大二线性代数复习资料2

1、09级线性代数（A）阶段练习题（二）09级线性代数（A ）阶段练习题（二）一、填空题11.矩阵A = 31-3-1_1<4 ,则 R(A)=2.5-9-8 11-3-广广11-3-1、11 -3-1、解：A =3-1-340467:0 4-6-7J 5-9-8 ;4-6-7 ,00 0 0 ;R(A)=2 .广12-2'2. 设A= 4 t 3 , B为三阶非零矩阵，且 AB = O,则t = 3 .<3 -1 1 1解：A定非可逆阵，因此A = 432 -2t 3 =7t+21=0,二-1 1Page 1 of 1509级线性代数（A）阶段练习题（二）Page # of

2、1509级线性代数（A）阶段练习题（二）3. 若四阶矩阵A的秩R（A） =2,则R（A*） =0 .（见证明题5）4. 已知向量组, : 2 , : 3, ：-4线性无关，也2比3, ：2 =k2比41, -2, -3, -4线性相关.：3 =22 k3 比4, ：4 =k2 _23 必4 ,则当 k =2 时,解:：1 ,：2 , ：3 ,：4 1：1八23,4若矩阵K非奇，贝U匚“七，,广111<00k0102k10k-211,2,3,4 K ，线性无关.而1000k2k1k2k0k-210k-21110111K = 2(k _2) =0,>1, >2, ： 35.若向量

3、组线性无关，则向量组：1 2-2 3'3/'2 ' 233线性无关解:Page # of 1509级线性代数（A）阶段练习题（二）(1G1 2： 23： 3, ： 2 2*3 ,3)=(1 ,2 , - 3)0'03丿=1=0, K为非奇矩阵,故向量组- 2 2 3 3 2 2 3,3线性无关.6. 若向量组, : 2, : 3, ：-4线性无关,向量组1也2 , ： 2心3 , 叱4 , >4几勺Page 2 of 1509级线性代数（A）阶段练习题（二）Page # of 1509级线性代数（A）阶段练习题（二）线性相关.解:：2, ： 2P i-1/

4、'2 /'3/'40<0其中K100110=110011011001=1 -1 = 0 ,故向量组00111001>1 匕，>2 *33*4, >4 线性相关.7.向量组冷=(1, 1, 0) ：；2 二(2,0t, 1)3,2何5当）*时可由Page # of 1509级线性代数（A）阶段练习题（二）Page # of 1509级线性代数（A）阶段练习题（二）-1 , -'2线性表示.解：M, = 2线性无关,只有当向量组二，:-1, -2,-3线性相关时>3可由1, >2Page # of 1509级线性代数（A）阶段练习

5、题（二）Page # of 1509级线性代数（A）阶段练习题（二）a123:的基础解系为线性表示.此时3= 2- 5- 2t=0, t：28.线性方程组纠一 4X3, 6X4、3x2 +6x3 -9%解：对方程组的系数阵进行初等变换Page # of 1509级线性代数(A)阶段练习题(二)2 0 / 6广1 0 23、0 3 6912-3原方程组与$1=2冷-3X4同解，令X3取1和0，可得方程组的基础解 iX2 = 2x3+3x4亡4 /7；析 © =(2 -2 1 0$=(3 3 0 1 ).9.四元方程组Ax =b中R(A) =3，:-1-2, ： 3是它的三个解.其中广-

6、5(2'8 0务=(2, 0,3, 2)T,2a2 +3g3 =(5, 8,8, 4)T ,则方程组 Ax =b 的通解为 c +731一6丿 J解：R(A) =3，Ax =0存在基础解系(只有一个线性无关的解向量).A(2： 2 3： 3 -5： J =2A： 2 3A： 3 -5A：=2b 3b-5b=0估y808815-7e订0是Ax = 0的基础解系.2： 2 3： 3 -5： Ax二b的通解为c8-71一610.向量空间 V = x = (0, x2 ,xn)T|x2,人 R的维数是 n-1.、选择题1.下列矩阵中(C )是初等矩阵.*10 1"0 0 1 &quo

7、t;J 00 xJ 10"(A)0 2 0；(B)014;(C)01-4；(D)0 1 1,00 1,10 0,0012 0 1/a1b1a1b2a1b4 "2.设a0, b 式0, i=1,2, 3,4,矩阵 A =a2b1a2b2a?b3a?b4asda3b2a3b3a3b4<a4b1a4b2a4b3a4b4 丿，则矩阵A的秩 R(A)二(A )(A) 1;(B) 2;(C) 3;(D) 4fabs b4 , R(A) =1 .事实上A = " gas110001100011-1001-1 2 .因此应选(D).4.向量组：1 , ： 2 , ：'

