ch02 控制系统的数学模型

1、衡阳师范学院物理与电子信息科学系衡阳师范学院物理与电子信息科学系第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型1自动控制系统的基本要求的理解：自动控制系统的基本要求的理解：1 1、稳定性、稳定性2 2、准确性、准确性3 3、快速性、快速性衡阳师范学院物理与电子信息科学系衡阳师范学院物理与电子信息科学系第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型2第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型Mathematical Models of systems主要内容主要内容 l物理系统的常微分方程描述物理系统的常微分方程描述l物理系统的线性近似物理系统的线性近似lLaplace 变换变换l线性系统的传递函数线性

2、系统的传递函数l系统的框图模型描述与信号系统的框图模型描述与信号流图模型描述流图模型描述lMatlab 系统仿真系统仿真教学目标教学目标 l深刻理解物理系统的动态行为及深刻理解物理系统的动态行为及其常微分方程描述其常微分方程描述l能够通过能够通过TaylorTaylor展开实现系统的展开实现系统的线性近似线性近似l掌握掌握Laplace 变换并用之获取传变换并用之获取传递函数递函数l熟悉系统框图模型与信号流图模熟悉系统框图模型与信号流图模型及在控制系统分析中的作用型及在控制系统分析中的作用l充分认识建模在系统分析与设计充分认识建模在系统分析与设计中的重要作用中的重要作用参阅教材：第参阅教材：第

3、2章章衡阳师范学院物理与电子信息科学系衡阳师范学院物理与电子信息科学系第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型3背景与问题的提出背景与问题的提出自动控制系统是一种严格自动控制系统是一种严格定量定量的的动态动态运行的信息系统。运行的信息系统。定量：定量：要求用数学方法描述系统及系统中各环节变量间的内在关系及其变要求用数学方法描述系统及系统中各环节变量间的内在关系及其变化规律，即化规律，即数学模型数学模型。动态：动态：控制系统总是在平衡态（也称控制系统总是在平衡态（也称静态静态）、打破平衡态、再到平衡态往）、打破平衡态、再到平衡态往复运行，动态运行是绝对的。自动控制的本质就是设法让系统以最佳的方

4、复运行，动态运行是绝对的。自动控制的本质就是设法让系统以最佳的方式、最快的速度、最好的精度运行到平衡态。因此描述系统行为的方程通式、最快的速度、最好的精度运行到平衡态。因此描述系统行为的方程通常是微分方程。常是微分方程。本章需要解决的主要问题是：本章需要解决的主要问题是： 1）如何建立物理系统的数学模型？）如何建立物理系统的数学模型？ 2）如何获取具体的控制系统的数学模型？）如何获取具体的控制系统的数学模型？ 3）数学模型有哪些不同的形式？）数学模型有哪些不同的形式？衡阳师范学院物理与电子信息科学系衡阳师范学院物理与电子信息科学系第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型41 1）确定系统及其

5、各元件；）确定系统及其各元件；2 2）作出必要的假设并推导数学模型；）作出必要的假设并推导数学模型；3 3）写出描述该模型的微分方程；）写出描述该模型的微分方程；4 4）解方程求出需要的输出变量；）解方程求出需要的输出变量；5 5）检查得到的解和作出的假设。）检查得到的解和作出的假设。研究系统动态特性的一般步骤：研究系统动态特性的一般步骤：机理分析法机理分析法列写微分方程的一般步骤：列写微分方程的一般步骤： 根据元件在控制系统中的作用，确定其根据元件在控制系统中的作用，确定其输入和输出变量；输入和输出变量； 分析元件机理，列写机理方程；分析元件机理，列写机理方程； 消去中间变量，得到输入量与输

6、出量之消去中间变量，得到输入量与输出量之间的微分方程；间的微分方程； 标准形式。标准形式。建模方法：建模方法： 机理分析法机理分析法 实验法（实验法（系统辨识法）系统辨识法）数学模型形式：数学模型形式： 微分方程（组）（时域）微分方程（组）（时域） 传递函数传递函数 （复数域）（复数域） 结构图、信号流图结构图、信号流图 频率特性频率特性 （频域）（频域）核心：建立数学模型核心：建立数学模型衡阳师范学院物理与电子信息科学系衡阳师范学院物理与电子信息科学系第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型5数学模型的建立过程数学模型的建立过程建立数学模型的目的建立数学模型的目的：分析系统的性能分析系统的

