基于Simulink的二阶控制系统时域仿真与分析

1、 学校代码密级学号分类号基于Simulink的二阶控制系统时域仿真与分析题 目（中、英文）Second-order Control System Time Domain Simulation and Analysis Based on Simulink 学科门类 指导教师提交论文日期成绩评定摘 要 自动控制时域分析方法是分析控制系统性能最有效的方法之一，是一种在时间域中对系统进行分析的方法，具有直接、准确的优点。但其分析过程的计算量较大、结果不易分析，并且系统分析结果提供的信息对下一步如何改造，综合自动控制系统是不够的。为了更加直观、准确和方便的分析自动控制系统的性能指标，可以利用Matlab

2、环境下的Simulink软件工具。只要建立好控制系统的模型，利用 Simulink软件就能够绘出控制系统输出响应的图形,就能够比较方便和准确的分析控制系统性能。本文较详细地介绍了自动控制系统时域分析方法，主要研究了使用Simulink软件在时域中对自动控制系统建模、仿真来进行时域分析，重点分析了二阶系统参数对时域响应性能的影响，而且应用Simulink软件研究改善系统时域响应性能的方法，为进一步提高控制系统性能和改造系统提供了有利的理论基础。关键词：Simulink；时域分析；二阶控制系统19AbstractThe automatic control time domain and simul

3、ation analysis method is one of the most effective methods in analyzing the performance of automatic control system. The method that is a direct analysis on time domain is frank and exact. But the method often involves in the massive complicated computation and its result is difficult to deal with.

4、The information provided by the result is not enough to rebuild and integrate control system. In order to analyze the system performances in more accurate, direct and convenient ways, Simulink under the Matlab environment can be used. As long as the model of a kind of control system is built, Simuli

5、nk can be utilized to plot figure of output results of the control system. The control system can be analyzed directly and correctly. The automatic control time domain analysis method is introduced in detail in the paper. How to use Simulink to build control system model and simulate in time domain

6、is studied. The relation of the parameters and performances of control system is determined. Simulink is executed to research how to improve the performances of automatic control system. The theory of increasing the performances of automatic control system and reconstructing control system is given.

7、Keywords: Simulink; Time domain analysis; Second-order control system目 录1 引言12 二阶控制系统的时域分析12.1 二阶控制系统数学模型12.2欠阻尼（0<<1）二阶系统的单位阶跃响应22.3无阻尼（=0）二阶系统的单位阶跃响应52.4临界阻尼（=1）二阶系统的单位阶跃响应52.5过阻尼（>1）二阶系统的单位阶跃响应63 Simulink软件的简介64 利用Simulink软件对二阶控制系统进行时域分析74.1 阻尼系数对二阶系统响应的影响74.2 开环参数K对二阶系统的影响95二阶系统性能的改善125

8、.1 测速反馈控制二阶系统125.2 比例-微分（PD）控制二阶系统145.3 测速反馈控制与比例-微分控制的比较166结论17参考文献18谢辞19 1 引言时域分析法是以拉普拉斯变换为工具，从传递函数出发，直接在时间域中对系统进行分析的方法，具有直观、准确的优点，并且可以提供系统时间响应的主要信息。但其分析过程的计算量较大，尤其对二阶系统及高阶控制系统。一般情况下，系统响应的解析结果所提供的信息对进一步改善系统性能，综合系统是不够的。随着计算机仿真技术的发展，尤其是Matlab/Simulink仿真软件的广泛应用，就可以弥补这一不足。使得控制系统分析过程的计算简单化，分析结果形象化，具体化，

9、并且为下一步如何改善、综合系统提供了有利的条件1。本文主要研究利用Simulink仿真软件在时域中对二阶自动控制系统进行建模、仿真和分析，重点讨论了二阶系统参数对时域响应性能的影响，并研究了改善系统时域响应性能的一些措施，对控制系统性能进行改善和提高提供一些理论依据。2 二阶系统的时域分析以二阶微分方程作为运动方程的控制系统，称为二阶系统。时域分析是通过直接求解系统在典型输入信号作用下的时域响应来分析系统多种性能的方法，通常是以系统阶跃响应的超调量、调整时间和稳态误差等性能指标来评价系统性能的优劣。典型时域分析主要针对一阶系统,二阶系统阶跃响应进行分析, 对于高阶系统可以根据对主导进行简化的思

