第9章广义积分

1、第九章 广义积分引言在Riemann积分（常义积分）中，有两个先决条件：1、被积函数有界；2、积分限有限。上述两个条件，极大限制了常义定积分所能揭示的含义，限制了积分所能表达的自然现象，也就限制了定积分的应用范围，这就要求人们从更广的角度考虑积分理论。事实上，从理论层面上看，当建立一套基本理论之后，人们会不断去掉各种条件的限制，尽可能扩大理论的外延，以便涵盖更多的东西，丰富其内涵。因此，从理论上，提出Riemann常义积分后，不可避免地考虑这样的问题：能否去掉上述两个限制条件？去掉上述两个条件后，会发生什么现象？从应用角度看：定积分的产生源于实践，用于解决人类改造自然过程中出现的实际问题，如计

2、算面积、做功等。但实践中，确实又涌现出更多的实际问题，要解决这些问题，必须突破上述两个限制条件。如计算由万有引力定律导出物体脱离地球引力范围的最低速度第二宇宙速度（11.2Km/s）时，需要计算克服地球引力F(r) 所做的功，其中，F（r）为物体在r处所受的地球引力，R为地球半径。再如，封闭曲线所围的平面图形的面积能够用定积分计算，那么，诸如曲线、以x轴为渐近线，因此，它们与x 轴及直线x=0和x=1所围图形几乎是封闭的图形，这样的图形面积存在吗？如何计算？如果延用定积分理论，曲线与x 轴及直线x=0和x=1所围图形的面积应为。显然，上面涉及到的两个积分都涉及到突破定积分两个条件的限制的问题，

3、不再是常义（Riemann）定积分。因此，不论从实践上，还是从理论上，都要求我们突破Riemann积分两个先决条件的约束，将Riemann积分推广到一个新的高度。这就是广义积分（反常积分）。§1 无穷限广义积分 本节，我们突破常义积分的积分限有界的限制条件，引入无穷限广义积分的概念。一、定义从定积分的几何意义平面区域面积的计算谈起。我们知道：对一个有限平面区域来说，可以利用定积分计算其面积，如积分表示曲线与轴及直线所围区域的面积。那么，对无限平面区域来说，如何计算其面积？很显然，一般来讲，讨论这样的问题并没有意义，因为，一般的无限区域的面积是不可度量的（面积无界）。如直线与轴、轴所围

4、的区域是一个开放式的无限的区域，显然，这样的区域面积是不可计算的。但是，确实存在着这样的区域，从严格的几何定义看是无限区域，但区域的面积又不像上述例子那样明显无界。例1 讨论曲线与轴及直线所围的区域的面积。分析所求面积的区域具有特点：1）区域是无限的平面区域。由于曲线以轴为渐近线，即当充分大时，曲线无限靠近轴，但永远达不到轴，曲线与轴没有交点，因而上述区域是无限；2）、区域是非完全开放式的。因为曲线以轴为渐近线，因此，在无限远处，曲线越来越靠近轴，即对任意的正数d，当x充分大时，曲线上对应的点到x轴的距离总小于d，因此，所围区域又好像封闭的。显然，这样的区域即区别于有界的封闭区域，又区别于开放

5、式的无界区域，因而，其面积的问题较为复杂，因为必须先解决面积是否有界即可求性的问题，然后才能讨论如何计算。那么，如何解决这类问题？ 为了研究上述问题，我们分析已经掌握的已知理论和相关工具：我们已经知道了有限区域面积的计算，知道了“有限”，要计算“无限”，因此，要解决此问题，就是如何实现由有限到无限的过渡。而由有限过渡到无限正是极限所处理的问题的特征，因此，可以设想，我们可以借助极限理论，通过有限区域面积的极限过渡到无限区域的面积计算，这样，我们找到了解决问题的途径和方法借用有界区域面积计算的定积分理论，通过极限，实现由有限到无限的过渡。不妨用此方法讨论上述的面积。解、首先计算曲线与轴及直线所围