7、性能衡阳师范学院物理与电子信息科学系衡阳师范学院物理与电子信息科学系第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型6Part 2.1 Part 2.1 物理系统的微分方程物理系统的微分方程例例1 1 列写列写R-L-C R-L-C 串联电路的微分方程串联电路的微分方程)()()()(22tutudttduRCdttudLCrccc dttduCtic)()( )()()()(tutRidttdiLtucr )()()(22tudttduRCdttudLCccc 解：设输入解：设输入u ur r，输出，输出u uc cKVLKVL：标准形式：标准形式：衡阳师范学院物理与电子信息科学系衡阳师范学院物理

8、与电子信息科学系第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型7Part 2.1Part 2.1物理系统的微分方程物理系统的微分方程机械运动系统的三要素机械运动系统的三要素-力力机械运动的实质：机械运动的实质： 牛顿定理、能量守恒定理牛顿定理、能量守恒定理则质量则质量 受力为：受力为：设：位移：设：位移： ，速度：，速度： ，加速度：，加速度：)t (xdt)t (dx22dt)t (xd则弹簧则弹簧 的弹力为：的弹力为：则阻尼器则阻尼器 的阻尼力为：的阻尼力为：22dt)t (xdm)t (F )t (Kx)t (F dt)t (dxf)t (F 方向与运动方向相同方向与运动方向相同方向与运动方

9、向相反方向与运动方向相反方向与运动方向相反方向与运动方向相反衡阳师范学院物理与电子信息科学系衡阳师范学院物理与电子信息科学系第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型8例例2：机械平移系统：机械平移系统 ，要求写出质量，要求写出质量m在外力作用下，位移在外力作用下，位移x(t)的运动方程。的运动方程。解：以静止（平衡）工作点作为零点，以消解：以静止（平衡）工作点作为零点，以消除重力的影响，受力如下图所示：除重力的影响，受力如下图所示：)t (F)t (F)t (Ft d)t (xdm2122 1 1）由牛顿第二定律，有：）由牛顿第二定律，有：td)t(xdf)t(F1 f 阻尼系数阻尼系数 )

10、t (Kx)t (F2 K K弹性系数弹性系数 Part 2.1Part 2.1物理系统的微分方程物理系统的微分方程衡阳师范学院物理与电子信息科学系衡阳师范学院物理与电子信息科学系第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型9从例从例1 1、2 2得出结论：得出结论：1 1）微分方程的系数取决于系统的结构参数）微分方程的系数取决于系统的结构参数2 2）阶次等于独立储能元件的个数）阶次等于独立储能元件的个数3 3）物理系统的相似性物理系统的相似性：不同物理性质元件组成系统，可以：不同物理性质元件组成系统，可以具有相同的数学模型，即：数学模型摆脱了物理原型，可以具有相同的数学模型，即：数学模型摆脱了

11、物理原型，可以描述这些系统的共同运动规律。描述这些系统的共同运动规律。)t(F)t(Kxtd)t(xdftd)t(xdm22 2 2）整理后得到运动方程式：）整理后得到运动方程式：Part 2.1Part 2.1物理系统的微分方程物理系统的微分方程衡阳师范学院物理与电子信息科学系衡阳师范学院物理与电子信息科学系第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型10一、物理系统的固有非线性一、物理系统的固有非线性物理系统运动行为具有固有的非线性，其运动方程必然为非线性方程。物理系统运动行为具有固有的非线性，其运动方程必然为非线性方程。Part 2.2 Part 2.2 物理系统的线性近似物理系统的线性近

12、似二、线性近似的必要性和合理性二、线性近似的必要性和合理性非线性系统分析设计的困境：计算复杂、理论不成熟。非线性系统分析设计的困境：计算复杂、理论不成熟。衡阳师范学院物理与电子信息科学系衡阳师范学院物理与电子信息科学系第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型111 1、单变量函数泰勒级数法：、单变量函数泰勒级数法：函数函数y=f(x)y=f(x)在其平衡点（在其平衡点（x x0 0,y,y0 0）附近的泰勒级数展开为：）附近的泰勒级数展开为：略去含有高于一次的增量略去含有高于一次的增量x=x-xx=x-x0 0的项，则：的项，则：注：非线性系统的线注：非线性系统的线性化模型，称为增量性化模型

13、，称为增量方程。方程。注：注：y y0 0=f(x=f(x0 0) )称为系称为系统的静态方程统的静态方程 30 xx3320 xx220 xx0)xx(dx)x(fd3!1)xx(dx)x(fd2!1)xx(dx)x(df)x(f)x(fy000)xx(dx)x(df)x(fy0 xx00 0 xx0dx)x(dfK,xKyy-y Part 2.2 Part 2.2 物理系统的线性近似物理系统的线性近似-泰勒级数法泰勒级数法衡阳师范学院物理与电子信息科学系衡阳师范学院物理与电子信息科学系第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型122 2、多变量函数泰勒级数法：、多变量函数泰勒级数法：增量方

