数字图像处理 第7章_小波变换

1、第七章 频域处理 7.7 7.7 小波变换简介小波变换简介 7.7.1 小波变换的背景介绍小波变换的背景介绍第七章 频域处理 图图 像像 金金 字字 塔塔第七章 频域处理 第七章 频域处理 用哈尔基函数的离散小波变换用哈尔基函数的离散小波变换第七章 频域处理 7.7.2 小波变换的理论基础小波变换的理论基础 传统的傅立叶变换传统的傅立叶变换(FT)：提供了有关频率域的信息，但有：提供了有关频率域的信息，但有关时间（空间）的局部化信息却基本丢失。关时间（空间）的局部化信息却基本丢失。 小波变换小波变换(WT)：提供局部分析与细化的能力，可聚焦到：提供局部分析与细化的能力，可聚焦到分析对象的任意细

2、节分析对象的任意细节“数学显微镜数学显微镜“。第七章 频域处理 1. 连续小波变换连续小波变换(Continuous Wavelet Transform， CWT) 小波分析就是把一个信号分解为将母小波经过缩放和平移之小波分析就是把一个信号分解为将母小波经过缩放和平移之后的一系列小波，因此小波是小波变换的基函数。小波变换后的一系列小波，因此小波是小波变换的基函数。小波变换可以理解为用经过缩放和平移的一系列小波函数代替傅立叶可以理解为用经过缩放和平移的一系列小波函数代替傅立叶变换的正弦波和余弦波进行傅立叶变换的结果。变换的正弦波和余弦波进行傅立叶变换的结果。第七章 频域处理 波和小波波和小波波与

3、小波之间的差异波与小波之间的差异 上部两条曲线是频率不上部两条曲线是频率不同的余弦波，持续宽度同的余弦波，持续宽度相同。底下的两条是沿相同。底下的两条是沿着轴向频率和位置都不着轴向频率和位置都不相同的小波。最古老又相同的小波。最古老又最简单的小波最简单的小波 HaarHaar小小波波 ，它的基向量都是由它的基向量都是由一个函数通过平移和伸一个函数通过平移和伸缩来产生的。缩来产生的。 第七章 频域处理 生动的例子：生动的例子：小波和音乐小波和音乐乐谱可以看作描绘了一个二维的时频空间。频率乐谱可以看作描绘了一个二维的时频空间。频率( (音高音高) )从层次的底部向上从层次的底部向上增加，而时间增加

4、，而时间( (以节拍来测度以节拍来测度) )则向右发展。乐章中每一个音符都对应于一则向右发展。乐章中每一个音符都对应于一个将出现在这首歌的演出记录中的小波分量个将出现在这首歌的演出记录中的小波分量( (音调猝发音调猝发) )。每一个小波持续。每一个小波持续宽度都由音符宽度都由音符( (为四分之一音符、半音符等为四分之一音符、半音符等) )的类型来编码。的类型来编码。 分析一次所记录下的音乐演出并写出相应的乐谱，那么可以说我们分析一次所记录下的音乐演出并写出相应的乐谱，那么可以说我们得到一种小波变换。同样，音乐家一首歌的演奏录音就可看作是一得到一种小波变换。同样，音乐家一首歌的演奏录音就可看作是

5、一种小波逆变换，因为它是用时频表示来重构信号的。种小波逆变换，因为它是用时频表示来重构信号的。 第七章 频域处理 连续小波变换的定义连续小波变换的定义 ：dttpositionscaletfpositionscaleC),()(),( 该式表示小波变换是信号该式表示小波变换是信号f(x)与被缩放和平移的小波函数与被缩放和平移的小波函数()之积在信号存在的整个期间里求和的结果。之积在信号存在的整个期间里求和的结果。CWT的变换结果是许的变换结果是许多小波系数多小波系数C，这些系数是缩放因子（，这些系数是缩放因子（scale）和平移）和平移（positon）的函数。的函数。 第七章 频域处理 基本

6、小波函数基本小波函数()的缩放和平移操作含义如下：的缩放和平移操作含义如下： (1) 缩放缩放压缩或伸展基本小波，压缩或伸展基本小波， 缩放系数越小，缩放系数越小， 则小则小波越窄，如图所示。波越窄，如图所示。 小波的缩放操作小波的缩放操作 OOOf (t)f (t)f (t)tttf (t)(t)；scale1f (t)(2t)；scale0.5f (t)(4t)；scale0.25第七章 频域处理 (2) 平移平移小波的延迟或超前。在数学上，小波的延迟或超前。在数学上， 函数函数f(t)延迟延迟k的的表达式为表达式为f(t-k)，如图所示。如图所示。 小波的平移操作小波的平移操作(a) 小

