空间几何体的表面积和体积教案

1、适用学科高中数学适用年级高一适用区域人教版区域课时时长（分钟）2课时知识点柱体、锥体、台体、球体的表面积与体积公式教学目标掌握柱体、锥体、台体、球体的表面积与体积公式会求简单组合体的体积及表面积能够通过三视图求出常见几何体的表面积与体积教学重点组合体的表面积与体积教学难点不规则几何体的表面积与体积的求解【知识导图】教学过程一、导入思考1正方体与长方体的展开图如图(1)(2)所示，则相应几何体的表面积与其展开图的面积有何关系？答案相等思考2棱柱、棱锥、棱台的表面积与其展开图的面积是否也都相等？答案是思考3圆柱OO及其侧面展开图如图所示，则其侧面积为多少？表面积为多少？答案S侧2rl，S表2r(r

2、l)思考4圆锥SO及其侧面展开图如图所示，则其侧面积为多少？表面积为多少？答案底面周长是2r，利用扇形面积公式得S侧×2rlrl，S表r2rlr(rl)设计意图：通过图形的实际操作与求解，讨论出相关公式。二、知识讲解考点1柱、锥、台的侧面展开图1. 圆柱：侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆周长，宽是圆柱的高（母线）， S=2，S=2，其中为圆柱底面半径，为母线长；.2. 圆锥：侧面展开图为一个扇形，半径是圆锥的母线，弧长等于圆锥底面周长，侧面展开图扇形中心角为，S=， S=，其中为圆锥底面半径，为母线长. （S为底面面积，h为高）3. 圆台：侧面展开图是扇环，内弧长等于圆台上底周长，外

3、弧长等于圆台下底周长，侧面展开图扇环中心角为，S=，S=. （S，分别上、下底面积，h为高） （r、R分别为圆台上底、下底半径）考点2 柱、锥、台的表面积与体积的计算公式柱、锥、台的表面积与体积的计算公式的关系表面积相关公式表面积相关公式棱柱其中圆柱 （r：底面半径，h：高）棱锥圆锥 （r：底面半径，l：母线长）棱台圆台（r：下底半径，r：上底半径，l：母线长）体积公式体积公式棱柱圆柱棱台棱锥圆锥圆台考点3 球的表面积和体积公式1. 球的体积是对球体所占空间大小的度量，它是球半径的函数，设球的半径为，则球的体积2. 球的表面积是对球的表面大小的度量，它也是球半径的函数，设球的半径为，则球的表面

4、积为，它是球的大圆面积的4倍3. 用一个平面去截球，所得到的截面是一个圆三 、例题精析类型一 柱、锥、台的侧面展开图例题1如图，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC=6cm，点P是母线BC上一点，且PC=BC一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（）A、 B、5cm C、 D、7cm【规范解答】B【总结与反思】在做立体图的题目时，对基本立体图形的展开图要有一定的了解，类似于求最短距离的题，只需将立体图形转化为平面图形进行求解即可。类型二柱、锥、台的表面积与体积的计算公式例题1已知圆台的上下底面半径分别是2，5，且侧面面积等于两底面面积之和，求该圆台的母线长【规范

5、解答】解析：设圆台的母线长为，则，圆台的上底面面积为，圆台的上底面面积为，所以圆台的底面面积为.又圆台的侧面积，于是，即为所求.【总结与反思】清晰准确的记忆立体图形表面积公式和体积公式是解题的关键。 类型三球的表面积和体积公式例题1正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，点在球面上，如果，则球的表面积是 A. B. C. D. 【规范解答】D正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，点在球面上，PO与平面ABCD垂直，是棱锥的高，PO=R，所以，解得R=2，则球的表面积是，选D.【总结与反思】清晰准确的记忆立体图形表面积公式和体积公式是解题的关键。例题2一个长方体的相交于一个顶点的三个面的面

6、积分别是2，3，6，则长方体的体积是 .【规范解答】6解析：长方体的长宽高分别为，求出的值，再求体积.设长方体的长宽高分别为，则，三式相乘得.所以，长方体的体积为6【总结与反思】明确共顶点的三个面的面积是怎么回事是解题关键。四 、课堂运用基础1圆柱的轴截面是正方形，且轴截面面积是S，则它的侧面积是()A.BSC2SD4S2如图，已知ABCDA1B1C1D1为正方体，则正四面体DA1BC1的表面积与正方体的表面积之比是()A.B.C.D.3已知一个铜质的五棱柱的底面积为16cm2，高为4cm，现将它熔化后铸成一个正方体的铜块(不计损耗)，那么铸成的铜块的棱长是()A2cmB3cmC4cmD8cm

