第四章中值定理

1、第四章微分中值定理与导数应用第一节微分中值定理教学目的：理解并会用罗尔定理、 拉格朗日中值定理， 了解柯西中值定理和泰勒中值定理。教学重点： 罗尔定理、拉格朗日中值定理。教学难点： 罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用。教学内容：一、罗尔定理1. 罗尔定理几何意义 ：对于在 a,b 上每一点都有不垂直于x 轴的切线，且两端点的连线与x 轴平行的不间断的曲线f (x) 来说，至少存在一点C，使得其切线平行于x 轴。yCyf ( x)ABoa12bx从图中可以看出： 符合条件的点出现在最大值和最小值点，由此得到启发证明罗尔定理。为应用方便，先介绍费马（Fermat）引理费马引理设函数f (x) 在点x

2、0 的某邻域 U ( x0) 内有定义并且在x0 处可导如果对任意 x U(x0 )有0(或 f (x) f (x0 ) )那么 f ' (x0 )0f (x) f (x )证明：不妨设x U(x0 )时， f ( x)f (x0 ) （若 f (x)f ( x0 ) ，可以类似地证明）.于是对于 x0xU (x0 ) ,有 f (x0x)f (x0) , 从而当x0 时 ,f (x0x) f (x0)x0 时 ,f ( x0x)f ( x0 )x0;而当x0;根据函数 f (x) 在 x0处可导及极限的保号性的得''(x0 )f (x0x)f (x0)f (x0 )f

3、limx0x0f ' (x0)f '( x0 )lim f (x0x)f (x0) 0x0x所以f'(0) 0,证毕 .x定义导数等于零的点称为函数的驻点(或稳定点，临界点).罗尔定理如果函数 f(x)满足：（ 1）在闭区间 a,b 上连续（ 2）在开区间( a, b) 内可导 （ 3）在区间端点处的函数值相等，即 f (a)f (b)使得函数f (x) 在该点的导数等于零，即f ' ( )0那么在 (a,b) 内至少在一点(ab)证明： 由于 f (x) 在 a,b上连续，因此必有最大值M 和最小值 m ，于是有两种可能的情形：（1）M，此时f ( x)在 a

4、,b 上必然取相同的数值M ，即 f (x) M .m由此得 f ( x)0.因此，任取(a, b) ，有 f () 0.（2）M，由于f (a)f (b)，所以 M 和 m 至少与一个不等于f (x)在区间 a,b端点处m的函数值 .不妨设 Mf (a)(若 m f (a) ,可类似证明 ),则必定在 (a,b) 有一点使 f ( )M . 因此任取 xa,b 有 f (x)f ( ),从而由费马引理有f () 0.证毕例 1 验证罗尔定理对f()x223在区间 1,3上的正确性xx解 显然f ( x)x22x3( x3)( x 1)在 1,3 上连续，在(1,3) 上可导，且f ( 1)f

5、 (3)0 , 又 f ( x)2( x1) , 取1, (1( 1,3) ,有 f ( )0 .说明： 1若罗尔定理的三个条件中有一个不满足, 其结论可能不成立 ;2使得定理成立的可能多于一个，也可能只有一个 .例如yx , x2,2 在 2,2上除 f (0) 不存在外，满足罗尔定理的一切条件，但在区间 2,2 内找不到一点能使f( x)0 .例如y1x, x(0,1除了 x0 点不连续外，在 0,1上满足罗尔定理的一切条0,x0件，但在区间 0,1上不存在使得f( )0 的点例如 yx, x0,1.除了 f (0)f (1) 外，在 0,1 上满足罗尔定理的一切条件，但在区间 0,1上不

6、存在使得f( )0 的点又例如 ycos x,x, 3 满足定理的一切条件， 而0,222罗尔定理的应用罗尔定理1）可用于讨论方程只有一个根；2）可用于证明等式 .例 2 证明方程 x55 x 10 有且仅有一个小于1 的正实根 .证明：设( )551, 则f (x)在0,1上连续，且f (0) 1, f (1) 3.f xxx由介值定理存在x0(0,1)使 f (x0 )0 , 即 x0 为方程的小于1 的正实根 .设另有x1(0,1), x1 x0 , 使 f ( x1 )0.因为f (x) 在 x0 , x1 之间满足罗尔定理的条件 , 所以至少存在一个（在 x0 ,x1之间）使得 f