10、想，把高阶系统转换为二阶系统或一阶系统进行分析。由于一阶系统进行时域比较简单，二阶控制系统在实际的典型应用极为普遍并且较为困难，因此着重研究二阶系统的分析和计算方法，具有较大的实际意义。下面介绍二阶控制系统单位阶跃响应分析。2.1 二阶控制系统数学模型标准形式二阶系统的结构如图1所示，其开环G(s)和闭环传递函数(s)为：图1 标准形式的二阶控制系统结构图 （2-1） （2-2）有时可将式（2-2）改写为： （2-3）式中，为无阻尼自由振荡角频率，简称固有频率；为阻尼系数；为系统振荡周期。 系统的特征方程为： （2-4）系统的特征根为： （2-5） 即二阶系统的两个闭环极点为： （2-6）在不

11、同阻尼比下两个闭环极点有不同的特征值，因此其对应时域输出响应也不同。2.2 欠阻尼（0<<1）二阶系统的单位阶跃响应 此时二阶系统特征方程的根为一对实部为负的共轭复根，即： （2-7） 二阶系统欠阻尼单位阶跃输出响应为： （2-8）式（2-8）中： 称阻尼振荡角频率，为衰减指数，为初相角。其概略输出响应曲线如图2所示：图2二阶系统欠阻尼时的单位阶跃响应图形二阶系统欠阻尼时的性能指标的求取3：（1）上升时间 即第一次到达稳态值（值为1）的时间： （2-9）即： （2-10） 由于第一次到达稳态值的时间取n=1，则 （2-11）（2）峰值时间tp对c(t)进行求导，导数等于0的最小时间

12、。即： （2-12） （2-13） 由于第一次达到的峰值取n=1,则 （2-14）（3）超调量% （2-15） （2-16） （4）调节时间 （2-17） （2-18）由于正弦项的绝对值总小于1，故上式可表示为： （2-19）即 （2-20）由于该式是单调下降的，取等号即可，故经化简可得： （2-21）在常用的范围（0.40.9）内，=0.0870.8。平均取0.5是合适的，故 （2-22） 可看出调节时间近似与 成反比关系。在设计系统时，通常由要求的最大调节量所决定，所以调节时间ts由自然振荡角频率所决定。也就是说，在不改变超调量的条件下，通过改变 的值可以改变调节时间。(5) 振荡次数m

13、振荡次数是指在调节时间ts内，c(t)波动的次数。根据这一定义可得振荡次数为: (2-23)式中 为阻尼振荡的周期时间。2.3 无阻尼（=0）二阶系统的单位阶跃响应=0时特征方程式的根为：，带入式（2-8）可求得其单位阶跃响应为： （2-24） 特征根和单位阶跃响应曲线如图3所示，是一种等幅振荡曲线，振荡角频率为。 图3 二阶系统无阻尼时的的特征根和单位阶跃响应曲线2.4 临界阻尼（=1）二阶系统的单位阶跃响应系统的特征方程式的根为：，其单位阶跃响应表达式为： （2-25）其特征根和单位阶跃响应曲线如图4所示。图4 临界阻尼二阶系统的特征根和单位阶跃响应曲线由图可见，=1时，阶跃响应开始进入无

14、超调状态，从这个意义上定义其临界。临界阻尼下的调节时间可以通过数值计算来获得。 （2-26）2.5 过阻尼（>1）二阶系统的单位阶跃响应 此时系统的特征根是两个不相等的负实数： （2-27） 令 （2-28） （2-29）则： （2-30）其单位阶跃响应表达式可表示为： （2-31）单位响应曲线示意图与图4相似，其相应仍是一个单调上升过程，但上升过程相比于临界阻尼曲线的上升过程要缓慢，无超调量，其调节时间ts可通过数值计算来确定，越大，即T1和T2越错开，ts越大。3 Simulink软件的简介Simulink是一个用来对动态系统进行建模、仿真和分析的软件包，它支持线性、非线性控制系统；

