【概率论与数理统计经典计算题题2】期末复习题含答案

1、WORD格式概率论与数理统计 计算题含答案计算题1.一个盒子中装有6 只晶体管，其中 2 只是不合格品。现作不放回抽样，接连取2 次，每次随机地取 1 只，试求以下事件的概率： 12 只都是合格品；21只是合格品， 1 只是不合格品；3至少有 1 只是合格品。1-2,9-2.设甲，乙，丙三个工厂生产同一种产品，三个厂的产量分别占总产量的20%，30%，50%，而每个工厂的成品中的次品率分别为 5%，4%，2%，如果从全部成品中抽取一件， 1求抽取的产品是次品的概率； 2得到的是次品，求它依次是甲，乙，丙工厂生产的概率。设随机变量 X 的分布函数为1 (1 x)e x ,x0，试求： 1密度函数

2、3.F ( x)x00,f ( x) ；2 P( X1)， P(X2) 。14.二维随机变量 ( X ,Y) 只能取以下数组中的值：(0,0),(1,1),( 1, ),(2,0) ，且取这3些组值的概率分别为 1,1,1,5。求这二维随机变量分布律，并写出关于X 和312612关于 Y 的边缘分布律。5. 总经理的五位秘书中有两位精通英语，今偶遇其中的三位秘书，试求以下事件的概率： 1其中恰好有一位精通英语； 2其中恰好有两位精通英语； 3其中有人精通英语。6.某大型体育运动会有 1000 名运发动参加，其中有 100 人服用了违禁药品。在使用者中，假定有 90 人的药检呈阳性，而在未使用者

3、中也有 5 人检查为阳性。如果一个运发动的药检是阳性， 那么这名运发动确实使用违禁药品的概率是多少？7.设随机变量X 的密度函数为f (x)Ae | x| , xR ，试求： 1 常数A； 2P(0X1)。8. 设二维随机变量 (X， Y)的分布律为求： (1)(X， Y)关于 X 的边缘分布律； (2)X+Y的分布律9AB ， P(A)0.36， P(B)0.79，求P(A) , P(AB) ,P(BA) 。10设某工厂有甲、乙、丙三个车间，生产同一螺钉，各个车间的产量分别占总产量的 70%，10%，20%，成品中次品的百分比分别为 2%，3%，5%，求检测的次品，是甲车间生产的概率。专业资

4、料整理WORD格式1专业资料整理WORD格式确定常数 C ，使得P(Xk )2C(k0,1,2,3) 成为某个随机变量 X 的分布律，113k并求 P( X 1.2) 。12设X N(1,16), (0.5)0.6915,(1) 0.8413，求P(X3) 。13设球体的直径X服从(2,5)上的均匀分布 , 求体积Y的概率密度。14随机变量 (X,Y) 甲、乙两种情形的联合分布 :甲X14乙X Y14Y35/367/3631/121/467/3617/3661/45/12分别求出 X 、Y 的边缘分布，并根据结果说明联合分布与边缘分布的关系。15. 设随机变量 X ， Y 的联合分布如以下列图

5、，求以下随机变量的分布律：XY 123000.1010.30.2020.10.10.216.AB ， P( A)0.2 ， P( B)0.6 ，求 P( A+B) , P( AB) ， P( AB) 。17. 设某工厂有甲、乙、丙三个车间，生产同一零件，各个车间的产量分别占总产量的 10%，50%，40%，成品中次品的百分比分别为 4%，2%，3%，求检测为次品，是丙车间生产的概率。18. 确定常数 C ，使得P( Xk)Ck(k 0,1,2,3)成为某个随机变量X的分布律，2并求 P( X2.5) 。19. 设随机变量 X ， Y 的联合分布如以下列图，求以下随机变量的分布律：Y X-104

