苏教数学选修4-1几何证明选讲教学案及课后配套巩固练习

1、几何证明选讲几何证明选讲 第一节第一节 三角形三角形一考纲要求一考纲要求了解平行线等分线段定理和平行截割定理；掌握相似三角形的判定定理及性质定理；理解直角三角形射影定理。二知识梳理二知识梳理1平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段 推论 1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必 推论 2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于 ，并且等于 2平行线分线段成比例定理：两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段 结论 1

2、：平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边 结论 2：三角形的一个内角平分线分对边所成的两条线断于这个角的两边 。 结论 3：若一条直线截三角形的两边（或其延长线）所得对应线段成比例，则此直线与三角形的第三边 3 相似三角形的判定定理：（1）（SAS） （2） (SSS) （3）(AA) 推论：如果一条直线与三角形的一边平行，且与三角形的另两条边相交，则 相似三角形的性质定理：相似三角形的对应线段的比等于 ，面积比等于 4 直角三角形的射影定理：直角三角形一条直角边的平方等于 ，斜边上的高等于 三诊断练习三诊断练习1如图 1，AM=3，BM=5，CM=

3、4.5，EF=16，则 DM= ，EK= ，FK= 321/lll2如图 2，AB 是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚 B 距墙 80cm，梯上点 D 距墙 70cm，BD 长 55cm，则梯子的长为 cm3如图 3，ABC 中，1=B，则 此时若 AD=3，BD=2，则 AC= AMCEKFBDl1l2l3图 1ADB图 24如图 4，CD 是 RtABC 的斜边上的高（1）若 AD=9，CD=6，则 BD= ；（2）若 AB=25，BC=15，则 BD= 四范例导析四范例导析例例 1 1 如图 5，等边内接于，且 DE/BC，已知于点DEFABCBCAH H，BC4，AH，求的边长3DEF图 5例

4、例 2 2 如图 6，在 ABC 中，作直线 DN 平行于中线 AM，设这条直线交边 AB 与点 D，交边 CA 的延长线于点E，交边 BC 于点 N求证：ADAB=AEAC 例例 3 3 如图 7，E，F 分别是正方形 ABCD 的边 AB 和 AD 上的点，且31ADAFABEB求证：AEF=FBDABCDME图 6NACBD1图 3ABCD图 4ABCDMFE图 7BCADFHE五当堂反馈五当堂反馈1如图 8，ABC 中，点 D 为 BC 中点，点 E 在 CA 上，且 CE=EA，AD，BE 交于点 F，则 AF:FD= 212一个等腰梯形的周长是 80cm，如果它的中位线长与腰长相等

5、，它的高是 12cm，则这个梯形的面积为 cm23两个三角形相似，它们的周长分别是 12 和 18，周长较小的三角形的最短边长为 3，则另一个三角形的最短边长为 4如图 9，已知1=2，请补充条件： （写一个即可），使得 ABCADEABCDFE图 8DACB图 9E12第二节第二节 直线和圆直线和圆一考纲要求一考纲要求1理解圆周角定理及其推论；掌握圆的切线的判定定理及性质定理；理解弦切角定理及其推论；2掌握相交弦定理、割线定理、切割线定理；理解圆内接四边形的性质定理与判定定理二知识梳理二知识梳理1圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于 圆心角定理：圆心角的度数等于 的度数 推论 1：同弧或等

6、弧所对的圆周角 ；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧 推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角是 ；的圆周角所对的弦是 90 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的 2 圆内接四边形的性质与判定定理：圆的内接四边形的对角 ；圆内接四边形的外角等于它的内角的 如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点 如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点 3切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的 推论：经过圆心且垂直于切线的直线必经过 ；经过切点且垂直于切线的直线必经过 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的 4相交弦定理：圆内两条相交弦， 的积相等。 割

7、线定理：从圆外一点引圆的两条割线， 的两条线段长的积相等。 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是 的比例中项。 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长 ；圆心和这点的连线平分 的夹角。三诊断练习三诊断练习1、如图 10，点 P 是O 的直径 BA 延长线上一点，PC 与O 相切于点 C，CDAB，垂足为 D，连结AC、BC、OC，那么下列结论中正确结论的个数有 个PC2=PAPB；PCOC=OPCD；OA2=ODOP；OA（CPCD）=APCD2、AB 是O 的直径，弦 CDAB，垂足为 P，若 APPB14，CD8，则直径 AB 的长是 3、如图 11，AB 是O 的