7、( ) 0.但f( )5(4 1)0, ( x(0,1) ,矛盾,所以x0为方程的唯一实根 .xx拉格朗日中值定理的证明就是罗尔定理证明等式的一个例子（见后面） .二、拉格朗日（Lagrange ）中值定理1.拉格朗日中值定理在实际应用中，由于罗尔定理的条件（3）有时不能满足，使得其应用受到一定限制。如果将条件（ 3）去掉，就是下面要介绍的拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理如果函数f (x)满足（1）在闭区间 a,b 上连续 （ 2）在开区间 (a,b)内可导 那么在 ( a, b) 内至少有一点(ab)使得等式f (b) f ( a)f ' ()(ba)成立几何意义上述等式可变形为 f

8、 ( )f (b)f (a) ，等式右端为弦 AB 的斜率 , 于是在区间 a, b 上ba不间断且其上每一点都有不垂直于x轴切线的曲线上，至少存在一点C，使得过 C 点的切线平行于弦 AB. 当 f (a)f (b) 时，罗尔定理变为拉格朗日中值定理，即罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例， 而拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广，下面用罗尔定理证明拉格朗日中值定理 .yf (b)f (a)( xa). 曲线f (x) 减去弦分析与证明： 弦 AB 的方程为f ( a)abAB ，所得曲线 AB 两端点的函数值相等 . 作辅助函数F (x) f ( x) f (a)f (b)f (a) ( x a)

9、ba于是 F (x) 满足罗尔定理的条件，则在(a, b) 内至少存在一点，使得F() 0 .又 F (x) f ( x)f (b )f ( a) , 所以 f ( )f (b )f ( a)baba即在 (a, b) 内至少有一点(ab)，使得( )f(a)f'( )() 证毕f bb a .说明 : 1.f (b)f (a)f ' ( )(ba) 又称为拉格朗日中值公式（简称拉氏公式）, 此公式对于 b a 也成立 ;2拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系；当设 f (x) 在 a,b 上连续 , 在 ( a,b)内可导时 , 若

10、x0 , x0x ( a, b) , 则有 f ( x0x) f ( x0 ) f (x0x) x (01)当 yf (x)时 , 也可写成yf (x0x)x(01).试与微分 dyf (x)x比较dyf (x)x是函数增量y 的近似表达式而yf ( x0x)x(01) 是函数增量y 的精确表达式所以拉格朗日中值公式又称为有限增量公式, 拉格朗日中值定理又称有限增量定理.推论若函数 f (x) 在区间 I 上导数恒为零，则f (x) 在区间 I 上是一个常数 .2. 拉格朗日中值定理的应用拉格朗日中值定理1）可用于证明等式；2）可用于证明不等式.例 3 证明 arcsin x arccosx(

11、1x1)2证明： 设 f ( x) arcsin xarccosx,x1,11(1) 0,所以 f (x) C, x 1,1由于 f ( x)2211 xx又 f (0) arcsin0 arccos0 0, 即 C.222故 arcsin x arccosx.2例 4 证明当 x0xln(1x) x时 ,x1证明 :设 f ( x)ln( 1 x), 则 f (x) 在 0, x 上满足拉氏定理的条件于是 f (x)f (0)f( )(x0), (0x)又 f (0)0, f (x)1, 于是 ln(1x)x1x1而 0x, 所以 1 11 x , 故 1111x 1从而xxx , 即xln

12、(1 x)xx 1x11三、柯西中值定理柯西中值定理如果函数f (x) 及 F(x) 在闭区间 a,b 上连续 ,在开区间(a,b) 内可导 , 且F' (x) 在 (a,b) 内 每一 点处 均不为 零， 那 末 在 (a,b) 内至 少 有一 点(ab) , 使等 式f (b)f (a)f ' ( ) 成立F(b)F (a)F ' ()几何解释 :设曲线弧 C 由参数方程XF (x) ( a xb )表示 其中 x 为参数 如果曲线 CYf ( x)上除端点外处处具有不垂直于横轴的切线那么在曲线C 上必有一点 x使曲线上该点的切线平行于连结曲线端点的弦AB 曲线 C

13、 上点 x处的切线的 斜 率 为 dYf ()弦 AB的斜率为f (b)f (a)于 是dXF ()F (b)F (a)f (b)f (a)f ( )F (b)F (a)F ( ), 即在曲线弧AB上至少有一点C(F ( ), f ( ) ,在该点处的切线平行于弦AB.CyXF ( x )Yf ( x )MBNoF( ) F ( x)F (b) x1AF(a)F( 2)证明 : 作辅助函数(x)f ( x)f (a)f (b)f (a) F ( x)F (a)F (b)F (a)则(x) 满足罗尔定理的条件，于是在 (a, b) 内至少存在一点，使得() 0,即f( )f (b)f (a) F