6、-20.10.2010.20.10专业资料整理WORD格式2专业资料整理WORD格式1X2Y,2X.20.10.10.2Y20. 设X N ( 1,4),(0.5)0.6915,(1.5)0.9332 ，求P( X2) 。21.设 AB , P( A)0.4, P(B)0.6, 求： 1 P(A),P(B),(2)P(AB),(3)P(AB)22. 袋子中有 5 个同样大小的球，编号为 1，2，3，4，5。从中同时取出 3 个球，记 X 为取出的球的最大编号，求 X 的分布率。23. 某种产品分别由甲、乙、丙三厂生产，甲厂产量占 50%，次品率为 0.01，乙厂产量占 30%，次品率为 0.0

7、2，丙厂产量占 20%，次品率为 0.05，求：（ 1该产品的次品率；（ 2假设任取一件，该件是次品，求这件次品来自甲厂的概率。24. 设连续型随机变量X 的分布函数为F ( x)AB arctan *求： 1常数 A 和 B； 2 X 落入 -1 ， 1的概率； 3 X 的密度函数f (x)25.设 A, B 是两个事件，P( A)0.5 ， P(B)0.7 ， P( AB)0.8 ，试求P( AB) 及 P(BA).26. 发报台分别以概率 0.6， 0.4 发出信号 " " " 和 " " ，由于通信受到干扰，当发出 "&quo

8、t; " 时，分别以概率 0.8 和 0.2 收到 "" " 和 " " ，同样，当发出信号 " " 时，收报台分别以 0.9 和 0.1 的概率收到 " " 和。求 (1) 收报台收到信号 " " " 的概率； (2) 当收到 " " " 时，发出 "" " 的概率。27. 某商店经销商品的利润率a(1x),0 x 1X 的密度函数为 f ( x)，0,其他求 1常数a； 2 D(X)28. 设随机变量X

9、, Y独立同分布， 且X : B(1,1) ，记随机变量ZXY，求Z的4分布律29袋内放有 2 个伍分的， 3 个贰分的和 5 个壹分的钱币，任取其中5 个，求钱额总数超过一角的概率。专业资料整理WORD格式3专业资料整理WORD格式30某人有一笔资金，他投入基金的概率为 0.58，购置股票的概率为 0.28，两项投资都做的概率为 0.19 ，求：（ 1他已投入基金，再购置股票的概率是多少？（ 2他已购置股票，再投入基金的概率是多少？31 1 班有 6 名男生， 4 名女生； 2 班有 8 名男生， 6 名女生。求以下事件的概率：（ 1随机抽 1 个班，再从该班中随机选一学生，该生是男生；（

10、2合并两个班，从中随机选一学生，该生是男生。32设某公路上经过的货车与客车的数量之比为 2 :1，货车中途停车修理的概率为 0.02 ，客车为 0.01。今有一辆汽车中途停车修理，求该汽车是货车的概率。33一口袋有 6 个球，在这 6 个球上分别标有 -3，-3，1，1，1，2 这样的数字。从这袋中任取一球， 设各个球被取到的可能性一样， 求取得的球上标明的数字 X 的分布律与分布函数。34设随机变量X的分布函数为F ( x)0x0 ，求：1 (1x)e xx01P( X 1)，2P(X 2)，3 X 的密度函数。35某人上班所需的时间X : N (30,100)单位： min ,上班时间为8

11、：30，他每天 7：50 出门，求：1某天迟到的概率；2一周以 5 天计最多迟到一次的概率。36国际市场每年对我国某种出口商品的需求量是一个随机变量，它在2000，4000单位： t上服从均匀分布。假设每售出一吨，可获得外汇 3 万美元，假设销售不出而积压， 那么每吨需保养费 1 万美元。问应组织多少货源， 才能使平均收益最大。37. 假定某工厂甲，乙，丙3 个车间生产同一种螺钉，产量依次占全厂的45%,35%,20% 。假设各车间的次品率依次为4%,2%,5% ，现在从待出厂产品中检查出 1 个次品，试判断它是由丙车间生产的概率。38甲 ,乙两名射手在一次射击中得分 (分别用 , 表示 )的

