学习课件第十八章chap18第3节

1、Gauss公式与Stoks公式§18.3Gauss公式定理3.1¶P¶Q¶RòòòV+()dxdydz= òò¶x¶y¶z+ RdxdyS其中 S 取外侧. 此式称为公式.分析¶RòòòVòòSdxdydz =Rdxdy只证?¶z¶R.òòò± òò RdxdyDxydxdydz¶z.Dxy平行于 z 轴且通过 Dxy的内点的直

2、线与V 的边界相交不多于两点证先设V是一个xy型区域, 即其边界曲面 S由曲面S1 : z = z1 ( x, y), ( x, y) Î Dxy ,S2 : z = z2 ( x, y), ( x, y) Î DxyzS2及垂直于D的边界的柱面Sxy3, 其中 z1 ( x, y) £ z2 ( x, y),S1 , S2 , S3的侧与S的侧一致.VS3S1yo的计算法有:x根据三重Dxy¶R¶Rz ( x , y )òòòòòòdy =2dxdydz¶z¶zz

3、1 ( x , y )VDxy= òòR x, y, z2 ( x, y) - R x, y, z1 ( x, y)dxdyDxy= òò R x, y, z2 ( x, y)dxdy - òò R x, y, z1 ( x, y)dxdyDxyDxy= òò R( x, y, z)dxdy + òò R( x, y, z)dxdyS2S1= òò R( x, y, z)dxdy + òò R( x, y, z)dxdyS2S1+ òò

4、 R( x, y, z)dxdyS3¶Ròòòòòdxdydz =Rdxdy即得¶zVS对于不是 xy 型区域的情形,可用有限个光滑曲面将它分割成若干个xy 型区域来讨论.类似, 分别考虑yz, zx型区域, 得到另外两个关系式成立,故¶P¶Q¶RòòòVòòS+)dV =+ Rdxdy.(¶x¶y¶zGauss公式的实质表达了空间闭区域上的三重与其之间的关系.边界曲面上的曲面使用Gauss公式时应注意:(反例见思考

5、题)z3yo11P = ( y - z) x, Q = 0, R = x -x y.解¶P = y - z,¶Q = 0,¶R = 0.¶x¶y¶z原式 = òòò ( y - z)dxdydz(利用柱面坐标得)Vq- z)rdz = - 9p .p213òòò=qdrd(r sin2000空间曲面在 xoy 面上的投影域为 Dxy解不是封闭曲面,曲面 S为利用公式z补充 S1 : z = h,( x 2 + y 2 £ h2 ).S1取上侧，S + S1围成空间区

6、域 V , 由封闭曲面，公式,× hS1òò ( x 2 cosa+ y2 cosb+ z 2 cosg)dSS + S1SyDxyo= 2òòò ( x + y + z)dV = 2òòò zdVxVVhx2 + y2= 2òò dxdyòDxyzdz= ( x, y) | x 2 + y 2 £ h2 .其中 Dxy= òò (h2 - x 2 - y2 )dxdy = 1ph4 .2DxyQòò ( x2 cosa+ y

7、2 cosb+ z 2 cosg)dS = òò z 2dSS1S1= òò h2dxdy = ph4 .Dxy为故所求òò ( x 2 cosa+ y2 cosb+ z 2 cosg)dS = - 1 ph4 .2Sx - 1 dydz + y - 2 dzdx + z - 3 dxdy,òò例3 计算r 3r 3r 3S为长方S其中 r =( x - 1)2 + ( y - 2)2 + (z - 3)2 ,体V = ( x, y, z) | x |£ 2,| y |£ 3,| z |

8、3; 4的表面并取外侧.分析:Gauss公式?1请出去?r 3解取充分大的R > 0,作球面S: ( x - 1)2 + ( y - 2)2+ (z - 3)2 = R2 ,使得 S 包含在 S的内部,并取S的侧为外侧.¶P = r 2- 3( x - 1)2¶Q- 3( y - 2)2r 2=,¶x¶yr 5- 3(z - 3)2r 5¶R = r 2,¶zr 5在 S 和S围成的区域上满足Gauss公式的条件,x - 1 dydz + y - 2 dzdx + z - 3 dxdyòò所以r 3r 3r

9、3Sx - 1 dydz + y - 2 dzdx + z - 3 dxdyòòS-S= -r 3r 3r 3x - 1 dydz + y - 2 dzdx + z - 3 dxdyòò+r 3r 3r 3Sx - 1 dydz + y - 2 dzdx + z - 3 dxdyòòSòò= 0 +r 3r 3r 31=( x - 1)dydz + ( y - 2)dzdx + (z - 3)dxdyR3S= 4p.计算A = òò xdydz + ydzdx + zdxdySS = ( x,

