空间向量与立体几何20141

1、空间向量与立体几何一、知识梳理    1、空间向量及其运算      （1）空间向量的基本知识：           定义：空间向量的定义和平面向量一样，那些具有大小和方向的量叫做向量，并且仍用有向线段表示空间向量，且方向相同、长度相等的有向线段表示相同向量或相等的向量。           空间向量基本定理

2、：            定理：如果三个向量不共面，那么对于空间任一向量，存在唯一的有序实数组x、y、z，使。且把叫做空间的一个基底，都叫基向量。            正交基底：如果空间一个基底的三个基向量是两两相互垂直，那么这个基底叫正交基底。            

3、; 单位正交基底：当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称为单位正交基底，通常用表示。            空间四点共面：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间中任意一点P，都存在唯一的有序实数组x、y、z，使。         共线向量（平行向量）：           定义：如果表示空间向量的有向

4、线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作。  规定：零向量与任意向量共线；               共线向量定理：对空间任意两个向量平行的充要条件是：存在实数，使。                 共面向量：    &

5、#160;        定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量；空间的任意两个向量都是共面向量。            向量与平面平行：如果直线OA平行于平面或在内，则说向量平行于平面，记作。平行于同一平面的向量，也是共面向量。 共面向量定理：如果两个向量、不共线，则向量与向量、共面的充要条件是：存在实数对x、y，使。        

6、   空间的三个向量共面的条件：当、都是非零向量时，共面向量定理实际上也是、所在的三条直线共面的充要条件，但用于判定时，还需要证明其中一条直线上有一点在另两条直线所确定的平面内。           共面向量定理的推论：空间一点P在平面MAB内的充要条件是：存在有序实数对x、y，使得，或对于空间任意一定点O，有。        空间两向量的夹角：已知两个非零向量、，在空间任取一点O，作，（两个向量的起点一定

7、要相同），则叫做向量与的夹角，记作，且。两个向量的数量积：         定义：已知空间两个非零向量、，则叫做向量、的数量积，记作，即：。         规定：零向量与任一向量的数量积为0。         注意：两个向量的数量积也叫向量、的点积（或内积），它的结果是一个实数，它等于两向量的模与其夹角的余弦值。   

8、0;     数量积的几何意义：叫做向量在方向上的投影（其中为向量和的夹角）。即：数量积等于向量的模与向量在方向上的投影的乘积。         基本性质：。运算律：（2）空间向量的线性运算：       定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下：       加法： ； 减法：    

9、0;  数乘向量：       运算律：        加法交换律： ， 加法结合律：        数乘分配律：2、空间向量的坐标表示：     （1）空间直角坐标系：         空间直角坐标系O-xyz，在空间选定一点O和一个单位正交基底，以点O为原点，分别以

10、的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，点O叫做原点，向量叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面，yOz平面，zOx平面。        右手直角坐标系：右手握住z轴，当右手的四指从正向x轴以90°角度转向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向；     （2）空间向量的坐标表示：          已知空间直角坐

11、标系和向量，且设为坐标向量，由空间向量基本定理知存在唯一的有序实数组叫做向量在此直角坐标系中的坐标，记作         在空间直角坐标系O-xyz中，对于空间任一点A，对应一个向量，若，则有序数组(x，y，z)叫做点在此空间直角坐标系中的坐标，记为A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标， y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标，写点的坐标时，三个坐标间的顺序不能变。 规定：一切空间向量的起点都是坐标系原点，于是，空间任意一个向量与它的终点坐标一一对应。一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点

12、的坐标减去起点的坐标。 设，           则：   （3）空间向量的直角坐标运算： 空间两点间距离：；空间线段的中点M（x，y，z）的坐标：3空间向量的应用（1）空间线线、线面、面面位置关系的判定设直线l,m的方向向量分别为a,b，平面，的法向量分别为u,v,则线线平行：lm a b a=kb;线面平行：l au a·u=0;面面平行： u v u=kv.线线垂直：l m a b a·b=0;线面垂直：l a u a=ku;面面

13、垂直： u v u·v=0.（2）直线与平面所成角设直线的方向向量为,直线与平面所成的角为,平面的法向量为，直线与平面法向量的夹角为,则（3）平面与平面所成角二面角的两个半平面的法向量的夹角(或其补角)就是二面角的平面角的大小。设二面角的两个半平面的法向量分别为二面角的大小为，则 ，再根据图形确定取钝角或锐角。（4）点到平面的距离设为平面的法向量，是经过面的一条斜线，则点到平面的距离 。注：用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）（2）通过向量运算，研究点、直线、

14、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形问题）二、基础自测1、已知a=(2,4,5),b=(3,x,y),若ab, 则x= ,y= 。2、设A（3，3，1），B（1，0，5），C（0，1，0），AB的中点M，则3、若A，B，C，则ABC的形状是 。4、证明：三向量a=e1+e2,b=3e1-2e2,c=2e1+3e2共面。 E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D 三、典例精析 例1 如图，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB/CD，AB=4， BC=CD=2， AA=2， E、E、F分别是棱AD、AA、AB的中点（1）证明：直线EE/平面FCC；（2）求二面角B-FC-C的余弦值wwwks5ucom 例2如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，以的中点为球心、为直径的球面交于点（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成的角的正弦值；（3）求点到平面的距离四、总结提升五、 巩固练习1、点B是点A（1，2，3）在坐标平