6、有界区域的面积。利用定积分理论，上述面积为：；其次，考察上述面积计算公式当 的极限。由于，极限存在，因而曲线与轴及直线所围的区域的面积应为这个极限值，即这个无限区域的面积是可求的且面积为S=1.。上述无限区域面积的计算方法为我们引入了一种新的积分，这便是无穷限广义积分。当然，并不是所有的无穷限广义积分都有意义，因此，我们先给出无穷限广义积分的收敛性。定义1.1设在有定义，且对任意，若存在实数， 使得， 称在上是广义可积的，称为在上的广义积分，记为，此时，也称广义积分收敛(于)。若不存在，称广义积分发散。注、由定义，在收敛的条件下，有 。注、类似可以定义广义积分。广义积分定义的进一步推广。定义1

7、.2若对任意实数，广义积分、都收敛，称广义积分收敛，此时有否则，称广义积分发散。注 、也可以利用定义1.1的方法，定义广义积分的敛散性。定义1.3、若对任意实数，及任意，极限、同时存在，称广义积分收敛。此时也可记为注、定义1.2、定义1.3中，条件“实数的任意性”可减弱为“存在实数”。事实上，此时，对任意的实数， 同时存在，即广义积分、同时存在，因而，收敛。且仍有。注、定义1.3中，两个极限过程是相互独立的。因而，当两个相关的极限过程对应存在时，不一定保证广义积分的收敛性。如若取，、同时存在，广义积分不一定收敛。如对广义积分，由于不存在，利用定义则，广义积分发散，故广义积分也发散，但可计算这样

8、的值被称为Cauchy主值。所以，Cauchy主值存在，广义积分不一定收敛。注、广义积分的定义不仅给出了广义积分收敛性的证明方法，也给出了广义积分计算的一种途径。同样，利用原函数也可以计算广义积分，即如果在任意有限区间上可积，原函数为且存在，则广义积分收敛且。例2 用定义讨论的敛散性。解、由于。故 ，收敛。类例，。例3 讨论积分 的敛散性。解、时，广义积分发散；。类似可以引入条件收敛和绝对收敛。定义1.4设在有定义，若广义积分收敛，称广义积分绝对收敛，或称 在绝对可积。定义1.5设在有定义，若广义积分发散，而广义积分收敛，称广义积分条件收敛。二、收敛的广义积分的性质利用定义和极限的运算性质，可

9、将定积分的运算性质推广到收敛的广义积分。1、线性性质如果在可积，对任意实数，则在可积且 2、非负性若非负函数在可积，则。三、广义积分敛散性的判别法 广义积分的敛散性，其实质还是极限的存在性，因此，可将极限存在性的判别法推广到广义积分。本节以广义积分为例来讨论。1、一般判则Cauchy收敛准则收敛 的充要条件是：对任意的 ，存在，使得时，成立。我们称为的Cauchy片段。因此，Cauchy收敛准则也可简述为对充分远的Cauchy片段，其绝对值能够任意小（绝对任意小）。2、非负函数广义积分的判则1）、比较判别法设非负函数、在有定义，且对任意的二者都在上可积，若存在使得时，则， 当收敛时,收敛；当发

10、散时，发散。利用Cauchy收敛准则可以很容易的证明这个结论。注、上述法则也简述为“大的收敛，小的也收敛；小的发散，大的也发散。”比较判别法最常用的形式是极限形式：如果非负函数、满足：，则 1）、当且收敛时，收敛；2）、当且发散时，发散。因而，当时，、同时敛散。事实上，利用极限性质，当时，存在当时，因而，此时，、同时敛散。 当时，存在当时，因而，若收敛，必有收敛。 当时，对应的结论同样成立。2）、Cauchy判别法在比较判别法中，取，则由积分的敛散性，可得如下Cauchy判别法:设存在使得时存在常数满足：1）、，且，则收敛；2）、，且，则发散。Cauchy判别法的极限形式为：设，则1）、当且时

11、，收敛；2）、当且时，发散。3、一般函数广义积分判别法我们讨论形如的广义积分，其中、定义在的函数，且在任意的区间上可积。 由Cauchy收敛准则，广义积分是否收敛，关键在于其Cauchy积分片段当充分大时能否绝对任意小。为此，考察Cauchy积分片段与每个函数及其Cauchy片段的关系，为此，需要将某个被积函数从积分号下分离出来，利用的工具就是第二积分中值定理，假设满足对应的第二积分中值定理的条件，则成立进一步分析右端能够充分小的条件，可得如下两个结论。Abel判别法：如果在可积，在单调有界，则收敛。证明：由于收敛，利用Cauchy收敛准则，对任意的 ，存在，使得时，成立又设，由第二积分中值定

