研究生数值分析试卷

1、20052006学年第一学期硕士研究生期末考试试题（A卷）科目名称：数值分析 学生所在院： 学号： 姓名： 注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。一、（15分）设求方程 根的迭代法 (1) 证明对,均有,其中为方程的根.(2) 此迭代法收敛阶是多少? 证明你的结论.二、（12分）讨论分别用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解下列方程组的收敛性。 三、（8分）若矩阵，说明对任意实数，方程组都是非病态的。（范数用）四、（15分）已知 的数据如下： 求的Hermite插值多项式，并给出截断误差。五、（10分）在某个低温过程中，函数 依赖于温度x（）的

2、试验数据为123408151820已知经验公式的形式为 ，试用最小二乘法求出 ，。六、（12分）确定常数 ， 的值，使积分取得最小值。七、（14分）已知Legendre(勒让德)正交多项式有递推关系式：试确定两点的高斯勒让德（GL）求积公式的求积系数和节点，并用此公式近似计算积分八、（14分）对于下面求解常微分方程初值问题 的单步法：（1） 验证它是二阶方法；（2） 确定此单步法的绝对稳定域。20052006学年第一学期硕士研究生期末考试试题（B卷）科目名称：数值分析 学生所在院： 学号： 姓名： 注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。一、（12分）讨论分别用J

3、acobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解下列方程组的收敛性。二、（15分）设求方程 根的迭代法 (1) 证明对,均有,其中为方程的根.(2) 此迭代法收敛阶是多少? 证明你的结论.三、（8分）若矩阵，说明对任意实数，方程组都是非病态的。（范数用）四、（15分）已知 的数据如下： 1 2 3 2 4 2 -1求的Hermite插值多项式，并给出截断误差。五、（10分）在某个低温过程中，函数 依赖于温度x（）的试验数据为123408151820已知经验公式的形式为 ，试用最小二乘法求出 ，。六、（12分）确定常数 ， 的值，使积分取得最小值。七、（14分）对于求积公式：,其中：是区间上

4、的权函数。（1） 证明此求积公式的代数精度不超过2n-1次;（2） 若此公式为Gauss型求积公式，试证明八、（14分）对于下面求解常微分方程初值问题 的单步法：（3） 验证它是二阶方法；（4） 确定此单步法的绝对稳定域。20062007学年第一学期硕士研究生期末考试试题（B卷）科目名称：数值分析 学生所在院： 学号： 姓名： 注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。一、（12分）讨论分别用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解下列方程组的收敛性。二、（8分）若矩阵，说明对任意实数，方程组都是非病态的。（范数用）三、（15分）设导数连续，迭代格式一

5、阶局部收敛到点。构造新的迭代格式： 问如何选取常数及，使新迭代格式有更高的收敛阶，并问是几阶收敛。四、（15分）已知 的数据如下： 1 2 3 2 4 2 -1求的Hermite插值多项式，并给出截断误差。五、（10分）在某个低温过程中，函数 依赖于温度x（）的试验数据为123408151820已知经验公式的形式为 ，试用最小二乘法求出 ，。六、（12分）确定常数 ， 的值，使积分取得最小值。七、（14分）对于求积公式：,其中：是区间上的权函数。（3） 证明此求积公式的代数精度不超过2n-1次;（4） 若此公式为Gauss型求积公式，试证明八、（14分）对于下面求解常微分方程初值问题 的单步法

6、：（5） 验证它是二阶方法；（6） 确定此单步法的绝对稳定域。20062007学年第一学期硕士研究生期末考试试题（A卷）科目名称：数值分析 学生所在院： 学号： 姓名： 注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。一、（12分）设方程组为 （1） 用Doolittle分解法求解方程组；（2） 求矩阵A的条件数二、（12分）设A为n阶对称正定矩阵，A的n个特征值为，为求解方程组，建立迭代格式 ，求出常数的取值范围，使迭代格式收敛。三、（12分）已知数据-2-101201210 试用二次多项式拟合这些数据。四、（14分）已知 的数据如下： 1 2 3 2 4 12 3（1

7、）求的Hermite插值多项式；（2）为求的值，采用算法： 试导出截断误差R五、（12分）确定常数 ， 的值，使积分取得最小值。六、（12）确定常数，使求积公式的代数精度尽可能高，并问是否是Gauss型公式。七、（12分）设导数连续，迭代格式一阶局部收敛到点。对于常数，构造新的迭代格式： 问如何选取，使新迭代格式有更高的收敛阶，并问是几阶收敛。八、（14分）对于下面求解常微分方程初值问题 的单步法：（7） 验证它是二阶方法；（8） 确定此单步法的绝对稳定区域。20072008学年第一学期硕士研究生期末考试试题科目名称：数值分析 学生所在院： 学号： 姓名： 注意：所有的答题内容必须答在答题纸上

8、，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。一、（15分）给定方程 (1) 分析该方程存在几个根；(2) 用迭代法求出这些根，精确至2位有效数；(3) 说明所用的迭代格式是收敛的.二、（15分）设线性方程组为 (1) 证明用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法解此方程组要么同时收敛,要么同时发散.(2) 当同时收敛时比较其收敛速度.三、（10分）设为非奇异矩阵，方程组的系数矩阵有扰动，受扰动后的方程组为，若，试证：四、（15分）已知 的数据如下： 求的Hermite插值多项式，并给出截断误差。五、（10分）已知数据 i0 1 2 3xi0 1 2 3yi3 2 4 7设，求常数a ,b,

9、使得 六、（15分）定义内积 在中求的最佳平方逼近元素.七、（10分）给定求积公式试确定,使此求积公式的代数精度尽可能高,并问是否是Gauss型公式.八、（10分）给定微分方程初值问题 用一个二阶方法计算在0.1 , 0.2 处的近似值. 取 计算结果保留5位有效数字。20082009学年第一学期硕士研究生期末考试试题一、（本题共3小题，每题8分，共24分）解答下面各题：1) 下表给出了函数 f(x) 在一些节点上的函数值： x0.00.10.20.30.40.50.60.70.8f(x)58630-3-335用复化Simpson求积公式近似计算函数f(x)在区间0, 0.8上的积分。2) 已知函数 y=f(x)的观察值如下表所示，使用Newton 插值法求其插值多项式。x0123y230-13) 取初值为2，利用Newton迭代法求方程:在0， 2中的近似解。要求迭代两次。（如果计算结果用小数表示，则最后结果应保留5位小数）。二、（本题15分）设常数a0，试求a的取值范围，使得用雅可比（Jacobi）迭代法求解下面线性方程组时是收敛的。三、（本题16分）利用Hermite插值多项式构造下面的求积公式： EMBED Equation.3 并导出其积分余项。四（14分）已知方程 在0.2附近有解，建立用于求解此解的收敛的迭代公式。并问如何设置迭代终止条件可以保证