8、直径，P 是 AB 延长线上一点，PC 切O 于点 C，PC=3，PB=1，则O 的半径为 4、如图 12，圆 O 上的一点 C 在直径 AB 上的射影为 D，CD=4，BD=8，则圆 O 的直径为 AODPCB图 10ABPC图 11OADOCB图 12四范例导析四范例导析例例 1 1 如图 13，AB 是O 的直径，C 是O 外一点，且 ACAB，BC 交O 于点 D已知BC4，AD6，AC 交O 于点 E，求四边形 ABDE 的周长例例 2 2 如图 14，已知 AD 是ABC 的外角EAC 的平分线，交 BC 的延长线于点 D，延长 DA 交ABC 的外接圆于点 F，连接 FB，FC（

9、1）求证：FBFC；（2）若 AB 是ABC 的外接圆的直径，EAC 120，BC6，求 AD 的长例例 3 3 如图 15，1和O2都经过 A、B 两点，经过点 A 的直线 CD 与O1交于点 C，与O2交于点 D经过点B 的直线 EF 与O1交于点 E，与O2交于点 F求证：CEDFO2O1FEDCBA图 15ABOECD图 13ABFCDE图 14五当堂反馈五当堂反馈1、下列命题中错误的是 （1）过一个圆的直径两端点的两条切线互相平行（2）直线 AB 与O 相切于点 A，过 O 作 AB 的垂线，垂足必是 A（3）若同一个圆的两条切线互相平行，则连结切点所得的线段是该圆的直径（4）圆的切

10、线垂直于半径2、如图 17，已知 AB 是O 的弦，AC 切O 于点 A，BAC=60，则ADB 的度数为 3、如图 18，PA 与圆切于点 A，割线 PBC 交圆于点 B、C，若 PA=6，PB=4，AB 的度数为 60，则 BC= ，PCA= ，PAB= 4、如图 19，ABC 是O 的内接三角形，PA 是O 的切线，PB 交 AC 于点 E，交O 于点 D，若PEPA，PD1，BD8，则线段 BC= 60ABCBADCO图 17BCAP图 18APCBED图 19参考答案参考答案第一节第一节 三角形三角形三诊断练习三诊断练习1DM=7.5，EK=6，FK=10 24403ACD，ABC，

11、 4.4，915四范例导析四范例导析例 1 解: 设等边的边长为x，则它的高为，DEFx23 因为DE/BC，所以，解得x=32334xx34例 2 证明：AMEN， ADAB=NMMB，NMMC=AEAC MB=MC， ADAB=AEAC例 3 证明：过点 F 作 FMBD 于点 M设正方形的边长为 a，则 BD=a2 ，EB=AF=a，AE=DF=a31ADAFABEB3132 在 RtDMF 中，EM=DM=DF=a，BM=aa=a2232232322 在 RtAEF 和 RtMBF 中， ，A=BMF=90，213231aaAEAF21a232a32BMFM AEFMBFAEF=FBD

12、五当堂反馈五当堂反馈1.AF:FD=4:1 2.240 3. 4.B=D（或C=E，或）29ABADACAE第二节第二节 直线和圆直线和圆三诊断练习三诊断练习1.4 2.10 3.4 4.10四范例导析四范例导析例 1 解: 因为AB是O的直径，所以，BCAD 所以AD是ABC的中线，所以ABAC102BDDC2，由，所以DEDC2CBDEC由CECA=CDCB,得 CE，所以510210585102102AE例 2 证明 :（1）因为AD平分EAC，所以EADDAC因为四边形AFBC内接于圆，所以，所以，FBCDACFCBFABEAD所以，所以FBFCFCBFBC（2）因为AB是ABC的外接

13、圆的直径，所以90ACD因为=，所以，EAC1201602DACEAC30D在 RTACB中，因为BC6，所以60BAC2 3AC 又在 RTACD中，所以30D2 3AC 4 3AD 例 3 证明：连结 ABABEC 是O1的内接四边形， BAD=E ADFB 是O2的内接四边形， BADF=180 EF=180 CEDF五当堂反馈五当堂反馈1.（4） 2.120. 3.5,30,30. 4.72 随堂巩固练习（随堂巩固练习（1 1）1 如图 1，已知：ACAB，BDAB，AO=78cm，BO=42cm，CD=159cm，则 CO= cm，DO= cm2已知，如图 2，AAEE，AB=BC=

14、CD=DE，AB=BC=CD=DE，若AA=28mm，EE=36mm，则 BB= ，CC= ，DD= 3如图 3，EFBC，FDAB，AE=1.8cm,BE=1.2cm,CD=1.4cm则 BD= ABCDEEDCBA图 2ABCDFE图 3AOCBD图 14已知，如图 4，在平行四边形 ABCD 中，DB 是对角线，E 是 AB上一点，连结 CE 且延长和 DA 的延长线交于 F，则图中相似三角形的对数是 5如图 5，在中，AD 是角 BAC 的平分线，AB=5cm,AC=4cm,BC=7cm,则ABC BD cm 6如图 6，EDFGBC，且 DE，FG 把 ABC 的面积分为相等的三部分