12、理，在之间存在，使得，因而，故，收敛。Dirichlet判别法： 如果有界，在单调且，则收敛。证明：设 ，则对任意的，由，则对任意的 ，存在，使得时，。故，当时，故，收敛。 注、两个定理中，的单调性是为了保证积分第二中值定理成立。四、应用我们利用上述判别法判断一些广义积分的敛散性，要注意在判断过程中，要做到分析结构、确定方法、利用程序、掌握技巧。一般来说，对具体的广义积分，通常按照题目的难易程度，按如下顺序进行判断：采用比较法、Cauchy判别法处理非负函数的广义积分；Abel判别法、Dirichlet判别法处理被积函数为乘积形式的广义积分；对抽象函数的广义积分被积函数为抽象函数，没有具体的表

13、达式，通常采用定义法、Cauchy收敛准则及进一步其它的判别法。但，从实质上讲，判断广义积分敛散性，其关键还是研究被积函数的结构，特别是的速度（虽然这并不是广义积分收敛的必要条件），通过结构确定相应的判别法。当然，如果以（p>0）为标准函数进行对比，并把此时的速度称为p阶速度，则p>1时收敛，否则发散，因此，前面学习过的函数阶的比较理论可以为我们的研究提供理论根据。例4 讨论的敛散性。分析 由于被积函数的结构比较简单，可以直接采用比较方法。证明：由于 ，故由比较判别法，广义积分收敛。Cauchy判别法的极限形式是判断广义积分敛散性的常用方法，是通过极限的行为作出判断，为此，必须选择

14、合适的p，可以通过如下两个问题的解决确定p，1）、确定p的范围,使得极限存在；2）、确定p的范围，使得能够用Cauchy判别法判断敛散性。如果上述两个p的范围有交集，则在交集中取一个p值即可以用Cauchy判别法判断其敛散性。用上例来说明具体的判断过程。考虑极限，考虑下列问题：1、什么样的，能使上述极限存在（包括极限为无穷）。对本例，只须，此时，极限。2、在能确定极限的的范围内，确定的极限能决定什么样的敛散性结论，由此，在的范围内，确定出对应的的值。对本例，能确定的极限为，而当时，只能得到收敛性的结论，而要保证收敛性，对应的必须有。 3、由于在与中有交集，只须在此交集中取一个值即可。对应的证明

15、过程如下：证法2、由于，故，原广义积分绝对收敛。例5 判断的敛散性。分析 这是一个非负函数的无穷限广义积分，被积函数为，结构中有两个因子，主因子为，次因子为，次因子对主因子起到相反的作用，但是，由函数阶的理论，我们知道：的速度比任意阶的的速度要快得多，体现为下述的极限关系：对任意的p，因而，次因子的反作用可以忽略，因此，广义积分应收敛，另外，当上述极限时，也只能得到收敛性的结论，此时取即可。证明：由于，故，广义积分收敛。注、从上述的分析和证明过程看，对非负函数的广义积分，也可以直接从分析极限结论入手，确定结论形式和p的选择。例6 判断的敛散性，其中。分析由函数阶的理论可知，当时，当时，但是，相

16、对于的速度，的速度可以忽略不计，反过来，的速度相对于的速度可用忽略，因而，广义积分的收敛性基本取决于的速度，因而，可以设想时收敛，时发散；另一方面，也可以从下面极限行为的分析中得到相同的结论，考虑下述极限，由于时，只能得到发散性结论，此时必须有，而此时又有，因而，应满足：，故，可设想当时，广义积分应该是发散的；当时，只能得到收敛性结论，为此必须有，而此时又有，因而，应满足：，故，可设想当时，广义积分应该是收敛的。因此，是临界情况，可以用其他方法讨论，如定义方法。证明：时，用定义法，考虑此时，广义积分发散。时，取，则，此时，广义积分发散。时，取，则，此时，广义积分收敛。注、由本题的结论可以看出，