12、分布律如表 1,表 2 所示 . 试比较甲乙两射手的技术 .专业资料整理WORD格式4专业资料整理WORD格式39两个相互独立的事件 A 与 B ， A 与 B 都不发生的概率为1， A发生 B不发9生的概率与 A 不发生 B 发生的概率相等，求P( A), P( B)。40设二维随机变量( X ,Y)的联合密度函数为ke (3 x 4 y) , x 0, y 0f ( x, y)，0其他求(1)系数 k ；2P(0 X 1,0 Y 2)；3证明 X 与 Y 相互独立。41某地抽样调查结果说明，考生的外语成绩百分制X 服从正态分布N (72,2 ) ，且96分以上的考生占考生总数的2.3% ，

13、试求考生的外语成绩在 60至 84 分之间的概率。(1) 0.8413, (2) 0.977242国际市场每年对我国某种出口商品的需求量是一个随机变量，它在2000，4000单位： t上服从均匀分布。假设每售出一吨，可获得外汇 3 万美元，假设销售不出而积压， 那么每吨需保养费 1 万美元。问应组织多少货源， 才能使平均收益最大。x ,0x2;43. 设随机变量 X 的概率密度为f (x)20,其他 .试求：1E(X ), D(X )；2D(23X ) ；3P 0X1 。四、综合题专业资料整理WORD格式5专业资料整理WORD格式1.设随机变量 X ,Y 独立同分布，且X : B(1,1)，

14、1记随机变量 ZX Y，求Z4的分布律；记随机变量 Umax(X , Y) ，求 U 的分布律。2某商店经销商品的利润率X的密度函数为2(1 x),0 x1，求 E(X ) ，2.f ( x)其他0,D(X)。3.某人上班路上所需时间X : N (30,100) 单位： min，上班时间是8:30，他每天 7:50 出门，求：1某天迟到的概率；2一周 (以 5 天计 )最多迟到一次的概率。4. 设随机变量X的分布函数是0,x1,0.3,1x0,F ( x) 0.5,0x1,0.71x2,1,x2.(1) 求随机变量X的分布律 ; (2)假设随机变量 YX2,求EY。5. 甲乙两艘轮船都要在某个

15、泊位停靠 6 小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达，试求这两艘船至少有一艘在停靠泊位时需要等待的概率。6.设随机变量 X , Y 的联合分布如右表且 X ,Y 相互独立，求 a, b 的值 .X012Y11/61/181/931/3ab7. 二维随机变量 ( X, Y) 联合分布律为 1求数a；Y X124 2证明：X与Y不相互独立。-11/243/242/2402/24a4/2422/243/241/248. 一个均匀的正四面体， 其第一面染成红色， 第二面染成白色， 第三面染成黑色，而第四面同时染上红、白、黑三种颜色 . 现以A,B,C分别记投一次四面体出现专业资料整理WORD格式6

16、专业资料整理WORD格式红、白、黑颜色朝下的事件，证明：A, B, C 两两独立，而A, B,C 不相互独立。e x, 0y x,9-.设二维随机变量(X , Y)的概率密度为 f ( x, y)其他,0,求 :(1)随机变量 X 的边缘概率密度 ;(2)概率 PX+Y1。10. 司机通过某高速路收费站等候的时间 X单位：分钟服从参数为 = 1的指5数分布 . 1求某司机在此收费站等候时间超过 10 分钟的概率 p； 2假设该司机一个月要经过此收费站两次，用 Y 表示等候时间超过 10 分钟的次数，写出 Y 的分布律，并求 PY 1.五、证明题1.设A, B为任意随机事件，证明：P(A U B

17、)P(A)P(B)P( AB) 。2.某次大型体育运动会有 1000 名运发动参加，其中有 100 人服用了违禁药物。在使用者中，假定有 90 人的药物检查呈阳性，而未使用者中也有 5 人检验结果呈阳性。试证明：如果一个运发动的药物检查结果是阳性， 那么这名运发动确实使用违禁药品的概率超过 90%。3.假设事件 A, B独立，证明事件A, B独立。4e 2( x y) ,x0, y04.设二维随机变量X， Y具有密度函数f (x, y)0,其他证明： X 与 Y 是否相互独立。5设随机变量XN (0,1) ，(x) 是其分布函数，证明(x)1(x) 。6.设事件 AB 发生，那么事件 C 一定