14、程增量方程静态方程静态方程)x,x(fy21 )xx(xf)xx(xf)x,x( fy202xxxx2101xxxx1201020210120210122110 xKxKyyy )x,x(fy20100 泰勒级数展开：泰勒级数展开：Part 2.2 Part 2.2 物理系统的线性近似物理系统的线性近似-泰勒级数法泰勒级数法衡阳师范学院物理与电子信息科学系衡阳师范学院物理与电子信息科学系第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型13 工程上绝大部分自动控制系统在物理系统的工程上绝大部分自动控制系统在物理系统的某个平衡点附近小范围某个平衡点附近小范围工工作，为线性近似提供合理性基础。作，为线性近

15、似提供合理性基础。Part 2.2 Part 2.2 物理系统的线性近似物理系统的线性近似2000002)(2yyyfyyyff 对物理系统的非线性特性方程在平衡点（工作点）附近进行对物理系统的非线性特性方程在平衡点（工作点）附近进行TaylorTaylor展开。展开。衡阳师范学院物理与电子信息科学系衡阳师范学院物理与电子信息科学系第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型14例例 试把非线性方程试把非线性方程 z=xy 在区域在区域5x7、10y12上上线性化。求用线性化方程来计算当线性化。求用线性化方程来计算当x=5，y=10时时z值值所产生的误差。所产生的误差。 解：解：1 1）研究的区

16、域为：）研究的区域为：5x75x7、10y1210y12，2 2）故选择工作点：）故选择工作点：3 3）在工作点泰勒级数展开，并忽略其高阶项，则：）在工作点泰勒级数展开，并忽略其高阶项，则：有：有：z-zz-z0 0=K=K1 1(x-x(x-x0 0)+K)+K2 2(y-y(y-y0 0) )，其中：，其中：6xyzK,11yxzK0yyxx20yyxx10000 x x0 0=6=6，y y0 0=11=11，z z0 0=6=611=6611=66Part 2.2 Part 2.2 物理系统的线性近似物理系统的线性近似-泰勒级数法泰勒级数法衡阳师范学院物理与电子信息科学系衡阳师范学院物

17、理与电子信息科学系第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型15故线性化的方程：故线性化的方程： z-zz-z0 0=11(x-x=11(x-x0 0)+6(y-y)+6(y-y0 0) z=) z=11x+6y-6611x+6y-66 4 4）求当）求当x=5,y=10 x=5,y=10时的误差：时的误差：z z的精确值为：的精确值为：由线性化方程求得的由线性化方程求得的z z值为：值为：z=11x+6y-66=55+60-66=49z=11x+6y-66=55+60-66=49，误差为：误差为：z=xy=5z=xy=510=5010=50，%2504950 Part 2.2 Part 2.

18、2 物理系统的线性近似物理系统的线性近似-泰勒级数法泰勒级数法衡阳师范学院物理与电子信息科学系衡阳师范学院物理与电子信息科学系第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型16Part 2.3 Laplacce Part 2.3 Laplacce 变换及其反变换变换及其反变换 拉氏变换的定义拉氏变换的定义 拉氏变换的计算拉氏变换的计算 拉氏变换的主要运算定理拉氏变换的主要运算定理 拉氏反变换拉氏反变换 利用拉氏变换求解微分方程利用拉氏变换求解微分方程参阅教材，结合参阅教材，结合“信号与系统信号与系统”课程自学与复习课程自学与复习衡阳师范学院物理与电子信息科学系衡阳师范学院物理与电子信息科学系第二章

19、第二章 系统的数学模型系统的数学模型17设函数设函数f(t)f(t)满足：满足：1 1）f(t)f(t)实函数；实函数； 2 2）当）当t0t0时，时，f(t)=0f(t)=0； 3 3）当）当t t 0 0时，时，f(t)f(t)的积分的积分 在在s s的某一域内收敛的某一域内收敛 0)(dtetfst则函数则函数f(t)f(t)的拉普拉氏变换存在，并定义为：的拉普拉氏变换存在，并定义为：式中：式中：s=+js=+j（，均为实数）；均为实数）；F(s)F(s)称为函数称为函数f(t)f(t)的的拉普拉氏变换拉普拉氏变换或或象函数象函数; ;f(t)f(t)称为称为F(s)F(s)的的原函数原