14、 ( ) 0f (b)f (a)f (), 所以F( a)F (.证毕baF (b)特别地 当 F(x)x时 , F (b)F (a) ba, F ( x)1由 f ( b)f (a)f ()f (b)f (a)有af (F ( b)F (a)F ()b即 f (b)f ( a)f()(b a) ,故拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例，而柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广.例 5设函数 f (x) 在 0,1 上连续 ,在 (0,1) 内可导 ,证明 :至少存在一点(0,1) ，使f ( )2 f (1)f (0)证明与分析 :结论可变形为f (1)f (0)f () f ( x)102(

15、 x 2 )x设 g(x)x2，则 f ( x), g(x) 在 0,1 上满足柯西中值定理的条件于是至少存在一点所以至少存在一点(0,1)(0,1)，使 f (1)f (0)f ()102，使 f (1)f (0)f ()102即 f ( )2 f (1)f (0)四、小结罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例，而拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广; 拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例，而柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广.注意中值定理成立的条件.五、作业P24P27第二节洛必达法则教学目的 ：理解洛必达法则，掌握用洛必达法则求0型和型以及0 ,型0未定式的极限的方法 ; 了解 00 ,1 ,0

16、型极限的求法 .教学重点： 洛必达法则 .教学难点： 理解洛必达法则失效的情况,0,型的极限的求法.教学内容：一0型和型未定式的解：法洛必达法则0定义：若当 xa（或 x）时，函数 f (x) 和 F (x) 都趋于零 (或无穷大 )，则极限limf (x)F (x)xa( x)可能存在、也可能不存在，通常称为0 型和 型未定式 .0例如 limtan x , (0 型);lim ln sin ax , (型 ).x0x0x 0 ln sin bx定理： 设 (1)当 x0时, 函数 f (x) 和 F ( x) 都趋于零 ;(2)在 a点的某去心邻域内 , f (x) 和 F (x) 都存在

17、且 F ( x) 0 ;(3) lim f ( x) 存在 (或无穷大 ),x a F ( x)(x则 limf ( x)limf ( x)x a F ( x)x a F ( x)定义： 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为 洛必达法则证明 :定义辅助函数f1 ( x)f ( x),xa, F1( x)F (x),xa0,xa0,xa在 U ( a,) 内任取一点 x , 在以 a 和 x 为端点的区间上函数f1 ( x) 和 F1 (x) 满足柯西中值定理的条件 , 则有f ( x)f ( x)f ( a)f ( ) , (在 a 与 x 之间 )F ( x

18、)F ( x)F (a)F ( )当 x0 时,有a , 所以当 lim f ( x)A , 有 limf( )Axa F ( x)aF ( )故 limf ( x)lim f()A. 证毕xaF (x)a F ()说明 : 1.如果 limf ( x) 仍属于0型 ,且 f (x) 和 F(x) 满足洛必达法则的条件, 可继续使用洛xa F (x)0必达法则 ,即 lim f (x)limf (x)limf(x);xa F (x)x a F (x)x a F (x)2.当 x时 ,该法则仍然成立 , 有 limf ( x)limf ( x) ;xF (x)xF ( x)3.对 xa （或 x

19、）时的未定式，也有相应的洛必达法则;4. 洛必达法则是充分条件 ;5. 如果数列极限也属于未定式的极限问题，需先将其转换为函数极限，然后使用洛必达法则，从而求出数列极限.例 1 求 lim tan x , ( 0 型 )x0x0解 原式 = lim (tan x)= lim sec2 x1x 0( x)x 01例2求 limx33x20型 )x2x 1 x3x 1 , ( 0236 x3解原式=lim3x=lim2x 13 x 2 x 1x 1 6 x 2 2例 3求lim 2arctanx,(0型)1x0x1x 2解原式=lim1x2= lim2=11x1xxx2例 4求 lim ln si

20、nax , (型 ).x 0 ln sinbx解 原式 = lima cos ax sin bx =limcosbx =1x0b cos bx sin axx 0cosax例 5求 limtan x , ( 型 )x tan 3x2解 原式 = lim2216 cos 3x sin 3 xsecx=1 lim cos 3x =limx3 sec23x3 xcos2 x3 x2 cos x sin x222= lim sin 6x=lim6 cos6x3xsin 2xx2 cos2x22注意： 洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好.例 6求 lim tan x

21、xx0x2 tan x解原式=tan xxlimsec2 x11limtan 2 x1lim3=3x2=3x2=x0xx 0x 03二 0,00,1 ,0 型未定式的求法关键 :将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型1 0型未定式的求法步骤： 01, 或 0010例 7求 limx 2 ex.( 0) 型xxxex解 原式 = lime2 = lim elim.xxx2xx22.型步骤：110000.0 0例 8求 lim (11).() 型x 0sin xx0型和型.0解 原式 = lim xsin xx 0 x sin x3. 00,1 , 0型00步骤：取对数101cosxlim0.