18、发生，证明 P( A)P(B)P(C)1 。7.假设随机变量 X 服从 N(,2)，试证YX服从 N(0,1) 。六、分析题1. 随机抽样谢村和杨村的半年收入分别如下万元 ：X1000000Y510203035P1/51/51/51/51/5P1/51/51/51/51/5试用数学期望、方差、中位数，说明两个村的富裕程度。2. 8 分随机变量 (X,Y) 甲、乙两种情形的联合分布:专业资料整理WORD格式7专业资料整理WORD格式X Y25X Y2521/31/621/41/451/61/351/41/4分别求出 X 、Y 的边缘分布，并根据结果说明联合分布与边缘分布的关系。3. 随机抽样谢村

19、和杨村的月收入分别如下万元 ：X500000Y28101218P1/51/51/51/51/5P1/51/51/51/51/5试用数学期望、方差、中位数，说明两个村的富裕程度。七、应用题1. 设顾客在某银行的窗口等待效劳的时间单位：min服从1 的指数分布，51 x01 e 5 , x，某顾客在窗口等待效劳，假设超过10min，他其密度函数为 f ( x)50,其他就离开。（ 1设某顾客某天去银行，求他未等到效劳就离开的概率；（ 2设某顾客一个月要去银行五次，求他五次中只有一次未等到效劳的概率。2. 某保险公司开办一年人身保险业务，被保险人每年需交付保险费160 元，假设一年内发生重大人身事故

20、， 其本人或家属可获 2 万元赔金，该市人员一年内发生生大人身事故的概率为 0.005假设每人发生事故是相互独立的 ，现有 5000 人参加此项保险， 求保险公司一年内从此项业务所得到的总收益在 20 万元到 40 万元的概率是多少？(注：(0.25)0.5987,(0.45)0.6736,(0.75)0.7734,(1.0025)0.84193. 设随机变量 X 服从参数1 的指数分布，即X E(1) ，现在对X进展3次独立观测，求：1X的观测值大于 1 的概率；2至少有 2 次观测值大于 1 的概率4. 对于一个学生而言， 来参加家长会的家长人数是一个随机变量。 设一个学生无家长、 1 名

21、家长、2 名家长来参加会议的概率分别为0.05， 0.75，0.2。假设学校共有 1000 名学生， 设各学生参加会议的家长数相互独立，且服从同一分布，求有 1 名家长来参加会议的学生数不多于 777 的概率 .专业资料整理WORD格式8专业资料整理WORD格式注：(0.25)0.5987,(0.45)0.6736,(0.75)0.7734,(1.97)0.9756. 三、计算题1、解：设 A 表示取到的都是合格品，那么P(A)C422C625设 B 表示取到的一个合格品一个次品，那么P(B)2!C41C218C6215设 C 表示至少有是一个合格品，那么P(C)P( A)P(B)281451

22、5152、解： 设 A，B， C 表示产品来自甲乙丙三个工厂，D 表示抽到次品，那么有以下概率P( A) 0.2, P( B)0.3, P(C )0.5 P(D | A)0.05, P( D | B)0.04, P(D | C)0.02由全概率公式，得P(D)0.20.050.3 0.040.50.020.032由贝叶斯公式，得0.20.055P(B|D)0.30.0460.50.035P(A|D)160.03216P(C | D)0.032160.0323、解： 1f (x)xe x x0F (x)x00专业资料整理WORD格式9专业资料整理WORD格式 2P( X1)1P( X1)12F(

23、1)，1e 3P(X 2)F (2)1(113e22)2e专业资料整理WORD格式4、解：由可得联合分布律为：Y1X01X3P11-1061210001021154312专业资料整理WORD格式352121Y013专业资料整理WORD格式P5、解：设A 表示恰好有一位精通英语，那么1154312C21C323P( A)5C53专业资料整理WORD格式设 B 表示恰好有 2 位精通英语，那么C31C223P(B)C5310设 C 表示有人精通英语，那么P(C)P( A) P( B)339510106、解： 设 A 表示服用违禁药，B 表示检查呈阳性，那么有以下概率51P( A)0.1,P( B

