离散小波变换

1、 第三章 离散小波变换3.1 尺度与位移的离散化方法 减小小波变换系数冗余度的做法是将小波基函数的限定在一些离散点上取值。1. 尺度离散化：一种最通常的离散方法就是将尺度按幂级数进行离散化，即取（为整数，一般取）。如果采用对数坐标，则尺度的离散取值如图3.1所示。图3.1 尺度与位移离散方法2. 位移的离散化：当时，。（1）通常对进行均匀离散取值，以覆盖整个时间轴。（2）要求采样间隔满足采样定理，即采样频率大于该尺度下频率通带的2倍。3. =？当增加1时，尺度增加一倍，对应的频带减小一半（见图2.2），可见采样频率可以降低一半，即采样间隔可以增大一倍。因此，如果尺度时的间隔为，则在尺度为时，间

2、隔可取。此时可表示为 为简化起见，往往把轴用归一化，这样上式就变为 （3.1） 4. 任意函数的离散小波变换为 （3.2） DWT与CWT不同，在尺度位移相平面上，它对应一些如图3.1所示的离散的点，因此称之为离散小波变换。将小波变换的连续相平面离散化，显然引出两个问题：（1）离散小波变换是否完全表征函数的全部信息，或者说，能否从函数的离散小波变换系数重建原函数。（2）是否任意函数都可以表示为以为基本单元的加权和？如果可以，系数如何求？上述两个问题可以归结为一个。假设条件（1）满足，可合理的选择，并对进行适当的离散（即适当的选择），那么一定存在与小波序列对应的序列，使得问题（1）的重建简单地表

3、示为 （3.3）称为的对偶，它可以由一个基本小波通过位移和伸缩取得： 由上式，若存在，则有 = = =也即 故问题（2）也成立，其中由于问题（1）和问题（2）是统一的，我们首先来看问题（1），该问题的数学语言描述如下：若小波系数表征的全部信息，则应有当时， 或当时，=0； 当和很接近时， 和也必然很接近。用范数的概念来描述，即当为一个很小的数时，也必然为一个很小的数，用数学公式来描述： ， 也即 （3.4a）若要小波系数稳定的重建，则必须有：当序列 和很接近时，函数和也很接近，即 （3.4b）把（3.4a）和（3.4b）合到一起。我们便得到一个合理的离散小波变换，该小波变换对所有必须满足下述条

4、件： （3.4c）满足式（3.4c）的离散函数序列在数学上称为“框架”。3.2 小波框架与离散小波变换的逆变换3.2.1 小波框架（1）小波框架的定义当由基本小波经伸缩和位移引出的函数族； （3.5）具有下述性质时： （3.6）便称构成了一个小波框架，称上式为小波框架条件，其频域表示为 （3.7）（2）小波框架的性质1）满足小波框架条件的，其基本小波必定满足容许性条件。但是并不是满足容许性条件的小波，在任意离散间隔及尺度基数下都满足小波框架的条件。2）小波函数的对偶函数也构成一个框架，其框架的上、下界是框架上、下界的倒数： （3.8）3）离散小波变换具有非伸缩和时移共变性。4）离散小波变换仍然

5、具有冗余度。3.2.2 离散小波变换的逆变换与重建核问题1. 离散小波变换的逆变换如离散小波序列，构成一个框架，其上、下界分别为和，则当时（紧框架），由框架概念可知离散小波变换的逆变换为 （3.9）当，而，比较接近时，作为一阶逼近，可取 （3.10）则重建公式近似为 （3.11）逼近误差的范数为由上式可见，与愈接近，逼近误差就愈小。为了保证能构成一个重建误差较小的框架就必须对基本小波在轴上的采样间隔提出更高要求：不一定等于2，也不一定等于1，以便于使和接近于相等，可以想像，当尺度间隔愈密，位移间隔愈小。离散栅格愈接近于覆盖整个半平面，就愈接近于1.关于与，以及间的关系的部分结论如下：如是一个框

6、架，则框架的上界、下界满足下面的不等式： （3.12）特别对紧框架有： （3.13）举例：将Marr小波离散化为小波框架。Marr小波是常用的一种连续小波形式。若将Marr小波的尺度及位移分别离散化为则可证明，构成了一个空间的小波框架，其框架的上界、下界同之间的关系如表3.1表示。表3.1 Marr小波框架上、下界同和之间的关系20.2513.09114.1831.08320.506.5467.0921.08320.754.3644.7281.08321.003.2233.5961.16121.252.0013.4541.72621.500.3254.22112.9840.2527.27327