22、x 0 sin xx cos x0 ln 0ln 10.0 ln例 9 求 lim xx.x 0解 原式 = lim ex ln xx01例 10 求 lim x1 x .x 1(00)型limln xlim1lim xln xx0x 0xex 0ee(1)型1x1x 2e0 1.11ln xlimxln xlime 1 .解 原式 = lim e1 xex11xex 11x 110 ) 型例 11 求 lim (cot x) lnx .(x 011ln(cot x )解 由于 (cot x)ln xeln x11而 lim1limcot xsin 2xlimxln(cot x)11x 0ln

23、 xx 0x 0cos x sin xx所以 原式 = e 1.注意： 洛必达法则的使用条件例 12 求 lim x cos x .xx解 原式 = lim 1 sin xlim (1sin x). 极限不存在x1x（洛必达法条件不满足的情况）正确解法为原式 = lim (111.cos x)xx例 13 求 limtan n (2 )n4n解 设 f ( x)tan x (2) ，则 f ( n)tan n (2)4x4 n因为 limf (x)exp lim x ln tan(2)xx4xln tan(2)sec2 (22)(2 )= exp lim4xexp lim4 xx = e4x1

24、x12xx 2tan(4x)从而 原式 = limf ( n)limf (x)e4nx三小结1 洛必达法则是求0型和型未定式极限的有效方法，但是非未定式极限却不能使0用。因此在实际运算时，每使用一次洛必达法，必须判断一次条件。2 将等价无穷小代换等求极限的方法与洛必达法则结合起来使用，可简化计算。3 洛必达法则是充分条件，当条件不满足时，未定式的极限需要用其他方法求，但不能说此未定式的极限不存在。4 如果数列极限也属于未定式的极限问题，需先将其转换为函数极限，然后使用洛必达法则，从而求出数列极限 .四作业P28P30第三节函数的单调性与曲线的凹凸性教学目的：理解函数的单调性和曲线的凹凸性的判定

25、定理， 会求函数的单调区间和曲线的凹凸区间。教学重点：掌握用一阶导数判断函数的单调性和利用二阶导数判断曲线的凹凸性的方法。教学难点：导数不存在的连续点、 也可能是单调区间和曲线的凹凸区间的分界点。教学内容：一、函数单调性的判定法如果函数 yf ( x) 在 a, b 上单调增加（单调减少）那么它的图形是一条沿x 轴正向上升（下降）的曲线这时曲线的各点处的切线斜率是非负的（是非正的）即y f (x) 0 ( 或 yf (x) 0) 由此可见 函数的单调性与导数的符号有着密切的关系反过来能否用导数的符号来判定函数的单调性呢？定理 1 (函数单调性的判定法)设函数 yf (x)在 a,b上连续 在

26、(a,b) 内可导(1) 如果在 (a,b) 内 f ( x)0那么函数yf ( x ) 在 a,b 上单调增加(2) 如果在 (a,b) 内 f (x)0那么函数yf ( x ) 在 a,b 上单调减少证明只证 (1) （2）可类似证得）在 a,b 上任取两点x1 , x2 (x1x2 ) 应用拉格朗日中值定理得到f ( x2 ) f (x1 )f ( ) ( x2x1 ) (x1x2 )由于在上式中 x2x1 0 因此如果在 (a, b) 内导数 f (x) 保持正号即 f ( x)0那么也有f ( )0 , 于是f ( x2 ) f ( x1 )f ( ) ( x2x1 ) 0从而 f

27、( x1 ) f( x2 ) ，因此函数y f (x ) 在 a, b 上单调增加证毕注判定法中的闭区间可换成其他各种区间例 1判定函数yxsin x在 0,2 上的单调性解因为在 (0,2) 内 y1cosx0所以由判定法可知函数yxsin x 在 0,2 上单调增加例 2讨论函数 yexx1的单调性解由于 yex1 且函数 y exx1的定义域为 (,)令 y0 ,得 x0,因为在(,0) 内 y0所以函数 yexx 1在 ( ,0上单调减少又在 (0,) 内 y0所以函数 yexx1在 0,) 上单调增加例 3讨论函数 y 3 x2的单调性解显然函数的定义域为( , ), 而函数的导数为