7、波函数小波函数(t)； (b) 位移后的小波函数位移后的小波函数(t-k) Ot(t)Ot(t k)(a)(b)第七章 频域处理 CWT计算的主要步骤：计算的主要步骤： （1）取一个小波，）取一个小波， 将其与原始信号的开始一节进行比较。将其与原始信号的开始一节进行比较。 （2）计算数值）计算数值C， C表示小波与所取一节信号的相似程度，表示小波与所取一节信号的相似程度，计算结果取决于所选小波的形状。计算结果取决于所选小波的形状。 （3）向右移动小波，重复（）向右移动小波，重复（1）和（）和（2）,直至覆盖整个信号。直至覆盖整个信号。 （4）伸展小波，）伸展小波， 重复（重复（1）至（）至（3

8、）。）。 （5）对于所有缩放，重复（）对于所有缩放，重复（1）至（）至（4）。）。第七章 频域处理 计算系数值计算系数值C 原 始 信 号小 波 信 号C 0.0102第七章 频域处理 计算平移后系数值计算平移后系数值C 原始信号小波信号第七章 频域处理 计算尺度后系数值计算尺度后系数值C 原始信号小波信号C0.2247第七章 频域处理 小波的缩放因子与信号频率之间的关系是：缩放因子小波的缩放因子与信号频率之间的关系是：缩放因子scale越小，表示小波越窄，度量的是信号的细节变化，表示信号频越小，表示小波越窄，度量的是信号的细节变化，表示信号频率越高；缩放因子率越高；缩放因子scale越大，越

9、大， 表示小波越宽，度量的是信号的表示小波越宽，度量的是信号的粗糙程度，粗糙程度，表示信号频率越低。表示信号频率越低。 第七章 频域处理 2. 离散小波变换离散小波变换（ Discrete Wavelet Transform ，DWT） 如果缩放因子和平移参数都选择为如果缩放因子和平移参数都选择为2j（j0且为整数）的倍且为整数）的倍数，数， 即只选择部分缩放因子和平移参数来进行计算，会使分析即只选择部分缩放因子和平移参数来进行计算，会使分析的数据量大大减少。使用这样的缩放因子和平移参数的小波变的数据量大大减少。使用这样的缩放因子和平移参数的小波变换称为换称为双尺度小波变换双尺度小波变换（Dy

10、adic Wavelet Transform），它是），它是离离散小波变换散小波变换（Discrete Wavelet Transform， DWT）的一种形式。）的一种形式。通常离散小波变换就通常离散小波变换就是指双尺度小波变换。是指双尺度小波变换。 第七章 频域处理 离散小波变换的有效方法是使用滤波器，离散小波变换的有效方法是使用滤波器， 该方法是该方法是Mallat于于1988年提出的，称为年提出的，称为Mallat算法算法。 S表示原始的输入信号，表示原始的输入信号， 通过两个互补的滤波器组，通过两个互补的滤波器组， 其中其中一个滤波器为低通滤波器，通过该滤波器可得到信号的近似值一个滤

11、波器为低通滤波器，通过该滤波器可得到信号的近似值A（Approximations），另一个为高通滤波器，），另一个为高通滤波器， 通过该滤波器通过该滤波器可得到信号的细节值可得到信号的细节值D（Detail）。）。 第七章 频域处理 小波分解示意图小波分解示意图SAD滤波器组低通高通 在小波分析中，在小波分析中，近似值是大的缩放近似值是大的缩放因子计算的系数，因子计算的系数，表示信号的低频分表示信号的低频分量，而细节值是小量，而细节值是小的缩放因子计算的的缩放因子计算的系数，表示信号的系数，表示信号的高频分量。高频分量。第七章 频域处理 小波分解树（小波分解树（Wavelet Decompos

12、ition Tree） cA3cD3cA2cD2SLo_DHi_DA1D1Lo_DHi_DA2D2Lo_DHi_DA3D3Lo_D：低通滤波器；Hi_D：高通滤波器(a)ScA1cD1(b)(c)ScA1cD1cA2cD2cA3cD3第七章 频域处理 小波分解下采样示意图小波分解下采样示意图 SDA1000个采样点1000个采样点1000个采样点ScDcA1000个采样点约500个DWT系数约500个DWT系数第七章 频域处理 3. 小波重构（小波重构（Wavelet Reconstruction） 将信号的小波分解的分量进行处理后，一般还要根据需要将信号的小波分解的分量进行处理后，一般还要根