20、函数；L L为拉氏变换的符号。为拉氏变换的符号。 0)()()(dtetftfLsFstPart 2.3.1 Part 2.3.1 拉氏变换的定义拉氏变换的定义拉氏反变换：拉氏反变换： jjst10t ,dse )s(Fj21)s(FL)t(f衡阳师范学院物理与电子信息科学系衡阳师范学院物理与电子信息科学系第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型18 指数函数指数函数 三角函数三角函数 单位脉冲函数单位脉冲函数 单位阶跃函数单位阶跃函数 单位速度函数单位速度函数 单位加速度函数单位加速度函数 幂函数幂函数aseLat122sinstL22cossstLstL1)( 1 1)(tL21stL3

21、2121stL1!nnsntLPart 2.3.2 Part 2.3.2 拉氏变换的计算拉氏变换的计算衡阳师范学院物理与电子信息科学系衡阳师范学院物理与电子信息科学系第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型19线性定理线性定理微分定理微分定理积分定理积分定理位移定理位移定理延时定理延时定理卷积定理卷积定理初值定理初值定理终值定理终值定理Part 2.3.3 Part 2.3.3 拉氏变换的主要运算定理拉氏变换的主要运算定理衡阳师范学院物理与电子信息科学系衡阳师范学院物理与电子信息科学系第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型20原函数的高阶导数原函数的高阶导数 像函数中像函数中s s的高次

22、代数式的高次代数式多重微分（请记住）多重微分（请记住） 0st)0(f)s(sFdtedt)t (dfdt)t (dfL) 0() 0() 0()()()1(021 nnnnnnfsfsfssFsdttfdL当初始条件：当初始条件： 时，时， 则：则：0)0(f)0(f )s(Fsdt)t(fdLnnn Part 2.3.3 Part 2.3.3 拉氏变换的主要运算定理拉氏变换的主要运算定理衡阳师范学院物理与电子信息科学系衡阳师范学院物理与电子信息科学系第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型21终值定理终值定理 若函数若函数f(t)f(t)及其一阶导数都是可拉氏变换的，则函数及其一阶导数都

23、是可拉氏变换的，则函数f(t)f(t)的终值为：的终值为：)(lim)(lim)(0ssFtffst 原函数原函数f(t)f(t)的稳态性质的稳态性质 sF(s)sF(s)在在s=0s=0邻域内的性质邻域内的性质Part 2.3.3 Part 2.3.3 拉氏变换的主要运算定理拉氏变换的主要运算定理初值定理初值定理 若函数若函数f(t)f(t)及其一阶导数都是可拉氏变换的，则函数及其一阶导数都是可拉氏变换的，则函数f(t)f(t)的初值为：的初值为：)(lim)(lim)0(0ssFtffst 原函数原函数f(t)f(t)的初始性质的初始性质 sF(s)sF(s)在在s=s=的极限值的极限值衡

24、阳师范学院物理与电子信息科学系衡阳师范学院物理与电子信息科学系第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型22条件：条件： 分母多项式能分解成因式分母多项式能分解成因式).()().()()()()(2121nmpspspszszszsKsAsBsF nppp ,.,21mzzz ,.,21多项式极点多项式极点多项式零点多项式零点nmasasasabsbsbsbsAsBsFnnnnmmmm ,)()()(11101110Part 2.3.4 Part 2.3.4 拉氏反变换方法拉氏反变换方法 jjstdsesFjtf )(21)(1 1、反演公式：、反演公式：2 2、查表法（分解部分分式法）、查

25、表法（分解部分分式法）衡阳师范学院物理与电子信息科学系衡阳师范学院物理与电子信息科学系第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型23将微分方程通过拉氏变换变为将微分方程通过拉氏变换变为 s s 的代数方程；的代数方程；解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表达式；解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表达式；应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解。应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解。 应用拉氏变换法求解微分方程时，由于初始条件已自动应用拉氏变换法求解微分方程时，由于初始条件已自动地包含在微分方程的拉氏变换式中，因此，不需要根据初地包含在微分方程的拉氏变换式中，因此，不需要根据初始条件求积分常数的值就可

26、得到微分方程的全解。始条件求积分常数的值就可得到微分方程的全解。 如果所有的初始条件为零，微分方程的拉氏变换可以简单如果所有的初始条件为零，微分方程的拉氏变换可以简单地用地用s sn n代替代替d dn n/dt/dtn n得到。得到。Part 2.3.5 Part 2.3.5 线性定常微分方程的求解线性定常微分方程的求解衡阳师范学院物理与电子信息科学系衡阳师范学院物理与电子信息科学系第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型24例例：求解线性定常微分方程：求解线性定常微分方程：初始条件：初始条件： 6y6dtdy5dtyd22 2)0(y)0(y 解：解：1 1）方程两边拉氏变换：）方程两边