15、，若 BC=15，则 FG 的长为 7如图 7，已知矩形 ABCD 中，AEF=90，则下列结论一定正确的是 （1）ABFAEF （2）ABFCEF （3）CEFDAE （4）ADEAEF 8如图 8，在 RtABC 中，C=90，D 是 BC 中点，DEAB，垂足为 E，B=30，AE=7则 DE 的长为 9若一个梯形的中位线长为 15，一条对角线把中位线分成两条线段这两条线段的比是，则梯形的3:2上、下底长分别是_10如图 9，BD、CE 是的中线，P、Q 分别是 BD、CE 的中点，则= ABCV:PQ BC11如图 10，在中，ADBC 于 D，DEAB 于 E，DFAC 于 F求证：

16、ABC ACAFABAEAFEBCGD图 4ADECBFG图 6ABCDEF图 7DACBE图 8图 5图 912如图 11，在梯形 ABCD 中，ADBC，E，F 分别是 AB，CD 的中点求证：GH=（BCAD）2113已知：如图 12，中，D、E、F 分别在 AB、AC、BC 上，ABCABAC90BAC，且求证：（1）；（2）ACAE3113BDAB13CFBCEFBCADEEBC 随堂巩固练习（随堂巩固练习（2 2）1如图 1，AB=BC=CD，E=40，则ACD= 2如图 2，已知O 的切线 PC 与直径 BA 的延长线相交于点 P，C 是切点，过 A 的切线交 PC 于 D，如果

17、 CDPD=12，DA=2，那么O 的半径 OC= 3如图 3，ABC 内接于O，AD 切O 于 A，BAD=60，则ACB= 图 11BCDAEFGHABCDE图 1APDCOB图 2DBAC图 3图 10图 124如图 4，已知 AD=AB，ADB=350，则BOC 等于 BACOD图 45如图 5，ABCD 是O 的内接四边形，AC 平分BAD 并与 BD 交于 E 点，CF 切O 于 C 交 AD 延长线于 F，图中四个三角形：ACF；ABC；ABD；BEC，其中与 CDF 一定相似的是 6O 中，弦 AB 平分弦 CD 于点 E，若 CD=16，AEBE=31，则 AB= 7AB 是

18、O 的直径，OA=2.5，C 是圆上一点，CDAB，垂足为 D，且 CD=2，则 AC= 8如图 6，PAB 是O 的割线，AB=4，AP=5，O 的半径为 6，则 PO= 9半径为 5 的O 内有一点 A，OA=2，过点 A 的弦 CD 被 A 分成两部分，则 ACCD= 10如图 7，已知O 的半径 OB=5cm，弦 AB=6cm，D 是的中点，则弦 BD 的长度是 11设圆与圆的半径分别为 3 和 2，为两圆的交点，试求两圆的公共弦的长1O2O124OO ,A BAB度12如图 8，已知是的切线，为切点，是 的割线，与交于两点，圆心APOPACOOBC，在的内部，点是的中点OPACMBC

19、（1）证明四点共圆；APOM，（2）求的大小OAMAPM OABCDF图 5ABPO图 6图 7图 813如图 9，已知：C 是以 AB 为直径的半圆 O 上一点，CHAB 于点 H，直线 AC 与过 B 点的切线相交于点D，E 为 CH 中点，连接 AE 并延长交 BD 于点 F，直线 CF 交直线 AB 于点 G，（1）求证：点 F 是 BD 中点；（2）求证：CG 是O 的切线；（3）若 FB=FE=2，求O 的半径参考答案参考答案随堂巩固练习（随堂巩固练习（1 1）1103.35，55.65； 2:30mm，32mm，34mm； 32.1cm45 5 65 359cm67CEFDAE 8. 912，18 101：435711证明：ADBC，为直角三角形，又 DEAB，由射影定理知，ADB ABAEAD2同理可得，ACAFAD2ACAFABAE12证明：由条件得 EF 是梯形 ABCD 的中位线，则有 EFADBC，由平行线等分线段定理得AH=HC，BG=GD，FH=AD，FG=BC，GH=FGFH=（BCAD）21212113证明：设，则，。3ABACaAEBDa2CFa （1）又为公共角，故BACEFC，由得.3232,32232aaCACFaaCBCEC90BAC， 90EFCEFBC图 9 （2）由（1）得，2222 ,2222 2AEaADaEFaEFBF