24、| A)0.9, P( B | A)900180由全概率公式，得119P(B) 0.1 0.9 0.9200180由贝叶斯公式，得0.10.918P(A | B)191920017、解： 1Q 1f (x)dx0AexdxAe xdx 2AA021 1112P(0 X 1)ex0 2dx(1 )2e8、解：由可得X 的边缘分布律为：X01P0.60.4由可得X+Y的分布律为X+Y1012专业资料整理WORD格式10专业资料整理WORD格式P0.20.20.50.19.解：(1)P(A) 1 P( A)10.360.64 ，.(2) P( A B)P()0，P(B A)P( B) P( A)0.

25、43 。10.解：设事件A, B, C 分别为甲乙丙车间生产的产品，事件D 次品，由全概率公式得：P(D)P(A)P(D | A)P(B)P(D | B) P(C)P(D | C)0.70.020.10.030.20.05=2.7%由贝叶斯公式得：P(A D)P( AD)P( A)P(D A)14P(D)P(D)271111)1 ，那么C2711. 解：由条件得：2C (3927；1272 (11)80且 P(X1.2)= P( X0) P(X1)0.9 .80312. 解：P( X3)1P( X3)1P(3X 3)1P(31X 131)1(1)( 0.5) 1(1) 1(0.5) 0.467

26、244413. 解：由于直径 X 服从2,5上均匀分布,所以其概率密度函数为fX ( x)1 , x 2,53.0,其它而两随机变量有 y1 x3，那么其反函数为x h( y) ( 6 )1/3 y1/3，6且其导数的绝对值为h' ( y) = (2 )1/3y 2/3 ，9由性质得 Y 的概率密度fY ( y)1 (6)1/3 , y 4,125 9y2360,其它14. 解：情形甲、乙中， X、 Y 的边缘分布都分别为：X36Y14P1/32/3P1/32/3专业资料整理WORD格式11专业资料整理WORD格式甲、乙两种情形的联合分布不同，但 X、Y 的边缘分布却一样，因此他们的关

27、系是：联合分布决定边缘分布，但边缘分布不能决定联合分布。15. 解 : ( X , Y ) 的分布律列出下表：P00.100.30.200.10.10.2(X,Y)(0,1)(0,2)(0,3)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)X-Y-1-2-30-1-210-1XY000123246所以， 1X Y的分布律为：X-Y-3-2-101P00.10.40.40.12XY的分布律为：XY012346P0.10.30.300.10.216. 解：因为 A B(1) P( A+B) P( B) 0.6 ，(2)P( AB)P()0 ，P( AB)=P(BA)P(B)P( A)

28、0.4 。17.解：设事件A, B, C 分别为甲乙丙车间生产的产品，事件D 次品 ，由全概率公式得：P(D )P( A)P(D | A)P(B) P( D | B)P(C)P(D | C)0.1 0.040.5 0.020.40.03=2.6%由贝叶斯公式得：P(CD)P(C )P( DC )6P(C D)P(D)13P(D )18. 解：由条件得：C (1111 )1 ，那么C8；124815且 P( X 2.5)1 P(X3)1 解: ( X ,Y) 的分布律 , 列出下表：P0.10.20.10.20.10.1000.2(X,Y)(-1,-2)(-1,1)(-

29、1,2)(0,-2)(0,1)(0,2)(4,-2)(4,1)(4,2)2X+Y-4-10-2126910X/Y1/2-1-1/2000-242(4 分 )所以， 1X 2Y的分布律为：X+2Y-4-2-10126910专业资料整理WORD格式12专业资料整理WORD格式P0.10.20.20.10.10.1000.22XY 的分布律为：X/Y-2-1-1/201/224P00.20.10.40.10.2020. 解：P(X 2)1P(X 2)1P(2X 2)1P(21X121)2221(1.5)(0.5)1(1.5)1(0.5)0.375321.解：1 P( A)1- P( A)1- 0.4