15、连续、离散及两者混合控制系统，单任务、多任务离散事件系统。Simulink能够提供一些按功能分类的基本系统模块，用户只需要知道这些模块的输入，输出及模块的功能，而不必考察模块内部是如何实现的，通过对这些基本模块的调用，再将它们连接起来就可以构成所需要的系统模型，进而进行仿真和分析。它为用户提供图形模型接口,与传统的仿真软件相比具有更直接方便,灵活的特点6,7,8。在Simulink提供的图形界面GUI上，只要进行鼠标的简单拖拉操作就能够构造出复杂的控制系统仿真模型。仿真模型外表以方块图形式呈现，并采用分层结构。能够通过Simulink环境中的菜单直接启动系统的仿真过程，并将结果在示波器上显示出

16、来。在Simulink环境中，用户可在仿真过程中改变感兴趣的参数，实时观察系统行为的变化。用Simulink创建的模型具有递阶结构,因此用户可以采用从上到下的结构建模型。用户可以从最高级开始观看模型,然后用鼠标双击其中子系统模块,来查看下一级的内容,以此类推,从而可以看到整个细节,帮助用户理解模型的结构和各模块之间的相互关系。在定义完一个模型后,用户可以通过Simulink的菜单或Matlab的命令窗口键入命令来对它进行仿真。Simulink环境可使用户摆脱深奥数学推算的压力和繁琐编程的困扰，在此环境中会产生浓厚的探索兴趣，引发活跃的思维9。4 利用Simulink软件对二阶控制系统进行时域分

17、析4.1 阻尼系数对二阶系统响应的影响从对二阶控制系统时域分析法性能指标的公式（2-11）、（2-14）和（2-22）可知，、和均与成反比，因此从对快速性的影响而言，越大则响应越快。当然，在一定程度上对快速性也有影响。一般而言，越小，快速性能越好，但由于在实际中允许变化的范围（一般为0.4到0.9）是有限的，因此对系统快速性的影响也是有限的10。 另一方面，唯一决定了的大小，也就是说，是决定系统相对稳定性的唯一因素，越大，越小；反之，越大。已知如图5所示的包含、的二阶控制系统，其开环传递函数为，其中=2，为阻尼比，绘制分别为0、0.2、0.4、0.6、0.9、1.25和3时其单位负反馈系统的单

18、位阶跃响应曲线（绘制在同一张图上）。图6是参数变化时在Simulink软件中所建立的二阶系统模型图，其输入信号为单位阶跃信号，图7是参数变化时的二阶系统单位阶跃响应曲线。图5 包含、参数的二阶系统系统框图图6 不同阻尼比时的二阶控制系统模型图图7 不同参数时时的二阶系统单位阶跃响应曲线图7中所示曲线最大振幅由大到小依次对应闭环参数=0、0.2、0.4、0.6、0.9、1.25、3时单位阶跃输出曲线。图中曲线幅值在1.5秒左右出现第一个峰值，曲线峰值越大其对应的值越小。从图中可以明显看出：（1）零阻尼（=0）时，单位阶跃响应（振幅最大蓝色曲线）为等幅振荡正弦曲线； （2）欠阻尼（0<<

19、;1）时，单位阶跃响应为振荡衰减的过程，且经过一定时间会达到设定值1。在为0.40.9的范围内，系统上升较快，而超调量又不太大，故在一般工程系统中，就选定在这个范围内。（3）过阻尼（>1）时，单位阶跃响应为单调上升，当越大则上升越慢，在时间足够大时，最后都会达到设定值1。（4）随着阻尼系数的增大峰值逐渐减小，超调量逐渐减小；上升时间和峰值时间增加。4.2 开环参数K对二阶系统的影响 对一般的二阶系统而言，通过适当的变换，其闭环传递函数可用式（4-1）表示，其中K为回路增益，通常是可调节的，T为时间常数，通常由受控对象的特性决定，一般是不可以改变的12。 （4-1）对比二阶系统的典型函数，

