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文档简介

1、线性代数考研辅导讲义5第五部分 特征值与特征向量、矩阵的对角化例1 设为三阶实对称矩阵,且,则的三个特征值为 1,1,1 .解 设为的特征值,则为惟一实特征值.例2 元素全为3的阶矩阵的个特征值为 .解 的特征多项式为.例3 设为的一个特征值,则有一个特征值为 .解 设为的一个特征值,则为的特征值.例4 设为三阶矩阵,其特征值为1,2,3,若与相似,则 .解 的特征值也是1,2,3, 的特征值为,即6,3,2;则.例5 设三阶矩阵有三个线性无关的特征向量,则 .解 有二个线性无关的特征向量,则得.例6 设三阶实对称矩阵有特征值,且是对应于的特征向量,则为( ).(A) (B) (C) (D)

2、解 选(A).例7 设为三阶矩阵的三个特征值,对应的特征向量为,令,则()(A) (B) (C) (D) 解 选(A).例8 设为阶对称矩阵, 为阶反对称矩阵,则下列矩阵中可用正交变换化成对角形的矩阵是( ).(A)ABA (B)BAB (C) (D) 解 BAB为对称矩阵.选(B).例9 已知三阶矩阵的特征值为,则下列命题中不正确的是()(A)A为不可逆矩阵 (B)A的主对角线元素之和为零(C)1与1所对应的特征向量相互正交 (D)Ax=0的基础解系仅一个向量解 选(C).例10 与矩阵相似的矩阵是( ).(A) (B) (C) (D) 解 只需判断时有两个线性无关的特征向量.选(D).例1

3、1 设为阶实对称矩阵,且,则的特征值为( ).(A)只取0 (B)只取1 (C)只取0,1 (D)只取解 得的特征值只能为0或1,由知,的特征值不能全为零也不能全为1(事实上:若为实对称矩阵,则的非零特征值的个数.可用实对称矩阵的对角化理论证明),从而选(C).例12 设都是非零向量,且.令,求:(1) ; (2) 的特征值与特征向量.解 (1) ;(2)设为的特征值,则,所以的特征值全为零.不妨设,解方程组,故基础解系为: ,则的对应于特征值的全部特征向量为,其中不全为零.例13 设为阶实矩阵,证明:如果,则可表示为,其中为正交矩阵, 为可逆对称矩阵.证 ,可逆,又,则与合同,则为正定矩阵,

4、则存在正交矩阵,使得,其中为的全部特征值.则,其中,显然为可逆对称矩阵,且也为对称矩阵.设,则为正交矩阵,所以.例14 设与相似,求:(1) 之值; (2)可逆矩阵,使得.解 (1) (2)略.例15 设是的特征向量,求.解 由.例16 设阶矩阵可交换,且的特征值不相同,证明:(1)存在可逆矩阵,使得均为对角矩阵;(2)必可写成的多项式.证 (1)存在可逆矩阵,使得,其中为的特征值.又,即,因为互不相等,所以也是对角矩阵(与对角矩阵可交换的矩阵只能是对角矩阵).(2)由于均为对角矩阵,则存在次多项式,使得.例17 设为阶实对称矩阵,求证:对充分大的是正定矩阵.证明 要点: 为对称矩阵,其特征值为,其中为的特征值.令大于的最小特征值,则.例18 设为三阶实对称矩阵,特征值为

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