角的最大角，并确定成最大角时点M在什么位置？高考题呈现1(2014全国)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点(1)证明：PB平面AEC；(2)设AP1，AD，三棱锥PABD的体积V，求A到平面PBC的距离2(2016北京)如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，ABAD，AB1，AD2，ACCD.(1)求证：PD平面PAB；(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；(3)在棱PA上是否存在点M，使得BM平面PCD？若存在，求的值；若不存在，说明理由3.(2018浙江)如图，已知多

18、面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，ABC120，A1A4，C1C1，ABBCB1B2.(1)证明：AB1平面A1B1C1；(2)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值4.(2016课标全国)如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M为线段AD上一点，AM2MD，N为PC的中点(1)证明：MN平面PAB；(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值5(2018课标全国)如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把DFC折起，使点C到达点P的位置，且PFBF.(1)证明：平面PEF平面ABFD；(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值6(2016课标全国，理)如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF2FD，AFD90，且二面角DAFE与二面角CBEF都是60.(1)证明：平面ABEF平面EFDC；(2)求二面角EBCA的余弦值7.(2017课标全国，理)如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，且BAPCDP90.(1)证明：平面PAB平面PAD；(2)若PAPDABDC，APD90，求二面角APBC的余弦值8(2018课标全国，理)如图，在三棱锥PABC中，ABBC2，PAPBPCAC4，O为AC的中点(1)证明：PO