20、可设，即 （4-2） （4-3）由（4-2）式和（4-3）式可以得出：T越小，K不变，则越大，也越大，系统的快速性和相对稳定性同时转好。但在实际系统中，用T来改善系统性能的作用是有限的。另一方面，K越大，T不变，则越大，而越小，表明K对快速性和相对稳定性的影响是矛盾的。在实际系统中，应根据系统的要求进行适当折中选择。已知如图8所示包含T和K参数的二阶系统，其开环传递函数，其中T=1，绘制K分别为0.1、0.3、0.5、1、4、10、20、30，时其单位负反馈系统的单位阶跃响应曲线（绘制在同一张图上）。图9是K参数变化时在Simulink软件中所建立的二阶系统模型图，其输入信号为单位阶跃信号，图

21、10是K参数变化时的二阶系统单位阶跃响应曲线。图8 包含K和T参数的二阶控制系统框图图9 不同参数K时的二阶系统模型图图10 参数K变化时的二阶系统单位阶跃响应曲线图10中所示曲线最大振幅由大到小依次对应开环参数K=30、20、10、4、1、0.5、0.3、0.1时单位阶跃输出曲线。图中曲线幅值在0.5秒左右出现第一个峰值，曲线峰值越大其对应的K值越大。从图中可以明显看出：当T不变时，K值越大，根据公式（4-2）、（4-3）可知越大，越小，系统的上升时间tr、峰值时间tp同时变小，超调量增大，整个控制系统振荡加剧，系统稳定性变差。反之，K值太小，变小，过大，系统变成过阻尼系统，调节时间显着增长

22、，控制效果同样不好。当K值为0.5和1时，分别为0.7和0.5，系统调整时间较快，而超调量又不太大，故在一般工程系统中，K就选定在这个中间的这个折中范围左右，当然为了使系统时域响应达到又快又稳，必须采取相应的措施对控制系统进行改善。5 二阶系统性能的改善改善二阶系统性能的方法中，测速反馈控制和比例微分控制是两种常用的方法。 5.1 测速反馈控制二阶系统测速反馈控制又称为输出微分反馈，是在基本二阶控制系统的基础上，从输出向输入端引入附加的测速（微分）负反馈控制10，如图11所示。图11 测速反馈控制的二阶系统按K、T与、的关系，将原开环传递函数改写为： （5-1）式中，和是=0时原系统的固有频率

23、和阻尼系数。当不等于0时，由其闭环传递函数为： （5-2）加微分反馈后，系统的固有频率不变，而阻尼比提高。 （5-3）由于测速反馈可以在不改变快速性（值不变）的条件下增加阻尼系数，就会减小超调量从而提高系统的相对稳定性，因此实际中可通过提高K来进一步提高快速性，而用来保证必要的相对稳定性，即采用输出反馈，这样既可以提高系统的相对稳定系性，又可以提高其快速性11。已知一个如图 11所示的二阶系统，其开环传递函数，其中T=1，绘制分别为0、0.1、0.3、0.5、1时，测速反馈控制系统的单位阶跃响应曲线（绘制在同一张图上）。图12是参数变化时在Simulink软件中所建立的测速反馈控制的二阶系统模

24、型图，其输入信号为单位阶跃信号，图13是测速反馈控制二阶系统单位阶跃响应曲线。图12 测速反馈控制二阶系统不同参数时的模型图 图13 测速反馈控制二阶系统单位阶跃响应曲线图13中所示曲线最大振幅由大到小依次对应参数=0、0.1、0.3、0.5、1时单位阶跃输出曲线。图中曲线幅值在1.2秒左右出现第一个峰值，曲线峰值越大其对应的值越小。从图中可以明显看出：当不变时，如果值变大，根据公式（5-3）可知等效阻尼也同时增大。在0<<1时，系统的上升时间tr明显增大，而峰值时间tp缓慢增大，超调量显著减小（=0，%=60%；=0.1，%=35%；=0.3，%=10%），系统动态性能改善较多。