17、当被积函数收敛于0的速度由慢变快时，广义积分的敛散性发生改变，由发散性逐渐过渡到收敛性，其中还存在一个临界结果（门槛结果）。注：时，Cauchy判别法失效。事实上，考察极限，由Cauchy判别法的极限形式，当时，只能得到分散性的结论，此时，要求应该满足，显然，这与保证极限的矛盾；同样，时，只能得到收敛性的结论，此时要求应该满足，显然，这与保证极限的矛盾。故Cauchy判别法的极限形式失效。此时，对临界值为确定的，函数结构简单，通常用定义方法。注、上述的证明过程是建立在前面所作的分析的基础之上，通过所作的分析，为后面的证明提供了证明方向和参量p的选择。例7讨论的敛散性，并讨论其绝对收敛性。分析首

18、先，比较和Cauchy判别法都失效。注意到这是一个任意函数的广义积分，且被积函数中含有因子sinx，这个因子有两个特点：1、本身有界；2、其积分片段有界；因此，如果另一个因子趋于0的速度能保证对应广义积分的收敛性，可以利用第一个特点，用比较方法判断敛散性，如例4。如果另一个因子趋于0的速度不能保证对应广义积分的收敛性，可以考虑利用因子sinx的第二个特点，此时，需要考虑用Dirichlet判别法，本例就属于此种情形。证明：由于在单调递减且；对函数，则满足对任意的A>1，因此，利用Dirichlet判别法，收敛。考虑广义积分，由于，类似前面的证明可知，收敛，由于发散，因而，发散，故，条件收

19、敛。注、在涉及到被积函数含有sinx的广义积分中，要注意运用它的两个性质：1、sinx本身的有界性；2、任意积分片段的有界性。注、证明发散的技巧和方法也应该掌握。注、类似可以证明：对当时条件收敛，当时绝对收敛。例8 讨论的敛散性，其中。分析此例被积函数结构更为复杂，有三类因子，若要分析每个因子的影响，反而使问题复杂化了，考虑到上例的结论，问题变得非常简单- -这正是Abel判别法所处理的广义积分的结构特点：即其中一类因子对应的广义积分收敛，另一类因子具有单调有界的性质。证明：由例7及注，收敛，函数单调有界，由Abel判别法，原广义积分收敛。注、掌握一些常见的结论是必要的。例9 讨论的敛散性。分

20、析 从被积函数的结构看，前述的分析方法失效，由于被积函数简单，因此，可以用定义或Cauchy收敛准则判断。解、我们采用定义来讨论。由于收敛，不妨设，因而，对任意的A>a，故，收敛。 注、本例的广义积分收敛，但是，当时，被积函数并不收敛于0，因而，被积函数收敛于0并不是广义积分收敛的必要条件。五、常义积分与广义积分的区别 我们主要讨论两类积分较简单的性质的区别。1、常义Riemann积分我们已经掌握Riemann积分的如下性质：性质1、若则。反之不然。即可积必绝对可积。如不可积但绝对可积。性质2、若则。即可积必平方可积。 性质3、等价于。即绝对可积与平方可积等价。2、广义积分我们已知广义积

21、分的相应性质为： 性质3、收敛，则收敛。即绝对可积必可积。注、性质1反之不成立，如可积但不绝对可积。 注、对广义积分来说，可积和平方可积没任何关系。如收敛，其平方的广义积分也收敛；而收敛，其平方广义积分发散。六、广义积分与数项级数从研究对象看，数项级数研究的对象，其形式是无限和的形式，本质是研究其具有离散变量结构的通项；广义积分研究的对象，其形式是积分形式，本质是研究其具有连续变量结构的被积函数，这决定了二者之间必有差别，但是，从学习的内容看，作为主要内容的判别其敛散性的判别法基本上是平行的，如都有比较判别法、Cauchy判别法、Abel判别法、Dirichlet判别法等，而且还要借助于广义积

