均值不等式求最值的常用技巧

1、利用基本不等式求最值的常用技巧一.基本不等式的常用变形111. 若x0，贝V X+A2 （当且仅当x =1时取“=”；若x cO，则x + 兰2 （当且仅当Xx时取“=”若x式0 ,则X +丄启2即x +丄启2或x +丄兰-2 （当且仅当 时取“=”）xxx2. 若ab0,则a+P2 （当且仅当 时取“=”）b a若ab = 0，则a b +_ b aabab_2即卩2或-2baba（当且仅当时取“=”)1注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定植时，可 以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”（2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”二、利用

2、基本不等式求最值的技巧：技巧一：直接求：例1解:已知x, y R ，且满足-=1，则xy的最大值为3因为x0，y0，所以-y34（当且仅当二丄，即x=6，y=8时取等号-4），#于是.xy 1，xy 3.，故xy的最大值3.变式：若log4 x log4 y = 2，求1 丄的最小值.并求x,y的值x y解： log4x log4 y = 21111212x y x yxy 2-log 4 x 2即 xy=16当且仅当x=y时等号成立#技巧二：配凑项求5例2：已知I：，求函数y =4x - 2 1的最大值。4x 5解:x ：25 -4x 0,4厂4x2 4二55一4) 0得,令 t= b+1,

3、 1v tv 16, ab =2( t+ 严)+ 34v t + 学2 ： t 严/ abw 18当且仅当t = 4，即b = 3,a= 6时，等号成立。法二：由已知得：令u= ab 则 ab w 3 2,30 ab = a+ 2b - u2+ 2 2 u 30w 0,1 abw 18,. ya+ 2b 2 2 ab5.2 w U w 3 230 ab 2 2 ab点评：本题考查不等式 V ab (a,b R j的应用、不等式的解法及运算能力；2如何由已知不等式a a 2b 30 (a,bR )出发求得ab的范围，关键是寻找到a b 一 ab (a,b R )，这样将已知条件转换2为含ab的不

4、等式，进而解得 ab的范围. 变式：1.已知a0, b0, ab (a+ b) = 1,求a+ b的最小值。2若直角三角形周长为 1,求它的面积最大值。技巧八、取平方5、已知x, y为正实数，3x+ 2y= 10,求函数 W=, 3x + , 2y丨a+ b2 wa b与ab之间的关系，由此想到不等式解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系,的最值.2 2 a + b2 ，本题很简单.3x + , 2y w 一 2( . 3x ) 2 +( . 2y ) 2 = ,2 . 3x+ 2y = 2.5解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。W 0, W2 = 3x+ 2y+ 2 3x 2y = 10 + 2 . 3x . 2y w 10+ ( , 3x )2 ( , 2y )2 = 10 + (3x+ 2y) =20Ww 20 = 255变式:求函数y = 2xP亠,5二2x(1 : x :- 5)的最大值。2 2解析：注意到2x -1与5-2x的和为定值。y2 =(2x -1、5 2x)2 =4 2. (2x二 1)(5=2x) 4 (2x1)(5 - 2x) = 8又y .0,所以0 ： y乞2辽3_当且仅当”“亠，即二时取等号。故yma 2。评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值