第二十一章二重积分VIP

1、第二十一章 重积分§1二重积分概念1.把重积分作为积分和的极限，计算这个积分值，其中并用直线网分割这个正方形为许多小正方形，每一小正方形取其右上顶点为其节点。证明：2.证明：若函数在有界闭区域D上可积，则在D上有界。证明：假设在D上可积，但在D上无界。则对D的任一分割T=,必在某个小区间上无界。当时，任取，令G=由于在上无界，即存在使得。从而另一方面，由于在D上可积，取，故存在，对任意D的分割当时，3.证明二重积分中值定理（性质7）。证明：函数在有界闭区域D上连续，则在D上存在最大值M与最小值m，且对D中一切点，有有性质6知，即有介值定理存在使得4：若为有界闭区域D上的非负连续函数，

2、且在D上不恒为零，则证明：由已知，存在，使则存在，对一切，其中，有而在有界闭域D上非负连续，则有 其中（表示为的面积）5.若在有界闭区域D上连续，且在D内任一子区域上有则在D上证明：用反证法：假设在D内存在一点使，不妨设。则存在。使得一切（其中），有。这时，这与题设产生矛盾（表示为的面积）§21.2 直角坐标系下二重积分的计算1.设在区域D上连续，试将二重积分化为不同顺序的累次积分：（1）D有不等式所确定的区域。(2) D由不等式所确定的区域；（3）D由不等式所确定的区域；(4) 解：（1）：积分区域D如图21-1. (2) ：积分区域D如图所示（3）：积分区域如图所示（4）：积分区

3、域如图所示2.在下列积分中改变累次积分的顺序：（1）（2）（3）（4）. 解: (1)=(2)=(3) =(4)=3.计算下列二重积分：（1）（2）（3）,其中D为图中的阴影部分（4），其中D=解：（1）(2):(3):；(4)4.求由坐标平面及所围的角柱体的体积；解:§3 格林公式 曲线积分与路线的无关性1.应用格林公式计算下列曲线积分：（1），其中是以为顶点的三角形，方向取正向；（2），其中为常数，为由到经过圆上半部的路线。解：（1）AB的方程：； BC的方程：； CA的方程：。，则三角形域被分成两部分。原式(2)连接点与点，构成封闭路线，在险段.于是而由格林公式因此 原式. 应

4、用格林公式计算下列曲线所围的平面面积：（） 星形线：;（） 双扭线：解 (1)有图的对称性可知(2)令，可得利用图的对称性，3.证明：若L为平面上封闭曲线，为任意方向向量，则，其中n为曲线L的外法线方向。证：设分别表示外法线与轴正向、与外法线以及轴正向的夹角，则， 于是 ，其中由格林公式，有4. 求积分值其中L为包围有界区域的封闭曲线，n为L的外法线方向。解：设T为L的切线方向，S为区域Dde 面积，5. 验证下列积分与路线无关，并求它们的值：（1）（2）（3），沿在右半平面的路线；（4）沿不通过原点的路线；（5） 解：（1）故积分与路径无关。取路线(2) , （3） (4)当（5）6. 求下

5、列全微分的原函数：（1）（2）（3）解（1）：（2）：（3）： 则原函数7. 为了使曲线积分与积分路线无关，则可微函数应满足怎样的条件？解： 即§4 二重积分的变量变换1.对积分进行极坐标变换并写出变换后不同顺序的累次积分：（1）当D为由不等式所确定的区域；（2）（3）解：（1）令则将变成从而（2）令则将变成，从而（3）令则2.用极坐标计算下列二重积分: (1)解：令将变换成极坐标平面下区域则 (2) 解：令由方程可知则极坐标下区域则（3）为圆域：解：令将变换成极坐标平面下区域则（4) 为圆域解：令极坐标平面下区域则3. 在下列积分中引入新变量后，试将它化为累次积分：（1）解：由得则

6、变换后的区域， (2),其中若解：在变换下，区域为（3），其中解：由将变换成则=4.试作适当变换，计算下列积分：（1）解 令则于是（2）解 令 则于是 5求由下列曲面所围立体的体积：（1）是由和所围的立体；解 立体在平面上投影区域为：令 则所以 （2）是由曲面和所围的立体解：体在平面上的投影区域为6.求由下列曲线所围的平面图形面积：（1）（2）（3）解：令则所以，（2）令则所以（3）解；圆与双纽线在第一象限交点为（令则§5 三重积分1计算下列积分：所围成的区域。解：（3）积分区域如图21-18，（4）积分区域如图21-19。2. 试改变下列累次积分的顺序。（1）；（2）；（1）三重积

7、分积分区域如图所示，体V在xoz平面上的投影则=（2）三重积分积分区域如图所示。体在平面投影3.计算下列三重积分与累次积分：（1），其中V由和所确定； (2).解：（1）用平行于平面去截积分区域V，截面为：所以 =.(2)因为在平面上的投影区域 所以 4.利用适当的坐标变换，计算下列各曲线面所围成的体积：（1）（2）解（1）因为由两个旋转抛物面，平面和母线平行于轴的柱面所围成，在平面上的投影区域所以 （2）作变换 则 5设球体积上各点的密度等于该点到坐标原点的距离。求这球体体积的质量。解：密度函数，则球体的质量，应用球面坐标变换将球体 变成所以§6 重积分的应用1.求曲面包含在圆柱内

8、那部分的面积.解：设曲面面积为,由于则其中由广义极坐标变换，得2.求锥面被柱面所截部分的曲面面积。解：曲面在平面上的投影区域而则3.求下列均匀密度的平面的平面薄板重心：（1） 求椭圆 解：设重心坐标为由对称性则重心为（2）高为，底分别为和的等腰梯形。解：设重心坐标为，由对称性=0，其中，4.求下列均匀密度物体的重心：（1）解 设物体重心坐标为由对称性知，（应用柱面坐标变换），所求重心坐标为（2）由四面体的重心坐标为由于物体为均匀密度，且所以，所求重心坐标为5.求下列均匀密度的平面薄板的转动惯量：（1）半径为的圆关于其切线的转动惯量；解：如图21-23，沿切线为，密度为对任一点到的距离为所以 （2）边长为和，且夹角为的平行四边形，关于底边的转动惯量.解6.计算下列引力：（1）均匀薄片+,Z=0对于轴上一点（0，0，c）(c>0)处的单位质量的引力；解由对称性，引力必在z轴方向上因此=0，=0，=k =kcddr =2k(1-),故F=.(2)均匀柱体对于点（0，0，c）(c>h