山东省武城县实验中学九年级数学24.3《正多边形和圆》教案

1、.九年级数学24.3?正多边形和圆?复习教案【教学目的】1.复习正多边形和圆的有关概念及对称性；2.理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形；3.会进展正多边形的有关计算.【教学重难点】正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系【教学过程】要点梳理：要点一、正多边形的概念各边相等，各角也相等的多边形是正多边形要点诠释：判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：1各边相等；2各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形正方形是正多边形.要点二、正多边形的重要元素1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形正

2、多边形和圆的关系非常亲密，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆2.正多边形的有关概念1一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心2正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径3正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角4正多边形的中心到正多边形的一边的间隔 叫做正多边形的边心距3.正多边形的有关计算1正边形每一个内角的度数是；2正边形每个中心角的度数是；3正边形每个外角的度数是.要点诠释：要熟悉正多边形的根本概念和根本图形，将待解决的问题转化为直角三角形.要点三、正多边形的性质1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.2.

3、正边形的半径和边心距把正边形分成2个全等的直角三角形.3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数一样，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心. 4.边数一样的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆要点诠释：1各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；2各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形.要点四、正多边形的画法1.用量角器等分圆由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角即等分顶点在圆心的周角可以等分圆；根据

4、同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形.2.用尺规等分圆对于一些特殊的正边形，可以用圆规和直尺作图.正四、八边形.在O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形. 再逐次平分各边所对的弧即作AOB的平分线交于 E 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形.正六、三、十二边形的作法.通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以O的半径为半径画弧与O相交于C、D和E、F，那么A、C、E、B、F、D是O的6等分点. 显然，A、E、F或C、B、D是O的3等分点.同样，在图3中平分每条边

5、所对的弧，就可把O 12等分.要点诠释：画正n边形的方法：1将一个圆n等份，2顺次连结各等分点.【典型例题】类型一、正多边形的概念例1. 如下图，正五边形的对角线AC和BE相交于点M1求证：ACED；2求证：MEAE【解析与答案】 1正多边形必有外接圆，作出正五边形的外接O，那么的度数为， EAC的度数等于的度数的一半， EAC，同理，AED×72°×3108°， EAC+AED180°， EDAC2 EMA180AEBEAC72°， EAMEMA72°， EAEM【点评】辅助圆是特殊的辅助线，一般用得很少，当有共圆条件时可

6、作出辅助圆后利用圆的特殊性去解决直线型的问题要证ACED和MEAE，都可用角的关系去证，而假如作出正五边形的外接圆，那么用圆中角的关系去证比较容易例2.如图，正方形ABCD内接于O，E为DC的中点，直线BE交O于点F，假设O的半径为2，那么BF的长为 【答案】.【解析】解：连接BD，DF，过点C作CNBF于点F，正方形ABCD内接于O，O的半径为2，BD=22，AD=AB=BC=CD=2，E为DC的中点，CE=1，BE=5，CN×BE=EC×BC，CN×5=2，CN=25/5，BN=45/5，EN=BEBN=5/5，BD为O的直径，BFD=90°，CEN

7、DEF，EF=EN，BF=BE+EF=65/5，故答案为65/5【点评】此题主要考察了正多边形和圆以及勾股定理以及三角形面积等知识，根据圆周角定理得出正多边形边长是解题关键举一反三：【变式】同一个圆的内接正六边形和外切正六边形的周长的比等于A3：4 B：2 C2： D1：2【答案】B；【解析】设圆的半径为1，如图1，连接OA、OB过O作OGAB；六边形ABCDE为正六边形，AOB=60°；OA=OB，OGAB，AOG=30°，AG=OAsin30°=1×0.5=0.5，或由勾股定理求AB=2AG=2×0.5=1，C六边形ABCD=6AB=6如图