28、 y2(x 0)3x3所以函数在 x0处不可导又因为 x0时 y0 所以函数在因为 x0 时y0, 所以函数在(,0 上单调减少 0,) 上单调增加说明 : 如果函数在定义区间上连续除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续那么只要用方程 f (x) 0的根及导数不存在的点来划分函数f (x)的定义区间就能保证 f (x)在各个部分区间内保持固定的符号因而函数 f (x)在每个部分区间上单调例 4确定函数f (x)2x3 9x2 12x 3的单调区间解该函数的定义域为(,)而 f (x)6x218x 126(x 1)(x 2), 令 f ( x)0, 得 x11, x22列表x(,11,2 2,

29、)f ( x)f (x)函数 f( x)在区间 (,1 和 2,) 内单调增加在区间 1,2 上单调减少例 5讨论函数yx3 的单调性解函数的定义域为 (,)函数的导数为y3x2 , 除 x0 时y0外 在其余各点处均有y0 因此函数 yx3 在区间 (,0 上单调减少因为当 x0时 y0, 所以函数在 0,)及0,) 上都是单调增加的从而在整个定义域(,) 内 yx3 是单调增加的其在 x0 处曲线有一水平切线说明 : 一般地 如果 f(x)在某区间内的有限个点处为零在其余各点处均为正（或负）时那么 f (x)在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的例 6 证明 当 x1时 2 x 31x证

30、明令 f (x)2x(31) 则 f (x)111( xx1)xxx2x2因 为 当 x1 时f( x)0 因 此 f (x) 在 1,) 上单调增加从 而 当 x1 时f (x)f (1),又由于f (1)0故 f (x)f (1)0即 2x (31) 0也就是 2x31x1)xx ,(二、曲线的凹凸与拐点1. 凹凸性的概念yyf ( x1 ) f ( x2 )f ( x1 )f(x2 )22fx1x2fx1 x222f( x1)2)f(x1)f(x2)f(xOx1x1 x2x 2xOx1x1 x2x 2x22f (x)12定义设在区间 I 上连续 如果对I 上任意两点x , x恒有f (

31、x1 x2 )f (x1) f (x2 )22那么称 f (x)在 I 上的图形是 (向上 )凹的 (或凹弧 )如果恒有f ( x1 x2 )f (x1)f (x2 )22那么称 f (x)在 I 上的图形是 (向上 )凸的 (或凸弧 )定义设函数 y f (x)在区间 I 上连续如果函数的曲线位于其上任意一点的切线的上方，则称该曲线在区间 I 上是凹的； 如果函数的曲线位于其上任意一点的切线的下方，则称该曲线在区间I 上是凸的2.曲线凹凸性的判定定理设 f (x)在 a, b 上连续在 (a b)内具有一阶和二阶导数那么(1) 若在(2) 若在(a,b)(a,b)内 f (x) 0 则 f

32、(x) 在 a,b上的图形是凹的内 f (x) 0 则 f (x) 在 a,b上的图形是凸的证明 只证 (1)(2) 的证明类似 )设 x1 , x2 a, b , ( x1 x2 )记 x0x1 x22由拉格朗日中值公式得f ( x1) f (x0)f ( 1)(x1x0 ) f ( 1) x1 x2x11 x02f ( x2 ) f ( x0 ) f ( 2 )( x2x0 ) f ( 2 ) x2 x1x02 x22两式相加并应用拉格朗日中值公式得f ( x ) f (x) 2 f (x ) f (2) f (1) x2 x11202f ( )(2) x2 x101212即 f ( x1

33、)2f (x2)f ( x12x2 )所以 f (x)在 a,b上的图形是凹的拐点连续曲线 y f (x)上凹弧与凸弧的分界点称为这曲线的拐点确定曲线 yf (x)的凹凸区间和拐点的步骤(1) 确定函数 y f(x)的定义域(2) 求出在二阶导数 f (x)(3) 求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点(4) 判断或列表判断 确定出曲线凹凸区间和拐点注 根据具体情况（ 1）、（ 3）步有时省略例 1判断曲线yln x 的凹凸性解y1y1xx2因为在函数yln x 的定义域 (0,) 内 y0 所以曲线 yln x 是凸的例 2判断曲线 yx3 的凹凸性解 因为 y 3x 2y6x 令 y0 得