8、;3 线性无关，1 -2,-：'3, -3(A)«1+ C(2S 十。3,口3 5,°4 W ;(B)%-«22-«3 ,«(C)«1+ a2,。2 +口3 ,a3 -«4,a4 a1 ;(DM+ a2 ,Ct 2+ ot3 ,G1001100-1100-11100=0,-1100=0,110001100-1100110001100-1100-113.向量组冷,：2 ,3 ,4线性无关，以下(D )组向量线性无关.=0, >44 _13 一4，4一1 ；Page 4 of 1509级线性代数(A)阶段练习题(二

9、)Page # of 1509级线性代数(A)阶段练习题(二)性无关，则',t满足(B).(A) '；. -t;(B) =t ;(C)黑=t =1;事实上(：1, ：23)=(1厂2厂3)-1lo0-t"10-t10,而-110=丸一t式0 ，-10-1Z(D) =2t .Page # of 1509级线性代数(A)阶段练习题(二)Page # of 1509级线性代数(A)阶段练习题(二)即'-t .故应选(B).，Z123'5.矩阵Q2 4 t , P为三阶非零矩阵且PQ=O,则有(C)& 69丿(A)t=6 时，R(P)=1;(B)t=6

10、 时，R(P)=2 ；(C)t = 6 时,R(P) =1 ; (D)t =6 时,R(P) =2广123、将矩阵P按列分块为卩=(口，0,),424 t , P O.当t = 6时<3 6巧R(Q) =1，R(P)可以是1,也可以是2. (A)、B)断言R(P) -1或R(P) =2并无依据.当t=6时，R(Q)=2 . Q的诸列均为Px=O的解，其一、三列线性无关，即Px =0有两个线性无关的非零解，当有 R(P)乞1 ;又因P = O ,又有R(P) _ 1 ,因此必有R(P) =1 选(C).6.齐次线性方程组 Ax = 0( A为m n矩阵)仅有零解的充分必要条件是(B) .(

11、A) A的列向量组线性相关；(B) A的列向量组线性无关(C) A的行向量组线性相关；(D) A的行向量组线性无关事实上(A)、(C)、(D)可能无解.捲2x2 +x3 + & =07. 齐次线性方程组< 2xxx3=0的基础解系中有()线性无2x + 4x? _ 2X3 _ 2 X4 = 03x _ 3x2 + X4 = 0关的解向量.(A) 一个；(B)两个；(C)三个；(D)四个广1-211、1-212-110033-24-2-2000<3-301丿<000两个线性无关的解向量，选(B).1亠,n =4,R(A)=2,因此基础解系中有 00丿8. 设有线性方程组

12、 Ax二b (1)和对应的齐次线性方程组Ax = 0 (2)则必有(B) .(A)若(1)有无穷多解则 仅有零解；(B)若(1仅有唯一解则 仅有零解；Page 6 of 1509级线性代数(A)阶段练习题(二)（C）若有非零解则 有无穷多解；（D）若仅有零解则 有唯一解9. 已知n元线性方程组Ax二b，系数阵的秩R（A）二n _2 ,2,3是方程组线性无关的解，则方程组的通解为（D） .（ g,C2为任意常数）（A） q（： 1 - ： 2）C2（： 2 ： J ： ! ； （B） q（： 1 - ： 3）9（： 2 ： 3）： 3 ；（C） q（： 2 -：3） 0（： 3 ： 2） ： 2

13、 ； （D） G（： 2 - ： 3）。2（： 2 -： 1）心3 10.由 R3 的基 12,1 到基十 1 - I3, >2 二 < '2 2 八 3 二 3 的 过渡矩阵为（D）1 1(A) 0-1J 3三、计算题1. 矩阵A二子式.解：Q2A =3<1<100<0由(*)知 R(A) =32. 给定向量:1 '* 110 '2;(D)-111-b2-b-1x<101 '-11;(B) 11-13;(C)11-2r11-2><01121 837 "2-307-5,求矩阵A的秩3 -2 5 8 0J0

14、 3 2 0写出A的一个最高阶非零1837 广10 32-307-501 2-1-25800-3 -630320丿<0-2 -420320 10 320A12-1701 2-100001600 0 0100014丿<00 0 00>.A的1,2,4行1,2,5列所在的三1： ：(1,2,3,1)t,：2=(3, -1,2,07-50(*)217子式2-3一5=16式0.1004)T,：3 = (T,2,1, 3)T,：4 =(-2,3,1,5几：5 =(2,1,5,4).(2)求该向量组的一个最大无关组解:(1)求向量组：'1，:很,：'3 , ：'4

15、 , >5的秩，并判断该向量组的线性相关性;广100<03-700-1400-27002 A-325(1-14-2由(*)0<00<0：3,：4,：5)=3,向量组线性相关.574700-11, 2,5(*)是向量组的广13-1-22、广13-1-22、2-12310-747-3321150-747-1-435化<0-7472,并把其余向量用最大无关组线性表示(：1, ： 2, ： 3, ： 4, >5)Page 8 of 1509级线性代数(A)阶段练习题(二)Page # of 1509级线性代数(A)阶段练习题(二)一个最大无关组，且有:：3 =71