7、4.已知高为3的棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B1ABC的体积为()A.B.C.D.1圆柱的轴截面是正方形，且轴截面面积是S，则它的侧面积是()A.BSC2SD4S答案B解析圆柱的轴截面是正方形，且轴截面面积是S，圆柱的母线长为，底面圆的直径为，圆柱的侧面积S××S.故选B.2如图，已知ABCDA1B1C1D1为正方体，则正四面体DA1BC1的表面积与正方体的表面积之比是()A.B.C.D.答案B解析设正方体的棱长为1，则正方体的表面积为6，正四面体DA1BC1的棱长为，表面积为4××sin60°×

8、2，正四面体DA1BC1的表面积与正方体的表面积之比是，故选B.3已知一个铜质的五棱柱的底面积为16cm2，高为4cm，现将它熔化后铸成一个正方体的铜块(不计损耗)，那么铸成的铜块的棱长是()A2cmB3cmC4cmD8cm答案C解析铜质的五棱柱的底面积为16cm2，高为4cm，铜质的五棱柱的体积V16×464(cm3)，设熔化后铸成一个正方体的铜块的棱长为acm，则a364，解得a4cm，故选C.4.已知高为3的棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B1ABC的体积为()A.B.C.D.答案D巩固解析VSh××3.1圆台的上、下底面半

9、径和高的比为144，母线长为10，则圆台的侧面积为()A100B81C169D142表面积为3的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为_3将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为()A2B4C8D164如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为_1圆台的上、下底面半径和高的比为144，母线长为10，则圆台的侧面积为()A100B81C169D14答案A解析圆台的上、下底面半径和高的比为144，母线长为10，设圆台上底面的半径为r，则下底面半径和高分别为4r和4r，由100(4r)2(4rr)2，得r2，故

10、圆台的侧面积等于(r4r)×l(28)×10100，故选A.2表面积为3的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为_答案2解析设圆锥的母线为l，圆锥底面半径为r，则l2r23，l2r，r1，即圆锥的底面直径为2.3将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为()A2B4C8D16答案B解析体积最大的球是其内切球，即球的半径为1，所以表面积为S4×124.4如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为_答案312解析设球的半径为R，则V柱R2·2R2R3，V锥R2·

11、2RR3，V球R3，故V柱V锥V球2R3R3R3312.拔高1直角三角形的两条直角边长分别为15和20，以它的斜边为轴旋转生成的旋转体，求旋转体的表面积2某几何体的三视图如图所示，则其表面积为_3如图所示，在棱长为4的正方体上底面中心位置打一个直径为2、深为4的圆柱形孔，则打孔后的几何体的表面积为_4如图所示是某几何体的三视图，它的正视图和侧视图均为矩形，俯视图为正三角形(长度单位：cm)(1)该几何体是什么图形？(2)画出该几何体的直观图(坐标轴如图所示)，并求它的表面积.(只需作出图形，不要求写作法)1直角三角形的两条直角边长分别为15和20，以它的斜边为轴旋转生成的旋转体，求旋转体的表面

12、积解设此直角三角形为ABC，AC20，BC15，ACBC，则AB25.过C作COAB于点O，直角三角形绕AB所在直线旋转生成的旋转体，它的上部是圆锥(1)，它的下部是圆锥(2)，两圆锥底面圆相同，其半径是OC，且OC12，圆锥(1)的侧面积S1×12×20240，圆锥(2)的侧面积S2×12×15180.旋转体的表面积应为两个圆锥侧面积之和，即SS1S2420.2某几何体的三视图如图所示，则其表面积为_答案3解析由三视图可知，该几何体是一个半径为1的半球，其表面积为半个球面面积与截面面积的和，即×43.3如图所示，在棱长为4的正方体上底面中心位

13、置打一个直径为2、深为4的圆柱形孔，则打孔后的几何体的表面积为_答案966解析由题意知，所打圆柱形孔穿透正方体，因此打孔后所得几何体的表面积等于正方体的表面积，再加上一个圆柱的侧面积，同时减去两个圆的面积，即S6×424×22×12966.4如图所示是某几何体的三视图，它的正视图和侧视图均为矩形，俯视图为正三角形(长度单位：cm)(1)该几何体是什么图形？(2)画出该几何体的直观图(坐标轴如图所示)，并求它的表面积.(只需作出图形，不要求写作法)解(1)由三视图可知该几何体是三棱柱(2)直观图如图所示因为该几何体的底面是边长为4cm的等边三角形，高为2cm，所以它

14、的表面积S三棱柱2S底S侧2××423×4×2(248)(cm2)五 、课堂小结1.表面积相关公式表面积相关公式棱柱其中圆柱 （r：底面半径，h：高）棱锥圆锥 （r：底面半径，l：母线长）棱台圆台（r：下底半径，r：上底半径，l：母线长）体积公式体积公式棱柱圆柱棱台棱锥圆锥圆台2.球的表面积和体积公式六 、课后作业基础1如图所示，圆锥的底面半径为1，高为，则圆锥的表面积为()AB2C3D42一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32，则母线长为()A2B2C4D83正四棱台的两底边长分别为1cm,2cm，高是1cm，它的侧面积为()A6c