13、据需要把信号恢复出来，也就是利用信号的小波分解的系数还原出原把信号恢复出来，也就是利用信号的小波分解的系数还原出原始信号，这一过程称为小波重构（始信号，这一过程称为小波重构（Wavelet Reconstruction）或）或叫做小波合成（叫做小波合成（Wavelet Synthesis）。这一合成过程的数学运）。这一合成过程的数学运算叫做逆离散小波变换（算叫做逆离散小波变换（Inverse Discrete Wavelet Transform， IDWT）。）。 第七章 频域处理 小波重构算法示意图小波重构算法示意图 SHLHL第七章 频域处理 1）重构近似信号与细节信号）重构近似信号与细节

14、信号 由小波分解的近似系数和细节系数可以重构出原始信号。由小波分解的近似系数和细节系数可以重构出原始信号。同样，可由近似系数和细节系数分别重构出信号的近似值或细同样，可由近似系数和细节系数分别重构出信号的近似值或细节值，这时只要近似系数或细节系数置为零即可。节值，这时只要近似系数或细节系数置为零即可。 A1HL1000个样点0约500个0cA1约500个近似分量(a)D1HL1000个样点(b)约500个0约500个近似分量0cD1重构近似和细节信号示意重构近似和细节信号示意(a)重构近似信号；重构近似信号； (b) 重构细节信号重构细节信号 第七章 频域处理 2）多层重构）多层重构 重构出信

15、号的近似值重构出信号的近似值A1与细节值与细节值D1之后，则原信号可用之后，则原信号可用A1D1S重构出来。对应于信号的多层小波分解，小波的多层重构重构出来。对应于信号的多层小波分解，小波的多层重构如图所示。重构过程为：如图所示。重构过程为：A3D3=A2；A2D2=A1；A1+D1=S。 信号重构中，滤波器的选择非常重要，关系到能否重构出满意信号重构中，滤波器的选择非常重要，关系到能否重构出满意的原始信号。低通分解滤波器（的原始信号。低通分解滤波器（L）和高通分解滤波器（）和高通分解滤波器（H）及重）及重构滤波器组（构滤波器组（L和和H）构成一个系统，）构成一个系统， 这个系统称为这个系统称

16、为正交镜像滤正交镜像滤波器（波器（Quadrature Mirror Filters， QMF）系统。）系统。 第七章 频域处理 多层小波重构示意图多层小波重构示意图A3D3A2D2SA1D1第七章 频域处理 多层小波分解和重构示意图多层小波分解和重构示意图 S1000HL500250250DWT小波系数S1000LIDWTHHLLH第七章 频域处理 4. 小波包分析（小波包分析（Wavelet Packet ） 而小波包分析的细节与近似部分一样，也可以分解，对于而小波包分析的细节与近似部分一样，也可以分解，对于N层分解，它产生层分解，它产生2N个不同个不同的途径。的途径。AAA3DAA3AA

17、2SA1ADA3DDA3DA2AAD3DAD3AD2D1ADD3DDD3DD2小波包分解示意图小波包分解示意图 第七章 频域处理 小波包分解也可得到一个分解树，小波包分解也可得到一个分解树， 称其为小波包分解树称其为小波包分解树（Wavelet Packet Decomposition Tree），）， 这种树是一个完整这种树是一个完整的二叉树。小波包分解方法是小波分解的一般化，的二叉树。小波包分解方法是小波分解的一般化， 可为信号分可为信号分析析提供更丰富和更详细的信息。信号提供更丰富和更详细的信息。信号S可表示为可表示为AA2ADA3DDA3D1等。等。 第七章 频域处理 5. 二维离散小

18、波变换二维离散小波变换 二维离散小波变换是一维离散小波变换的推广，二维离散小波变换是一维离散小波变换的推广， 其实质上其实质上是将二维信号在不同尺度上的分解，是将二维信号在不同尺度上的分解， 得到原始信号的近似值和得到原始信号的近似值和细节值。由于信号是二维的，因此分解也是二维的。分解的结细节值。由于信号是二维的，因此分解也是二维的。分解的结果为：果为： 近似分量近似分量cA、 水平细节分量水平细节分量cH、 垂直细节分量垂直细节分量cV和和对角细节分量对角细节分量cD。第七章 频域处理 A(近似值)H(垂直细节)V(垂直细节)D(垂直细节)(a)A2H1V1D1(b)H2V2D2(c)第七章 频域处理 二维小波分解和重构过程示意图二维小波分解和重构过程示意图（a） 二维二维DWT； (b) 二维二维IDWT (b)Lo_R21Lo_R12Hi_R12行列列cAj1cHj1Hi_R21Lo_R12Hi_R12行列列cVj1cDj1cAjwkeepaLo_D21Lo_D12Hi_