16、一4 ： 2；： 4 = ： 123. 已知 =(1,0, 2,3)t, ： 2 =(1,1,3,5)t,二=(1,",a 2,1)t，：4 =(1,2,4, a 8)t, (1,1,b 3,5)t,(1) 当a,b为何值时，1不能表示为1八2,3,4的线性组合；(2) 当a, b为何值时，：有1,2,3,4的唯一线性表达式，写出该表达式.解：设 A = (C(1 ,口2 ,。3 ,°4),11111 、11111 '01-12101-121(aB) =23a+24b + 301a2b + 1<351a +85<02-2a + 52丿广102-10 &#

17、39;01-121*(*)00a +12b+1<000a+12 /(1)当 a =T,b = 0 时，R(A) = 2 = 3 二 R(A),方程组 Ax 二无解.故不能表示为冷，二2，二3,二4的线性组合. 当a = 一1时，R(A) =4 =R(A, J ,方程组Ax二卞有唯一解.由Cramer法贝U可得：捲 =一一b , x2 二-_b_1 , x3 = b , x4 = 0 此时： 有一4，: 2，3，-» 的唯 a +1a +1a +1一线性表达式：冉ba +b +1b1 2 3 a +1a +1a +1(2_2 13、4. 设A=,求一个4汉2矩阵B，使AB=O，且

18、R(B) = 2 .0-5 2 8,解：设: (2, -1,1, 3)t：'2= (9, -5,2,8)T, A二.J均为方程组Page 9 of 1509级线性代数(A)阶段练习题(二)Page # of 1509级线性代数(A)阶段练习题(二)Ax二0的解.(2 -2 13 A =2 -5 2 8 丿S-213'<1 3 一2 Vr10-85 11-21188118(*)x1与(*)对应的方程组为18x3x25118x3 8X4rx 2 心令3取1和0 ，得到方程组的基lx4丿2丿J丿础解系*g|,1,0)2十右汕厂显然1,2线性无关，令Page # of 1509级

19、线性代数(A)阶段练习题(二)Page # of 1509级线性代数(A)阶段练习题(二)B=12), R(B)二 R12)=2 ,且有 AB=O.5.向量组：1 , >2,s线性无关，齢八1 *22八2 *3，s *1, 试讨论向量组2,：s的线性相关性解:设有数匕也,ks使得k/1 k2 ks 0 ,即有：(K ks)：1 (k1 k2)： 2(ksks)： s = O 由于：'1, >2,：s线性无关，故必有Page # of 1509级线性代数(A)阶段练习题(二)Page 10 of 1509级线性代数(A)阶段练习题(二)R + ks = 0& +ks

20、=0凶 + ks = 0(*)方程组(*)的系数行列式100110D =011L00010012,当s为奇数当s为偶数当s为奇数时，D =2=0,方程组(*)只有零解，k1, k2,ks必全为零,向量组1，J，的线性无关；当s为偶数时，D =0 ,方程组(*)有非零解,即存在不全为零的数kk2,，ks使k! -1 k2- ks'0 ,向量组，,-s线性相关.2x1 -3x2 -2x3 x4 = 06.用基础解系表示方程组 3x1 5x2 4x3 -2x4 = 08x1 7x2 6x3 - 3& = 0的通解.解:对方程组的系数阵施行初等行变换2-3-21 2-3-21 354-

21、2:186-3<876-3卫1914-7丿f021186-3、119190114701147:191919191°000丿0000A =(*)101°(*)所对应的方程组为1卜221=X31919147X3x41919与原方程组同解令盒诗,1,©得到基础解系:1=(8-1906-140-370.原方Page 11 of 1509级线性代数（A）阶段练习题（二）程组的通解为：x = GO 2（ , c2为任意实数）.Page 12 of 1509级线性代数（A）阶段练习题（二）Page # of 1509级线性代数（A）阶段练习题（二）7.用对应的齐次方程组的

22、基础解析表示方程组| 人 2 x2 - x3 2 x4 = 12x-| 4x2 x3 x4 =5 的-x - 2 x? - 2 X3 X4 = -4通解.解:对方程组的增广矩阵施行初等行变换-52-311、1-52-311 '536-1-1*028-414-56、2421-6014-27-28>91广1-52-311107210111亠*0111-2(7272,0000000000(A,b)=*)Page # of 1509级线性代数（A）阶段练习题（二）Page # of 1509级线性代数（A）阶段练习题（二）由(*)知 R(A) =R( A,b) =2，方程组有解.Page