10、y, z) : x, y, z ³ 0, x + y + z = 1,法向量与(1,1,1)同.例4解补上三个坐标面上的三角形,得到一个四面体.由于每个坐标面上 xdydz + ydzdx + zdxdy = 0,所以A = òò xdydz + ydzdx + zdxdy = 3òòò ds= 12¶WW利用Gauss 公式, 可以通过第二型 曲面的体积.来表示闭曲面所围成的DV = 1 òò xdydz + ydzdx + zdxdy.3 ¶V计算 òò ( y2 - x

11、)dydz + (z2 - y)dzdx + ( x2 - z)dxdy例5S其中S是曲面 z = 2 - x2 - y2 (1 £ z £ 2)的上侧z解记S : z = 1 , x2 + y2 £ 1取下侧0W:S+ S0所围成的闭区域由Gaussz = 1公式得oòòS+ Rdxdyyxòò- òò=+ RdxdyS+S0S0其中P =òò- x,Q = z2 - y, R = x2 - zy2+ Rdxdy(S+ S0取外侧)S+S0= òòò(-

12、1 - 1 - 1)dv= -3 ×体积W而柱体的体积（用柱坐标）2-r 22p2p11p2V = òòò dvWò rdz = ò dqò (1 - r 2 )rdr = ò dqò dr00001或用先重后单法22pV = ò dzòòdxdy= pò (2 - z)dz = 21x2 + y2£2-z1而òò( y2 - x)dydz + (z2 - y)dzdx + ( x2 - z)dxdyS0= òò (

13、 x2 - z)dxdy= -òò ( x2 - 1)dxdyS0D= -1 òò ( x2 + y2 )ds- òò ds2DD1 2p1= 3p= -ò dqò r 2 × rdr -p2400p23p = - 9p故原式 = -3 ×-44(Stokes)公式1. 双侧曲面的侧与其边界 曲线的方向设 S 为双侧曲面, G 为其边界曲线,则 S 的侧和 G的方向之间满足 右手法则.n在 S 取定的侧, 取一代表法向量 n,若右手大拇指指向 n 的方向,则四指所指的方向就是 G的方向.SG2.

14、公式定理3.2 设 S 为光滑的双侧曲面 ,其边界曲线 G是按段光滑的连续曲线.若函数 P, Q, R 在 S(连同G)上连续, 且有连续的一阶偏导数 ,则¶R¶Q¶P¶R¶Q¶PòòS-)dydz + (-)dzdx + (-()dxdy¶y¶z¶z¶x¶x¶y= ò Pdx + Qdy + RdzG其中 S 的侧和 G的方向满足右手法则.¶P¶PòòSò分析:dzdx -dxdy =只证

15、82;z¶yG¶PÑòCP( x, y, z( x, y)dxòòScosbdS¶z¶¶y- òòDxyP x, y, z( x, y)dxdy¶P cosbòò ¶zcosgcosgdSS¶P¶y¶P ¶z¶z ¶yòòS-+()dxdy¶P¶Pòòòdzdx -dxdy =证先证¶z¶yGS设曲

16、面S由方程 z = z( x, y),( x, y) Î Dxy 确定,z且取上侧为 S 的侧,有向曲线C是G在xy 平面上的投影,S : z = f ( x, y)nG易见 C是Dxy的边界线,方向为正向.yoDxyCx设 C 的参数方程为 : x = x(t ), y = y(t ),a£ t £ b.则 òG P( x, y, z)dx = òG P( x, y, z( x, y)dx= òa P( x(t ), y(t ), z( x(t ), y(t )dtb¶¶yP( x, y, z( x, y)dx

17、= -òò= òP x, y, z( x, y)dxdyCDxy¶P¶y¶P ¶z¶z ¶y¶P¶y¶P ¶z¶z ¶yòòòòS= -+= -+()dxdy()dxdyDxy¶P¶Pòò-dzdxdxdy而¶z¶yS¶P cosb¶P¶PòòS=cosgcosgdSòòS

18、42;ò=cosbdS -dxdy¶z¶z¶yS¶P cosb¶P¶Pòòòò=-òòcosg dxdy¶y dxdy-dxdy¶z¶ySSS(- ¶z ,- ¶z ,1)1(cosa,cosb,cosg) =D¶P¶xdxdy¶y¶P ¶zòòSòòS= -dxdy¶z ¶y¶y¶P&#

19、182;Pòòòdzdx -dxdy =所以¶z¶yGS若曲面S不能由 z = z( x, y)给出, 则可用一些光滑的曲线将之分割为若干小块, 每一小块满足要求.类似的,¶Q¶QòòSòdxdy -dydz =Q( x, y, z)dy,¶x¶R¶z¶RGòòòdydz -dzdx =R( x, y, z)dz,¶y¶xGS加在一起, 可见公式成立.便于记忆形式dydz¶dzdx¶dx