25、随着值进一步变大，就会出现 等效阻尼1，那么控制系统就变成过阻尼系统，调节时间显着增长，控制效果反而越来越差。从闭环参数和对系统的影响分析中，可以得出在阻尼比为0.40.9的范围内，系统上升较快，而超调量较小，因此选取值时，应保证等效阻尼在0.40.9的范围内，这样测速反馈控制二阶系统性能指标就会得到较大的改善和提高，从而系统具有良好控制性能。5.2 比例-微分(PD)控制二阶系统在基本系统的基础上，在前向通道中增加微分控制就构成了带比例微分控制的二阶系统11，如图14所示。图14 带比例微分控制的二阶系统其闭环传递函数为： （5-4） 由此可知，比例微分控制同样能实现在不改变的条件下提高系统

26、阻尼比 的效果，作用类似于输出微分反馈控制。但与输出反馈控制不同的是，在闭环传递函数中增加了一个零点z=- ，分析表明，相比于测速反馈控制，它的存在将使系统的上升速度加快，但超调量会有增加。已知一个如图 14所示的二阶系统，其开环传递函数，绘制分别为0、0.1、0.3、0.5、1时，比例微分反馈控制系统的单位阶跃响应曲线（绘制在同一张图上）。图15是参数变化时在Simulink软件中所建立的带有比例微分控制的二阶系统模型图，其输入信号为单位阶跃信号，图16时带比例微分控制二阶系统单位阶跃响应曲线。图15 参数变化时的带比例微分控制的二阶系统模型图图16 带比例微分控制的二阶系统单位阶跃响应曲线

27、图16中曲线幅值在1.1秒左右出现第一个峰值，曲线峰值越大其对应的值越小。系统仿真结果与输出微分反馈控制系统单位阶跃响应输出结果基本相同，从图中也可以看出：值变大，则等效阻尼也增大。在<1时，系统的上升时间tr显著变大，而峰值时间基本保持不变，超调量显著减小（=0，%=60%；=0.1，%=36%；=0.3，%=10%），系统相对稳定性改善较多。随着值进一步变大，就会出现 1，那么控制系统就变为阻尼系统，调节时间显著增长，控制效果反而越来越差。在选取值时，应保证等效阻尼在0.40.9的范围内，这样带输出反馈控制二阶系统性能指标就会得到较大的改善和提高，从而系统具有良好的控制性能。5.3

28、测速反馈控制与比例微分控制的比较 对于理想的线性控制系统，在比例微分控制和测速反馈控制方法中，可以任取其中一种方法来改善系统性能。然而，实际控制系统有许多必须考虑的因素，在此仅讨论几种主要的差别13：（1）附加阻尼来源：测速反馈控制的阻尼作用来源于系统输出端响应的速度，比例微分控制的阻尼作用产生于系统的输入端误差信号的速度。（2）使用环境：测速反馈控制对系统输入端噪声有滤波作用，同时测速发电机的输入信号能量水平较高，因此对系统组成组件没有过高的质量要求，使用场合比较广泛。比例微分控制对噪声有明显的放大作用，当系统输入端噪声严重时，一般不宜选用比例微分控制。同时，微分器的输入信号为系统误差信号，其能量水平低，需要相当大的放大作用，为了不明显恶化信噪比，要求选用高质量的放大器。（3）对开环增益和自然频率的影响：比例微分控制对系统的开环增益和自然频率均无影响；测速反馈控制虽不影响自然频率，但却会降低开环增益。因此，对于确定的常值稳态误差，测速反馈控制要求有较大的开环增益。开环增益的加大，必然导致系统自然频率的增大，在系统存在高频噪声时，可能引起系统共振。（4）对动态性能的影响：比例微分控制相当于在系统中加入实零点，可以加快上升时间。在相同阻尼比的条件下，比例微分控制系统的超调量会大于测速反馈控制系统的超调量。6 结论本文通过利用MATLAB环