等差数列及其前n项和复习讲义

1、等差数列及其前n项和-复习讲义一、知识梳理1等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam(nm)d，(n，mN*)(2)若an为等差数列，且klmn，(k，l，m，nN*)，则akalaman.(3)若an是等差数列，公差为d，则a2n也是等差数列，公差为2d.(4)若an，bn是等差数列，则panqbn也是等差数列(5)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为md的等差数列2等差数列的前n项和公式设等差数列an的公差为d，其前n项和Sn或Snna1d.3等差数列的前n项和公式与函数的关系Snn2n.数列an是等差数列SnAn2Bn (A、B为常数)4等

2、差数列的最值在等差数列an中，a1>0，d<0，则Sn存在最_大_值；若a1<0，d>0，则Sn存在最_小_值5等差数列的判断方法(1)定义法：anan1d (n2)；(2)等差中项法：2an1anan2.(3)通项公式法：(4)前n项和法：6等差数列与等差数列各项和的有关性质(1)am ，amk ，am2k ，am3k ，仍是等差数列，公差为kd.(2)数列Sm ，S2mSm ，S3mS2m ，也是等差数列(3)S2n1(2n1)an.(4)若n为偶数，则 若n为奇数，则S奇S偶a中(中间项)7等差数列与函数在d0时，an是关于n的一次函数，一次项系数为d；Sn是关于

3、n的二次函数，二次项系数为，且常数项为0.二、巩固训练1已知等差数列an中，a3a822，a67，则a5_.答案15解析an为等差数列，a3a8a5a622，a522a622715.2设an为等差数列，公差d2，Sn为其前n项和，若S10S11，则a1等于()A18 B20 C22 D24答案B解析因为S10S11，所以a110.又因为a11a110d，所以a120.3在等差数列an中，已知a4a816，则该数列前11项和S11等于()A58 B88 C143 D176答案B 解析S1188.4设数列an，bn都是等差数列，若a1b17，a3b321，则a5b5_.答案35 解析两个等差数列的

4、和数列仍为等差数列 设两等差数列组成的和数列为cn，由题意知新数列仍为等差数列且c17，c321，则c52c3c12×21735.5如果等差数列中,那么（）A14B21C28D35【答案】C 【解析】因为,所以,所以. 6等差数列an中，a1a2a324，a18a19a2078，则此数列前20项和等于_解析：由已知可得(a1a2a3)(a18a19a20)2478(a1a20)(a2a19)(a3a18)54a1a2018S20×20×20180.7设Sn为等差数列an的前n项和，若a11，公差d2，则k等于 ()A8 B7 C6 D5答案D解析Sk2Skak1a

5、k2a1kda1(k1)d2a1(2k1)d2×1(2k1)×24k424，k5.8设等差数列an、bn的前n项和分别为Sn、Tn，若对任意自然数n都有，则的值为_答案解析an，bn为等差数列，.，.9下面是关于公差的等差数列的四个命题: 其中的真命题为（）ABCD【答案】D 10已知数列an满足递推关系式an12an2n1(nN*)，且为等差数列，则的值是_解析由an12an2n1，可得，则，当的值是1时，数列是公差为的等差数列11已知数列中满足,则数列的通项公式是_.【答案】【解析】本题考查叠加法求通项公式.因为两边同除得,所以 ,相加得,因为,带入得. 12 已知是一

6、个公差大于0的等差数列,且满足，.令 ,记数列的前项和为,对任意的,不等式恒成立,则实数的最小值是_. 【答案】100 13已知数列的首项为,前n项和为,且，则通项公式为_。 【答案】 14设数列的前n项和为.已知a11， 则通项公式为_。解析：当n2时，2Snnan1n3n2n， 2Sn1an，两式相减得2annan1an，整理得annan1n，即1，又1，故数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以1×1n，所以ann2.15设等差数列的前n项和为Sn，已知前6项和为36，Sn324，最后6项的和为180 (n>6)，求数列的项数n.解由题意可知a1a2a636anan1an

7、2an5180得(a1an)(a2an1)(a6an5) 6(a1an)216.a1an36.又Sn324，18n324.n18.16 (1)在等差数列an中，已知a120，前n项和为Sn，且S10S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值；(2)已知数列an的通项公式是an4n25，求数列|an|的前n项和解(1)方法一a120，S10S15， 10×20d15×20d，d.an20(n1)×n. a130，即当n12时，an>0，n14时，an<0，当n12或13时，Sn取得最大值，且最大值为S13S1212×20×

8、;130.方法二同方法一求得d. Sn20n·n2n2.nN*，当n12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12S13130.方法三同方法一求得d.又由S10S15得a11a12a13a14a150. 5a130，即a130.当n12或13时，Sn有最大值且最大值为S12S13130.(2)an4n25，an14(n1)25， an1an4d，又a14×12521.所以数列an是以21为首项，以4为公差的递增的等差数列令由得n<6；由得n5，所以n6.即数列|an|的前6项是以21为首项，公差为4的等差数列，从第7项起以后各项构成公差为4的等差数列，而|a7|a74×7253. 设|an|的前n项和为Tn，则Tn17已知等差数列的公差大于0,且是方程的两根,数列的前项和为.(1)求数列的通项公式;(2)记,求证:;(3)求数列的前项和.【答案】(1)因为是方程的两根,且数列的公差,所以,公差.所以. 又当时,有,所以. 当时,有,所以. 所以数列是首项为,公比为的等比数列, 所以. (2)由(1)知, 所以, 所以. (3)因为, 则, , 由-,得, 整理,得. 18.已知在正整数数列中，前项和满足：(2)2.(1)