20、dy¶òòS= òPdx + Qdy + Rdz¶x P¶y Q¶z RG第一型曲面的形式cosa¶cosb¶cosg¶òòSdS = òPdx + Qdy + Rdz¶x P¶y Q¶z RG其中n = cosa,cosb,cosg.Stokes 公式的实质表达了有向曲面上的曲面与其边界曲线上的曲线之间的关系.当 S为 xy 平面内的区域时,特殊情形使用Stokes 公式时,也要注意条件.公式公式3. 简单应用z1n按公式,有解

21、42;G zdx + xdy + ydzy0Dxy1= òò dydz + dzdx + dxdyS1x由于S的法向量的三个再由对称性知：弦都为正，òò dydz + dzdx + dxdy = 3òò dxdyy1SDxyDxy如图Dxy= 3òGzdx + xdy + ydzx2o1zn解SGoy1rn =则x1,1,131cosa= cosb= cosg =,即31x + y = 3112Dxy3¶¶x3¶¶y3¶¶zx + y = 12 I = ò

22、òSdS- z 2- x2- y2y2z 2x24(Q 在S上x + y + z = 3)òò ( x + y + z)dSS= -3423dxdy = - 9 .× 3 òò dS = -2òòDxy3= -232S空间曲线与路径无关性通区域1.空间如果V 内任一封闭曲线皆可以不经过V外的点而连续收缩于 V 内的一点, 则称V 为通区域.否则, 称为复连通区域.通区域 :球体,复连通区域 :环状区域.2.与路径无关定理定理3.3 设WÌ R3是空间通区域. 若P,Q, R在W上连续, 且有一阶连续偏导数

23、,条件等价 :则以下四个沿W内任一按段光滑封闭曲线L, 有òL Pdx + Qdy + Rdz = 0;在W内òL Pdx + Qdy + Rdz与路径无关;(1)(2)在W内(3)在W内, ¶P º ¶Q ,¶Q º ¶R ,¶R º ¶P .(4)¶y¶x¶z¶y¶x¶z证明:略(1) W的注:(2)通性质很重要.定理的两个条件都满足时,才可用.(3)与路径无关的条件下, 求数u时,曲线 .在选用平行于坐标面的折线作为例8

24、验证曲线òG ( y + z)dx + (z + x)dy + ( x + y)dz与路径无关, 并求被积表数u( x, y, z ).的解由于P = y + z,Q = z + x, R = x + y,¶P = ¶Q = ¶Q = ¶R = ¶R = ¶P = 1,¶y¶x¶z¶y¶x¶z与路径无关.所以曲线z如图:取从点 M 0 ( x0 , y0 , z0 )到MM ( x, y, z)的折线为路径.oM0y即M( x, y, z)0000M1xM ( x,

25、 y, z)M2M( x, y, z)100M 2 ( x, y, z0 )于是u( x, y, z) = òM M ( y + z)dx + (z + x)dy + ( x + y)dz0xyzòòò=( y0 + z)dx +(z0 + x)dy +( x + y)dz0xyz000= xy + xz + yz + c其中c = - x0 y0 - x0 z0 - y0 z0为一常数,若取M 0为原点, 则得 u( x, y, z) = xy + xz + yz.思考题xò(z - y + e x )dx +计算曲线+ y 2+ z 2x

26、2Gzy(- x + z)dy + ( x + y +)dz+ y2 + z 2x 2+ y2 + z 2x 2其中G为从点(1,0,0)到点(0,1,0)的有向曲线.R3 (0,0,0)1 - e确定函数 f ( x), F( x) 满足 f (0) = F(0)补例与路径无关.使得曲线ìFy + ( x2 - f ( x) yù dx + f ( x) y + F( x)dy + zdzüé( x)2ò2íêëýúûL îþF(x)2y +(x - f (x)

27、y,Q= f (x) y+F(x),，P=R= z解22¶P = ¶= ¶R , ¶R = ¶P¶y¶x¶z¶y¶x¶zf ¢( x) y + F¢( x) = F( x) y + x2ì f ¢( x) = F( x)- f ( x)íî¢F ( x) =x - f ( x)2F( x) = -c1 sin x + c2 cos x + 2xf ( x) = c cos x + c sin x + x2- 212f (0) = F(0),L例计算òAmB ( x2- yz)dx + ( y2 - xz)dy + (z2 - xy)dz曲线是从A(a,0,0)到B(a,0,h)沿螺线其中hx=acosj,y=asinj, z =j上的路径.2pòòò