8、2连接OA、OB过O作OGAB；六边形ABCDE为正六边形，AOB=60°，OA=OB，OFAB，AOF=30°，AG=OGtan30°=，或由勾股定理求AB=2AG=2×=，C六边形ABCD=6AB=6×=4cm圆的内接正六边形和外切正六边形的周长的比=6：4=：2类型二、正多边形和圆的有关计算例3.如图，AG是正八边形ABCDEFGH的一条对角线1在剩余的顶点B、C、D、E、F、H中，连接两个顶点，使连接的线段与AG平行，并说明理由；2两边延长AB、CD、EF、GH，使延长线分别交于点P、Q、M、N，假设AB=2，求四边形PQMN的面积【答

9、案与解析】解：1连接BF，那么有BFAG理由如下：ABCDEFGH是正八边形，它的内角都为135°又HA=HG，1=22.5°，从而2=135°1=112.5°由于正八边形ABCDEFGH关于直线BF对称，即2+3=180°，故BFAG2根据题设可知PHA=PAH=45°，P=90°，同理可得Q=M=90°，四边形PQMN是矩形又PHA=PAH=QBC=QCB=MDE=MED=45°，AH=BC=DE，PAHQCBMDE，PA=QB=QC=MD即PQ=QM，故四边形PQMN是正方形在RtPAH中，PAH=

10、45°，AH=2，PA=【点评】此题主要考察了正多边形和圆以及全等三角形的断定与性质等知识，得出PQ的长是解题关键例4. 如图1所示，圆内接ABC中，ABBCCA，OD、OE为O的半径，ODBC于点F，OEAC于点G，求证：阴影部分四边形OFCG的面积是ABC的面积的其实,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是记忆有技巧,“死记之后会“活用。不记住那些根底知识,怎么会向高层次进军?尤其是语文学科涉猎的范围很广,要真正进步学生的写作程度,单靠分析文章的写作技巧是远远不够的,必须从根底知识抓起,每天挤一点时间让学生“死记名篇佳句、名言警句,以及丰富的词语、新颖的材料等。这样,就会在有限的时

11、间、空间里给学生的脑海里注入无限的内容。日积月累,积少成多,从而收到水滴石穿,绳锯木断的成效。 图1 【答案与解析】1连OA、OB、OC，如图2所示， 图2 那么OAOBOC，又ABBCCA OABOBCOCA，又ODBC于F，OEAC于G，由垂径定理得AGAC，FCBC， AGCF RtAOGRtCOF【点评】首先连接OC，根据垂径定理的知识，易证得RtOCGRtOCF，设OG=a，根据直角三角形的性质与等边三角形的知识，即可求得阴影部分四边形OFCG的面积与ABC的面积，继而求得答案举一反三：【变式】如以下图，假设DOE保持120°角度不变，求证：当DOE绕着O点旋转时，由两条半

12、径和ABC的两条边围成的图形，图中阴影部分的面积始终是ABC的面积的【答案】连接OA、OB、OC，由1知OABOBCOCA 12设OD交BC于F，OE交AC于G，那么AOC3+4120°，DOE5+4120°， 35在OAG和OCF中， OAGOCF课堂小结：正多边形的有关概念、正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系作业：导学案老师范读的是阅读教学中不可缺少的部分，我常采用范读，让幼儿学习、模拟。如领读，我读一句，让幼儿读一句，边读边记；第二通读，我大声读，我大声读，幼儿小声读，边学边仿；第三赏读，我借用录好配朗读磁带，一边放录音，一边幼儿反复倾听，在反复倾听中体验、

13、品味。课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。为什么?还是没有彻底“记死的缘故。要解决这个问题,方法很简单,每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一那么名言警句即可。可以写在后黑板的“积累专栏上每日一换,可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解,也可让学生个人搜集,每天往笔记本上抄写,老师定期检查等等。这样,一年就可记300多条成语、300多那么名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财富。这些成语典故“贮藏在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会随心所欲地“提取出来,使文章增色添辉。唐宋或更早之前，针对“经学“律学“算学和“书学各科目，其相应传授者称为“博士，这与当今“博士含义已经相去甚远。而对那些特别讲授“武事或讲解“经籍者，又称“讲师。“教授和