22、分判断级数敛散性的Cauchy积分判别法，这表明二者之间必有联系，本小节我们讨论二者的联系与差别。1、二者之间的联系我们讨论二者之间的转化关系。给定广义积分，任给数列且， 如下构造级数的通项：，则得到数项级数。下面讨论二者的敛散性关系。记，由定义，收敛性等价于函数极限的存在性。根据函数极限理论：存在当且仅当对任意，收敛于同一极限，注意到，由此可得：定理1.1收敛的充要条件是存在实数，使得对任意，都有级数收敛于。因而，若存在，使得发散，则广义积分发散。再考虑级数向广义积分的转化。给定级数，构造阶梯函数 ，则 定义在且，因而，即二者同时敛散。 正是由于二者之间的这种联系，使得二者之间的具有一些平行

23、的判别法。 2、二者的差别我们知道，对数项级数来说，成立一个级数收敛的必要条件的结论：即级数收敛，必有通项收敛于0，因此，若通项不收敛于0，则数项级数必发散，故，级数是否收敛，取决于通项收敛于0的速度。但对广义积分来说，相应的必要条件不成立，即若广义积分收敛，不能保证成立。如，前例的广义积分收敛，但不存在。造成广义积分与数项级数在收敛的必要条件上的差别的主要原因在于二者研究对象上的差异。对级数来说，其通项是离散变量的函数，只有一种极限方式：。对广义积分，被积函数是连续变量的函数，变量的方式可以离散出无穷多种方式，因此，对收敛的广义积分，也许能保证有一种极限过程成立，但不能保证所有的极限过程都有

24、，即。这就是我们将要证明的下面较弱的结论。定理1.2 设f（x）连续，若收敛，则存在点列：使得，且。证明：由于收敛，因而，由Cauchy收敛准则，对任意存在，使得对任意的，成立，特别有，由第一积分中值定理，存在，使得；因而，取，存在，取，则存在，使得； 取，存在，取，则存在，使得； 如此下去，对任意的n，取，存在，取，则存在，使得；由此构造点列：满足 且，因而也满足定理。虽然成立较弱的结论，但是可以设想，若增加被积函数的条件，可以保证相应的必要条件成立。下面，我们讨论相应的条件。定理1.3若在上一致连续且，则。分析要证结论为，其实质是研究函数在无穷远处的行为。 主要条件为收敛，因此，我们从条件

25、出发分析导出的结论，可以发现，涉及到函数无穷远处的行为的有Cauchy收敛准则，由此，决定证明方法。证明过程就是上述思想的具体化。关键就是如何寻找与Cauchy片段的关系，二者具有不同的形式，建立二者联系的直接方法就是形式统一方法，直接建立二者的如下的联系：。注意到辅助条件是一致连续性，相当于知道，继续用形式统一法对上式研究，则等式左端就是我们的研究对象，等式右边的项就和已知的条件一致连续和积分片段联系在一起，因而，可以借助条件达到对的估计，此时需要解决系数的问题，注意到x应是先给定的任意充分大的量，t在之间，且为了利用一致连续的条件，t和x之间的距离不能超过某个量，因而，必然要求x和之间满足

26、一定的关系，故，为了解决系数问题，为了利用一致连续性条件，对充分大的任意的x，由此构造特定的具有特定联系的即可。证明：由于在上一致连续，则对任意，存在，当时，。 又由于收敛，存在，当时，。故，对任意，取，则故， ，因而。 注、上述证明过程也可以简单总结为三步：1、摆条件；2确定满足要求的、；3、验证。当然，这些过程是建立在我没所作的前述分析的基础上。注、上述思想还可以通过反证法实现。证明法2：反证法。假设，则存在和点列，使得 。又在上一致连续，则对，存在，当当时，。故，对任意，成立，因而，因此，在上不变号。事实上，若存在，使得而，则，与前述条件矛盾。所以，这与收敛性矛盾。定理1.4设收敛且存在

27、，则成立。证明：设。若，则存在M>a,使得x>M时，f(x)>>0。故对任意的A>M,及，总有，故，由Cauchy收敛准则，广义积分发散。若k<0,同样可以证明广义积分发散。因而，必有 k=0。定理1.5若单调且收敛，则。分析可直接利用定理1.4证明，因为对单调函数，总有，l可以为有限，也可以为无限。这里，采用另一种证明方法：在单调条件下，连续变量的极限行为等价于任一种离散变量的极限行为，充分利用级数相应的结论，也是为了体现级数和广义积分的差别。证明：不妨设单调递减，此时必有事实上，若存在使得 <0, 则由单调性条件，因而，若记，则故，发散。与条件矛盾