15、m2B.cm2C.cm2D3cm24某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形，则该几何体的表面积为()A80B2488C2440D1185如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4，那么圆柱的体积等于()AB2C4D86如图，在正方体中，四棱锥SABCD的体积占正方体体积的()A.B.C.D不确定7如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()A.12B.18C942D36188如图，ABCABC是体积为1的棱柱，则四棱锥CAABB的体积是()A.B.C.D.1如图所示，圆锥的底面半径为1，高为，则圆锥的表面积为()AB

16、2C3D4答案C解析设圆锥的母线长为l，则l2，圆锥的表面积为S×1×(12)3.2一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32，则母线长为()A2B2C4D8答案C解析圆台的轴截面如图所示，由题意知，l(rR)，S圆台侧(rR)·l·2l·l32，l4.3正四棱台的两底边长分别为1cm,2cm，高是1cm，它的侧面积为()A6cm2B.cm2C.cm2D3cm2答案D解析四棱台的两底边长分别为1cm,2cm，高是1cm，上底边到上底中心的距离是cm，下底边到下底中心的距离是1cm，那么梯形的高，就是斜高为(cm)，一个梯形的面积

17、就是(12)×(cm2)，棱台的侧面积S3(cm2)故选D.4某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形，则该几何体的表面积为()A80B2488C2440D118答案B解析根据题意，可得该几何体是底面是边长分别为6和8的矩形且侧棱长均相等的四棱锥，高为SO4，如图所示，因此，等腰三角形SAB的高SE5，等腰三角形SCB的高SF4，SSABSSCD×AB×SE20，SSCBSSAD×CB×SF12，矩形ABCD的面积为6×848，该几何体的表面积为S表SSA

18、BSSCDSSCBSSADSABCD2×202×12482488.故选B.5如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4，那么圆柱的体积等于()AB2C4D8答案B解析设圆柱母线长为l，底面半径为r，由题意得解得V圆柱r2l2.6如图，在正方体中，四棱锥SABCD的体积占正方体体积的()A.B.C.D不确定答案B解析由于四棱锥SABCD的高与正方体的棱长相等，底面是正方形，根据柱体和锥体的体积公式，得四棱锥SABCD的体积占正方体体积的，故选B.7如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()A.12B.18C942D3618答案B解析由三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合

19、体，其体积V()33×3×218.8如图，ABCABC是体积为1的棱柱，则四棱锥CAABB的体积是()A.B.C.D.答案C解析VCABCVABCABC，VCAABB1.巩固1一个直角三角形的直角边分别为3与4，以其直角边为旋转轴，旋转而成的圆锥的侧面积为()A15B20C12D15或202一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A372B360C292D2803如图是一个几何体的三视图，若该几何体的表面积为9，则该几何体的正视图中实数a的值为()A1B2C3D44一平面截一球得到直径为6cm的圆面，球心到这个圆面的距离是4cm，则该球的体积是()A.cm3B.

20、cm3C.cm3D.cm35一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2cm的球面上，如果正四棱柱的底面边长为2cm，那么该棱柱的表面积为()A(24) cm2B(48) cm2C(816) cm2D(1632) cm26.如图，在梯形ABCD中，ABC，ADBC，BC2AD2AB2，将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A.B.C.D21一个直角三角形的直角边分别为3与4，以其直角边为旋转轴，旋转而成的圆锥的侧面积为()A15B20C12D15或20答案D解析以直角三角形的直角边为旋转轴，旋转而成的圆锥，有以下两种情况：根据圆锥的侧面积计算公式S侧面积r

21、15;l母线长以直角边3为旋转轴时，旋转而成的圆锥的侧面积S4×520；以直角边4为旋转轴时，旋转而成的圆锥的侧面积S3×515.故选D.2一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A372B360C292D280答案B解析由三视图可知该几何体是由下面一个长方体，上面一个长方体组合而成的几何体下面长方体的表面积为8×10×22×8×210×2×2232，上面长方体的表面积为8×6×22×8×22×6×2152，又长方体表面积重叠一部分，几何体的表面积为2321522×6×2360.3如图是一个几何体的三视图，若该几何体的表面积为9，则该几何体的正视图中实数a的值为()A1B2C3D4答案C解析设几何体是一个圆柱上面叠加一个圆锥，其表面积为S2×1×a×1××122a39，a3.4一平面截一球得到直径为6cm的圆面，球心到这个圆面的距离是4cm，则该球的体积是()A.cm3B.cm3C.cm