第三章、二维随机变量及其分布(精)

1、第三章、二维随机变量及其分布-MATLAB实验（ wenjie 仅供参考）随机变量的联合分布、边缘分布P78：例 2、设二维随机变量（X， Y）具有概率密度ce (2 x y) , x0, y0f ( x, y)0,其它（ 1）求常数 c（ 2）求分布函数F(x,y)（ 3）求概率 PY XMatlab实现 (1)F ( ,)dxf ( x, y)dy 100syms x y cf=c*exp(-(2*x+y);C=int(int(f,x,0,inf),y,0,inf)%分布函数最大值只能为1,所以 C=1；(2)syms u v cf=c*exp(-(2*u+v);F1=int(int(f,

2、v,0,'y'),u,0,'x')%分布函数其中 X>0,Y>0的情形F=subs(F1,c,2)或F1=int(int(f,y,0,'ty'),x,0,'tx')F=subs(F1,c,2)pretty(F)(3)P YX xf ( x, y)dydx00p1=int(int(f,y,0,x),x,0,inf)format rat%有理数格式P=subs(P1,c,2)（4）求 X， Y 的边缘密度；Matlab 实现 (4)fX ( x)xf ( x, y) dy0syms x y cf=c*exp(-(2*x+y

3、);fx=int(f,y,0,x)fY ( y)f ( x, y)dxyfy=int(f,x,y,inf)随机变量函数的分布1、一维随机变量函数的分布P73：第 28 题、设随机变量X 在(0,1)服从均匀分布，（ 1）求 Y eX 的概率密度（ 2）求 Y2ln X 概率密度解析法 ：f X h( y) h ( y)yfY ( y)others0,Matlab 实现 (1)10 x11fX ( x);h ( y)0othersyclearx=solve('y=exp(x)') ；%计算随机变量函数的反函数dx=diff(x,'y')；%对反函数求导f=1*dy

4、%计算随机变量 X 的函数 Y 的密度函数(2)10 x1yh( y) e 2fX ( x);0othersclearx=solve('y=-2*log(x)')；%计算随机变量函数的反函数dx=diff(x,'y')；%对反函数求导f=1*(-dy)%随机变量函数为单调递减， （ -dy）P73：第 29 题、设随机变量XN (0,1) ，（1）求 YeX 的概率密度 （2）求 YX 的概率密度Matlab 实现 (1)1x2efX ( x)22syms x y pif=exp(-x2/2)/sqrt(2*pi)x=solve('y=exp(x)

5、9;)%计算随机变量函数的反函数dx=diff(x,y)%反函数求导f=subs(f,'x',x)%计算 f(h(y):x 用 h(y)代替f1=f*dx%随机变量函数为单调递增加：（ +dx）pretty(f1)(2)y 0FY ( y) PYyP X y P yXyy1x2e2 dxy2syms x y piFy=int('exp(-x2/2)/sqrt(2*pi)',x,-y,y);fy=diff(Fy,y)%分布函数求导或者：1x2xx(0,)e 2 ;Y XfX ( x)yx(,0)2xclc,clearsyms x y pif=exp(-x2/2)/

6、sqrt(2*pi)x=solve('y=abs(x)')f1=subs(f,'x',x(1)%y = x 情形dx1=diff(x(1),y)fy1=f1*dx1pretty(fy1)f2=subs(f,'x',x(2)%y = -x 情形dx2=diff(x(2),y)fy2=f2*(-dx2)%随机变量函数为单调递减，（ y=-x ）pretty(fy2)2、二维随机变量函数的分布P107：第 19 题、设随机变量 (X,Y)的概率密度为f ( x, y)1 ( x y)e ( x y) , x 0, y 020,others（2）求 ZX

7、Y 的概率密度Matlab 实现 (2)FZ(z)P ZzP XYzf (x, y)dxdyG: xyzzzxdxf ( x, y)dy00clearsyms x y zfxy=1/2*(x+y)*exp(-x-y)Fz=int(int(fxy,y,0,z-x),x,0,z)%计算分布函数fz=diff(Fz,z)%分布函数求导，密度函数或者：fZ (z)zx)dxf ( x, z0clear,clcsyms x y zfxy=1/2*(x+y)*exp(-x-y)f=subs(fxy,y,z-x)fz=int(f,x,0,z)P107：第 20题、设 X,Y 是相互独立的随机变量，服从正态分布N (0, 2 ) ，试验证随机变量 ZX 2Y2具有概率密度z2z2 e 2 2 ,z 0f Z ( z)0,others称 Z 服从参数为 (0) 的瑞利分布（ Rayleigh ）Matlab实现 (2)x2 y22y2r2r2122x12 e 22f ( x, y)22 e2FZ (z)P X2Y 2zz0P X2Y 2z2f ( x, y)dxdyG :x2y