7、.2781.00020.5013.67313.6391.00021.006.7686.8701.0151.502.6096.4832.4850.5020.45720.4571.00001.0010.17810.2791.0101.504.6299.0091.9470.5027.27627.2761.00001.0013.58613.6901.0071.506.59411.5901.758由表3.1可知：1） 当时，取时，取时，取或时，取均可使，可近似为紧框架。此时采用重建公式（3.9）可较精确地重构原函数。2） 一定时，的值随增大而增大。3） 给定一个值，只要足够小，总可以得到一个近似紧的小波

8、框架。4） ，时，不是紧框架。2. 重建核公式（1）正交性：只有当时，框架变为正交基，此时经框架变换后的信息无任何冗余。但在其他情况下，框架并不正交，具有一定的相关性。因此经框架处理后所含的信息是有冗余的。（2）紧框架情况下的小波变换系数的相关性：将离散小波变换的逆变换公式（3.9）重写如下： （3.14）其中 （3.15a）则 （3.15b）将式（3.14）代入式（3.15b）得 （3.16）其中 （3.17）分析说明：(1) 与连续情况一样，式（3.16）给出任意一点处小波变换之值与栅格上其他各点小波变换系数之间的内在联系，称它为重建核方程，称为重建核，由小波框架本身决定。(2) 并不是相

9、平面上的任意离散函数都可看作是某一函数的离散小波变换，只有它们之间满足（3.16）时才可以被看作为某一函数的离散小波变换序列。(3) 无论将Marr小波如何离散，都不能使，也即它不可能构成空间的正交基。（Morlet小波和DOG也是如此）3.3 二进小波变换对于尺度及位移均离散化的小波序列，若取离散栅格的，即相当于连续小波只在尺度上进行了二进制离散，而位移仍取连续变化，我们称这类小波为二进小波，表示为 （3.18）二进小波介于连续小波和离散小波之间，它只是对尺度参量进行了离散化，而在时间域上的平移量仍保持连续变化，故二进小波具有时移共变性，在奇异性检测、图像处理方面十分有用。在讨论二进小波变换

10、及逆变换公式时，我们仍借用离散小波框架理论对其进行分析。3.3.1 二进小波变换及其逆变换设小波函数为，其傅里叶变换为，若存在二常数，使得 （3.19）此时式（3.18）定义的二进小波才是有意义的二进小波，即其逆变换存在。称式（3.19）为二进小波的稳定性条件；若，则称最稳定条件。若定义函数的二进小波变换系数为 （3.20） 由卷积定理，设的傅里叶变换为，则因此，稳定性条件（3.19）等价于对任意都有 （3.21）式（3.21）说明：1） 二进小波构成了的一个框架。2） 二进小波的小波变换公式（式（3.20）及其逆变换公式存在。二进小波变换的重建公式为 （3.22）其中，为的对偶框架，其上、下

11、界分别为。同离散小波框架相似，当时， （3.23）当时，的一阶近似为 （3.24）当接近于1时，其重构误差减小。当采用高阶近似或递推的方法就可求得更精确的解。3.3.2 二进小波变换 （1）与离散小波相同，二进小波也一定是一个允许小波，且有特别是，当时， （3.25） （2）二进小波变换时冗余的 由框架理论可知，当不满足是，框架是冗余的，也即二进变换系数之间具有一定的相关性，它们之间的关系满足重建核方程。紧框架情况下的重建核方程如下：紧框架（）时，由（3.22）和（3.23）可知，重建公式为 （3.26）由于当尺度为，平移为时，小波变换系数为 = = =其中 （3.27）此即为二进小波变换紧框

12、架下的重建核方程。说明：由重建核方程可知，并不是任意函数序列都可以作为某一函数的二进小波变换，而只有当它们满足重建核方程时，才可以看作是某一函数的二进小波变换。（3）二进小波变换具有平移不变性（时域平移不变性），即若设的二进小波变换为，的二进小波变换为，则有 （3.28）证明略（习题）表3.1 Marr小波框架上、下界同和之间的关系20.2513.09114.1831.08320.506.5467.0921.08320.754.3644.7281.08321.003.2233.5961.16121.252.0013.4541.72621.500.3254.22112.9840.2527.27327.2781.