复变函数与GIS

1、河北联合大学轻工学院复变函数与积分变换课程应用报告河北联合大学轻工学院复变函数与积分变换实验报告课程名称： 复变函数与积分变换 研究内容： 复变函数在GIS上的运用与地位 系 别： 自动化 专 业： 2011 级 班姓 名： 学 号： 开课时间： 2012 年 下学期指导教师： 赵文静一报告目的该论文主要研究复变函数在GIS专业上的作用和地位，通过复变函数发展简介和内容，我们认识到复变函数的发展史和学术地位，因为它运用广泛，作为当代大学生，我们应该明白它在学习中起到举足轻重的作用，从学习中的地位延伸到专业中的地位，从而了解他在GIS的运用，借助复变函数推出柯西黎曼曲面，进而导出复球面的紧性，得

2、出扩充复平面是紧的，得出结论，体会，心德和认识，最后对结论进行推导和运用。二所利用到的工具Matlab软件,地理信息系统三主要内容（一） 复变函数的发展简况与内容复变函数理论产生于十八世纪。1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。复变函数理论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。为复变函数理论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯。复变函数理论

3、不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。复变函数理论主要包括解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、积分和级数、广义解析函数等方面的内容。复变函数理论中用几何方法来说明、解决问题的内容，一般叫做几何函数论，复变函数可以通过共形映象理论为它的性质提供几何说明。导数处处不是零的解析函数所实现的映像就都是共形映象，共形映像也叫做保角变换。共形映象在流体力学、空气动力学、弹性理论、静电场理论等方面都得到了广泛的应用。留数理论是复变函数论中一个重要的理论。留数也叫做残数，它的定义比较复

4、杂。应用留数理论对于复变函数积分的计算比起线积分计算方便。计算实变函数定积分，可以化为复变函数沿闭回路曲线的积分后，再用留数基本定理化为被积分函数在闭合回路曲线内部孤立奇点上求留数的计算，当奇点是极点的时候，计算更加简洁。把单值解析函数的一些条件适当地改变和补充，以满足实际研究工作的需要，这种经过改变的解析函数叫做广义解析函数。广义解析函数所代表的几何图形的变化叫做拟保角变换。解析函数的一些基本性质，只要稍加改变后，同样适用于广义解析函数。广义解析函数的应用范围很广泛，不但应用在流体力学的研究方面，而且象薄壳理论这样的固体力学部门也在应用。（二） 复变函数在学习中的地位 在我们已经学习过的高等

5、数学课程中，研究的主要对象是实变函数。理论的探讨和生产实践的发展，又提出了对复变数的研究，而研究复变数之间的相互依赖关系，就是复变函数这门课程的主要任务。 由于我们是只上了大二，所以我们接触的专业课的知识并不是太多，并不太了解复变函数究竟在我们以后的学习中起到什么样的决定性作用，尽管如此，但我相信，学习此门课程在专业中一定起着举足轻重的作用，学习了复变函数，不但开拓了我们的视野，同时也助长了我们见解。从中我们能了解实数不一定能解决的问题，也许我们能在复数域茅塞顿开，复数中的定理和定义能解决一些复杂的函数。通过课程的学习，我们可以了解到，复数可以应用的现实中的数学建模，其在很多运算中都有者不可思

6、议的性质和规律。复数的引入为人们解决实数域和物理科学提供了许多新的途径，打开了很多原本无法畅通的道路，无论是神奇的留数，还是保角映射，都为人类在解决非复领域上的问题提供了全新的思路与方便。复变函数中的许多概念理论和方法是实变函数在复数领域内的推广和发展，因而他们有许多相似之处，我们在学习中，要勤奋思考，善于比较，既要注意共同点，又要弄清不同点。这样，才能抓住本质，融会贯通。学到心，用到表，充分体现复变函数在学习中的主导地位。（三） 复变函数在GIS上的运用复变函数论在应用方面，涉及的面很广，在数学、自然科学和工程技术有着广泛的运用，是解决流体力、学电磁学热、测绘学、学弹性理论中的平面问题的有力

7、工具，有很多复杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的；在地理信息中，我们可以用他来解决一些复杂计算和估算，空间数据大多都繁琐难算，大多用到复变函数来处理。比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。再比如，地球是椭圆并且非常的大，在我们研究地球的时候，就能用到复变函数来解决椭球面的问题。怎么样把复变函数运用到GIS上呢？现在我依柯西-黎曼曲面为论来探讨复变函数在地理信息系统中的运用，根据我们大一的时