28、。因为收敛，且，因而，级数的部分和为，故，收敛，因而，。由于单调递减，因而，成立。注、尽管并不是收敛的必要条件，但是，对大部分广义积分来说，仍可以通过研究的速度，与p积分作比较，来研究其收敛性。习题1、用定义计算广义积分： 1）、； 2）、； 3）、； 4）、2、讨论广义积分的敛散性：1）、； 2）、；3）、； 4）、，n>0;5）、; 6）、;7)、; 8）、；9）、； 10）、；11）、； 12）、。 3、讨论广义积分的敛散性：1）、； 2）、；3）、； 4）、。4、设在任意有限的区间上都可积， ，证明：发散。5、设单调递减，在具有一阶连续导数，且，证明：收敛。6、设在连续且，证明：

29、若，则收敛；若，则发散。7、设在连续可微，和收敛，证明：。8、 设在任意有限的区间上可积，且、，证明：对任意实数a，存在。9、设在上连续，且，证明：对任意b>a>0,成立 。10、设，计算。§2 无界函数的广义积分一 、定义本节，我们将引入无界函数的广义积分，为此，先引入奇点的概念。定义2.1、设在点的邻近无界，称为奇点。注、奇点实际就是使无界或无意义的点。如 为函数的奇点；而则有两个奇点。注、有些形式上的奇点，可以通过重新定义奇点处的函数值去掉奇性，这类奇点称为假奇点。如， 为假奇点，因为此时定义，函数在上有界。有了奇点的概念，我们考虑无界函数的广义积分，即被积函数在积

30、分区间上存在奇点，因而，被积函数在积分区间上是无界函数，从而，把Riemann积分推广到无界函数的广义积分。正如无穷限广义积分，我们仍然通过极限将有界函数的常义积分推广到无界函数的广义积分。定义2.2设在上有定义，为的奇点，若对任意充分小的，在上可积且存在实数，使得，称在上广义可积，称为在上的广义积分，记为，此时，也称广义积分收敛于I。若极限不存在，称在上不可积，或称广义积分发散。注、类似可定义以端点为奇点的广义积分的敛散性。注、若在区间上有内部奇点，可将其转化为奇点为端点的广义积分，从而引入相应的敛散性定义。即若广义积分、同时收敛，则称广义积分收敛，此时 否则，称广义积分发散。注、有了上述三

31、种形式的广义积分的定义，内部含有多个奇点的广义积分的敛散性可类似定义。注、定义中，还给出了收敛时广义积分的计算方法。例1、讨论积分（）的敛散性。解、1）确定奇点时，为被积函数的奇点。 2）利用定义判断对任意充分小的，则故，广义积分当时发散，时收敛。注、与无穷限广义积分作比较，注意二者的敛散性对应值的不同。注、类似可以引入绝对收敛和条件收敛。二、敛散性的判别法仅以为奇点的广义积分为例加以讨论。1、一般法则Cauchy收敛准则收敛的充要条件是对任意，存在，使得对任意的，成立。2、非负广义积分判别法比较法 设都以为奇点，且在a点的某个邻域内成立，则当收敛时，也收敛；当发散时，也发散。Cauchy判别法 取，若，则，当 且 时，收敛； 当 且 时，发散。3、乘积形式的Abel判别法和Dirichlet判别法 Abel判别法： 设以为奇点且收敛，单调有界，则收敛。 Dirichlet判别法 设以为奇点，是的有界函数，单调且，则收敛。 以上判别法的证明和无穷限广义积分的证明相同，此处略去。三、两类广义积分的关系两类广义积分可以相互转化。事实上，设是无穷限广义积分，作变换，则，便转化为以为奇点的无界函数的广义积分；反之，设是以为奇点的广义积分，作变换，则转化为无穷限广义积分。四、应用举例下面，我们给出一些例子。分析方法与无穷限广义积分类似，重点是讨论函数在奇点处