基本不等式经典例题(学生用)_第1页
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1、基本不等式知识点:1.( 1)若 a,bR,则 a2b22ab2。(1)若 a,br*，则呼ab2 b2(2)若 a, b R，则 ab 一2b 2 . ab（当且仅当a b时取“（当且仅当a b时取“=”)=”)(3)若ai,b*R ,则aba b（当且仅当a b时取“=”)23。若x0,则1x 2 (当且仅当x1时取“=”）x若x0,则x -2（当且仅当x1时取“=")x若x0,则1lx 12即x 2或x丄-2 （当且仅当ab时取xxx2a » =”4。若 ab当且仅当b时取“="）若ab-2 (当且仅当ab时取“=")5。若 a, bR，则（）2C

2、22aL (当且仅当a b时取“=”2注意:（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大"（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用应用一：求最值例:求下列函数的值域(1 ) y = 3x 2 + 错误!(2)y = x+错误!技巧一：凑项已知x 5，求函数y 4x 2的最大值。44x 5技巧二:凑系数例：当0 < a < 4时，求yx（8 2x）的最大值。变式：设Ox,求函数y 4x(3 2x)的最大

3、值。技巧三：分离换元例：求yx2 7xx 1®(x1)的值域.技巧五：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，结合函数f(x)x a的单调性.x例：求函数y技巧六：整体代换(“ 1"的应用)多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。例：已知x190, y 0 ,且1，求x y的最小值.x y技巧七例：已知x,y为正实数，且x 2 +错误! = 1，求x错误!的最大值。技巧八：已知a, b为正实数，2b+ ab+ a = 30,求函数y=错误啲最小值。技巧九、取平方例：求函数y 2X 1 .5 ( x 5)的最大值.应用二:利用均值不等式证明不等式例：已知 a、b、c R，且 a b c 1求证：-1-1-1 8 a b c应用三：均值不等式与恒成立问题19例：已知x 0, y 0且1，求使不等式x y m恒成立的实数 m的取值范围。x y应用四：均值定理在比较大小中的应用：例若| 1a ba b

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