23、 # of 1509级线性代数（A）阶段练习题（二）Page # of 1509级线性代数（A）阶段练习题（二）91X3X4172 *,令11x3x4 2720A,得到方程组的特解Page # of 1509级线性代数（A）阶段练习题（二）Page # of 1509级线性代数（A）阶段练习题（二）I9*1*T珂1,-2,0, 0)Tx,X3X4.原方程组所对应的齐次方程组与7（*）所对应的方程组为 1同解令11X2X3X472Page # of 1509级线性代数（A）阶段练习题（二）Page 13 of 1509级线性代数（A）阶段练习题（二）f y X3取和0、&4丿6，得到对应

24、齐次方程组的基础解系9*7,1t17,1, 0)，2 =(2,0,1)TPage # of 1509级线性代数（A）阶段练习题（二）原方程组的通解为:X 二 * C, 1 C2 2（c , C2为任意实数）.Page # of 1509级线性代数（A）阶段练习题（二）Page # of 1509级线性代数（A）阶段练习题（二）8.给定线性方程组Page # of 1509级线性代数(A)阶段练习题(二)Page 14 of 1509级线性代数(A)阶段练习题(二)S +x2 _x3 _2沧=2Xi 5x? +2X3 +X4 = 12x +6x2 3x3 3x4 = a +111x2 +5x3

25、+4x4 = -4当a为何值时方程组有解？在有解的情况下，求其全部解.解:对方程组的增广矩阵施行初等行变换(A,b)=1-1-22 )1-521-1 -521-10 16-7-556-3-3a +10 16-7-5a + 3-11544丿0 -16 75-5f399A , 10 -21-1161616-7-55门755:01 -00a2161616000丿0000a-2<00000(*),方程组有解.(*)对应的方程组为2312-1-51600R(A) = R(A,b)二39X1 二X3X4161675X2 =X3X41616当a =2时,16516X3,得到方程组的特解9160)T与原

26、方程组对应的齐次方程组与x23x316 37X316£16 4£16取'1 '和I<0j同解，令得到对应齐次方程组的基础解系:原方程组的通解为:1 C2 2 (C1,C2 为任意实数).Page 15 of 1509级线性代数(A)阶段练习题(二)捲 +x2 +2x3 + 3& =19.当a,b取何值时，线性方程组+3"6冷7=3无解，有唯一解,3x x? ax3 * 15 X4 = 3X 5x2 IOX3 +12x4 =b有无穷多解？在方程组有无穷多解时，用对应的齐次方程组的基础解系表示方程 组的通解.解：对方程组的增广矩阵施行初等

27、行变换勺12 31、n1231136 13024-22(A,b) =3-a 153*0-6 60-1-4一a -J-5-10 12b><0-6-129b-1广11231、n0040、012-11012-110-4_a _66000-a + 224<0-6-129b_<0003b_(*)当a =2时，R(A)=R(A,b)，无论b取何值，方程组有唯一解50040、(*)=012_1100012<00000丿$0000120300012<00000当 a =2,b =1 时10040(*)=012-1 10001 2<0000 b-1此时 R(A) =3

28、式4=R(A,b),方程组无解当 a =2,b =1 时,片-8R( A) = R( A, b) =3 ： 4 ,方程组有无穷多解.此时原方程组与x? = 3 - 2x3同解,令比=2X3 =0 ,得到方程组的特解：二(-8, 3, 0, 2)t .与原方程组对应的齐次方程组与1 x<| = 0X2 2X3同解，令x3=1 ,可得基础解系：=(0, 一2,1, 0)T .X4 =°方程组的通解为：X二*(c为任意实数).10. 已知R3的两个基为1、£aQ、102 =003 =0及色=2,卩2 =3,P3 =4-1< 'JJ&求由基：1 , ：-

29、2'3到基的过渡矩阵P .解：设A =： 2, ： 3), B = (：2, ：3), A, B的列向量组是两个基,因此矩阵A, B均为可逆矩阵设('-1, ：2, -30 1, ： 2/ 3)P ,过渡矩阵P二AB 11 1 123n11123(A,B) =10 0 234011-1-1-11-1 1 1431。-20020>10 0234、100234:01 1-1-1-1*0100-10<00 2-20-2<001-10-1234、因此从基a 1/2,a3到基卩仆P P 厂2 , r3的过渡矩阵P=0_10.c10T四、证明题1. 设A为列满秩矩阵，AB二C ,证明线性方程Bx =0与Cx =0同解.证：若是Bx = 0的解，当有B丄0 ,于是 = A( BA0二0.这说明Bx =0的解必为Cx=0的解；若 是Cx=0的解，A(B)二C = 0,矩阵A列满 秩，由(P77定理4的逆否命题)方程组Ay =0只有零解，即B二y=0,说明Cx =0的解也是Bx =0的解，因此线