30、0.6P(B)1- P( B)1- 0.60.4(2)P( AB)P( B)0.6(3)P( AB)P(B - A)P(B) - P( BA)P(B) - P( A) 0.6 - 0.40.222.解：PX311,PX4C323,PX5C426 ,C5310C5310C5310于是 X 的分布律为X345解：用 B 表示产品是次品， A表示甲厂的产品， A 表示乙厂的产品， A 表示丙厂的产品。1231P(B) P(A1)P(B | A1) P( A2)P(B | A2) P( A3)P(B | A3)0.50.010.30.020.20.050.021。2P(A1B

31、)P(A1B)P(A1)P(B A1)0.50.01P(B)P(B)0.02124% ，解：(1) 由F()0， F ()1有：A2B01124.解之有： A， BA2B12(2) P(1 X1)F (1)F (1)1(3)f ( x)F ( x)12(1x2 )25. 解： 因为P( AB)P( A)P( B)P( AB) ，所以 P( AB)P( A)P(B)P( AB)0.50.7 0.80.4于是， P( AB)P( AAB )P( A)P( AB)0.50.40.1专业资料整理WORD格式13专业资料整理WORD格式P(BA)P(BAB)P(B)P(AB)0.70.40.3 .26.

32、 解： 记B收到信号"""，A发出信号"""(1) P( B)P( A)P( B | A)P( A) P(B | A)0.60.80.40.10.480.040.52(2)P( A)P(B | A) 0.60.812P(A|B)P( B)0.52.1327. 解：(1)Qf (x)dx1a(1x)dxa(x1x2 ) |101a1a 2022(2)E(X)xf ( x)dx12x(1 x)dx 2( 1 x21 x3 ) |1010233E( X2 )2x2(1 x)dx 2( 1 x31 x4 ) |10110346D(X)2-21

33、121XE(X)=6-=3828. 解：由题可以得 X,Y 的分布列为X10X10P1/43/4P1/43/4Z 的可能取值为0,1,2 ，且 X 与 Y 相互独立，所以专业资料整理WORD格式P(Z=0)=P(X=0 ， Y=0)= P(X=0)P(Y=0)=3394416专业资料整理WORD格式P(Z=1)=P(X=0 ， Y=1)+ P(X=1 ， Y=0)= P(X=0)P(Y=1)+ P(X=1)P(Y=0)=31316444416P(Z=2)=P(X=1 ， Y=1)= P(X=1)P(Y=1)=1114416分布律为：X012P9/166/161/1629解：设A=取5个钱币钱额

34、超过壹角，于是有n C105。由题意可知，当取两个 5 分币，其余的三个可以任取，其种数为：C22C33C22C32C51C22C31C52C22C53C22C83而当取一个5 分币， 2 分币至少要取2 个，其种数为：C12C33C51C12C32C52因此有利于事件A 的根本领件总数：专业资料整理WORD格式14专业资料整理WORD格式m C22C83 C12 C33C51 C12C32C52 126故1261P( A)2C10530解：记A 某人的资金投入基金， B某人的资金投入股票，则 PA=0.58 ，P B =0.28 ，PAB=0.191B AB0.19；A = P0.327P

35、A0.58P AB0.19 2 A =P。PB B0.280.678P31解：1 记B该生是男生 ， A1取自1班 ，A2取自2班，PB A1= 6，P B A2=8，1014所以 ， P(B)P( Ai )P(B Ai161841)1021470。2（ 2PB=14 724 1232解：记B中途停车修理 ，A1=货车 ，A2客车，那么 B BA1UBA2。APBA1由贝叶斯公式有A =P1P 1BAPBA1+PA PBA2P1220.022310.8 。0.020.013333. 解：依题意 X 可能取的值为-3，1，2，那么PX=-3= 1，P X=11，P X=21326312X的分布律为 X: 111，326专