8、候所学的测绘学概论，我才明白柯西-黎曼曲面是涉及大地测量、地理信息系统的一个基本问题，应用范围非常广泛。黎曼曲面理论是复变函数域和几何间的一座桥梁，能够使我们把比较深奥的函数的解析性质和几何联系起来。近来，关于黎曼曲面的研究还对另一门数学分支拓扑学有比较大的影响，逐渐地趋向于讨论它的拓扑性质。现在在三维空直角坐标系上做一个单位球面：x2+y2+z2=1,且称此单位球面或Riemann（黎曼）球面，在空间直角坐标系上，将Oxy平面看成复平面，将复数球面上的点(0,0,1)称为（北）极点N.复平面上的任一点x+iy与极点N切丁的直线与复球面有唯一的交点。让此交点与复平面上的点之间建立一一对应，成为

9、球极平面投影。这是一个拓扑映照，即双方连续的映照，故有复球面的紧性，得出扩充复平面的是紧的。我们来推导浮球面上的点（X,Y,Z）与对应的复平面上的点x+iy坐标间的对应关系式。因极点（0,0,1)和复平面上的点x+iy所确定的直线的参数方程为 (1-t)x,(1-t)y,t;-<t<为求直线与复球面的叫交点，将此参数方程代入球面方程，有(1-t)2x2+（1-t)2y2+t2=1得.这样我们得到的交点坐标为 , , 本题始终用表示复平面上的两点z,z、在复球面上对应的两点在R3度量下的距离。设在福球面上对应点为,则有, , 又 )因为 所以即称为球极平面投影距离公式。同理可得由球极

10、平面投影距离公式，不难直接看出对任两个非零复数z和w,有, 这样在扩充平面上按公式引入了二元实函数。满足度量条件，故它又被称为球极量度。下面验证关于度量的三角不等式。，由球极投影，依次对应球面上三点,则 在这个度量下，（成为度量空间。由度量所引起的开集系统与C做为拓扑空间在前面所引入的开集系统相一致。在本次研讨中，我们始终用B（a,r）表示在复平面上的以a为中心以r为半径的圆盘;用表示在扩充复平面C上以a为中心以r为球极半径的开球，即。由定义易得，故为在扩充复平面上的一个领域。结论：2 若且r>0，则存在正数使得；3 若且>0，则存在r>0,使得；4 若给定>0，则存在

11、一个紧集,使得;5 设紧集，则存在正数，使得K.总之，Riemann球面C在球面度量下是连通的完备的紧致的度量空间。对于地理信息系统来言，我们研究的范围大多都是虚拟的，是以空间为载体，用空间数据来体现的。如我们生活的家园地球，当我们研究其空间时，我们可以把他看作是一个球体，因为他所包括的范围是巨大的，我们不可能用简单的测量仪器就能得出其空间数据，除了仪器外，我们还需要其他辅助工具，而柯西-黎曼曲面为我们解决这一难题提供了理论依据，通过它我们能更精确的测量出空间数据，因此对学习地理信息系统的同学来说，它为我们更深层的探测空间信息提供了科学依据。四研究意义通过对上述课题的研究，让我理解到复变函数的

12、内涵，复变函数促进我们更多的了解和认识地理信息系统，从而更多的了解到他在专业中的作用，虽然我们现在并没接触到专业课，但我已经大致明白复变函数也许贯穿了我们整个学科，我从课研中发现，从小学初中高中到大学，我们时时刻刻都在和数打交道，从高等数学，概率论，线性代数到现在的复变函数，他们都会成为我们生活中的一部分，做我一个地理信息系统专业的学生，我更应该明白数对我们的作用，我相信复变函数能在我们专业起到举足轻重的作用，因为它以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分。它曾经推动过一些学科的发展，并且常常作为一个有力的工具被应用在实际问题中，它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程。现在，复变函数论中仍然有不少尚待研究的课题，所以它将继续向前发展，并将取得更多应用。人类在发展，中国在进步，在人类进步的同时，更需要先进的科学技术，而地理信息系统是一个高端科技，未来的几十年里，他也许会登上更高的台阶，为中国的建设创造巨大价值。五参考文献与书