27、拉氏变换：代入初始条件：代入初始条件：2 2）部分分式展开：）部分分式展开：3 3）拉氏反变换：）拉氏反变换：s6)s(Y6)0( y5)s(sY5)0( y)0(sy)s(Ys2 )3s)(2s( s6s12s2)6s5s( s6s12s2)s(Y222 s12s53s4)s(Y )0t(1e5e4)t(yt2t3 Part 2.3.5 Part 2.3.5 线性定常微分方程的求解线性定常微分方程的求解衡阳师范学院物理与电子信息科学系衡阳师范学院物理与电子信息科学系第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型25s656122)65(6122)(23222 ssssssssssY例：例：sss

28、sY12534)( Part 2.3.5 Part 2.3.5 线性定常微分方程的求解线性定常微分方程的求解部分分式展开：部分分式展开：MatlabMatlab命令：命令：r,p,k=residue(num,den)r,p,k=residue(num,den)衡阳师范学院物理与电子信息科学系衡阳师范学院物理与电子信息科学系第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型26 Matlab Matlab求解微分方程解析解的命令求解微分方程解析解的命令dsolve( )dsolve( )（1）求通解的命令格式：）求通解的命令格式：dsolve(微分方程微分方程,自变量自变量)（2）求特解的命令格式：）求

29、特解的命令格式：dsolve(微分方程微分方程,初始条件初始条件,自变自变量量) 注：微分方程在输入时，一阶导数注：微分方程在输入时，一阶导数y应输入应输入Dy，y”应输入应输入 D2y等，等，D应大写。应大写。 1 1）MatlabMatlab拉式变换命令拉式变换命令laplace( )laplace( ) 2 2）MatlabMatlab反拉式变换命令反拉式变换命令ilaplace( )ilaplace( )Part 2.3.5 Part 2.3.5 线性定常微分方程的求解线性定常微分方程的求解衡阳师范学院物理与电子信息科学系衡阳师范学院物理与电子信息科学系第二章第二章 系统的数学模型系统

30、的数学模型27MatlabMatlab软件求解微分方程解析解的命令软件求解微分方程解析解的命令dsolve()dsolve()例：例：求解线性定常微分方程：求解线性定常微分方程：初始条件：初始条件： 6y6dtdy5dtyd22 2)0(y)0(y )0t (1e5e4) t ( yt2t 3 运动模态：微分方程通解由特征根决定，函数运动模态：微分方程通解由特征根决定，函数e e-3t-3t和和e e-2t-2t是模态是模态Part 2.3.5 Part 2.3.5 线性定常微分方程的求解线性定常微分方程的求解衡阳师范学院物理与电子信息科学系衡阳师范学院物理与电子信息科学系第二章第二章 系统的

31、数学模型系统的数学模型28)0t (1e5e4)t ( yt2t3 MatlabMatlab拉式变换命令拉式变换命令laplace()laplace()MatlabMatlab反拉式变换命令反拉式变换命令ilaplace()ilaplace()ssssY12534)( Part 2.3.5 Part 2.3.5 线性定常微分方程的求解线性定常微分方程的求解衡阳师范学院物理与电子信息科学系衡阳师范学院物理与电子信息科学系第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型29衡阳师范学院物理与电子信息科学系衡阳师范学院物理与电子信息科学系第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型30时域数学模型的理解：时

32、域数学模型的理解：1 1、微分方程的建立（标准形式？）、微分方程的建立（标准形式？）2 2、LaplaceLaplace变换法解常系数微分方程的过程变换法解常系数微分方程的过程3 3、请在纸上写出常见函数的、请在纸上写出常见函数的LapaceLapace变换：变换：4 4、多重微分的、多重微分的LaplaceLaplace变换表达式？变换表达式？5 5、终值定理表达式？、终值定理表达式？温故知新温故知新? ateL?)( 1 tL?)( tL ? tL?212 tL衡阳师范学院物理与电子信息科学系衡阳师范学院物理与电子信息科学系第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型31 线性系统的线性系统

33、的传递函数（传递函数（transfer function）被定义为被定义为系统系统输出变量的输出变量的LaplaceLaplace变换与输入变量的变换与输入变量的LaplaceLaplace变换之比变换之比，其中，其中所有初始条件均假定为零。所有初始条件均假定为零。适用范围：适用范围：定常线性系统。定常线性系统。传递函数的意义传递函数的意义：系统行为特性的一个输入输出描述；不包含：系统行为特性的一个输入输出描述；不包含系统内部结构及其内部行为特性的任何信息。系统内部结构及其内部行为特性的任何信息。Part 2.4.1 Part 2.4.1 线性系统传递函数的定义线性系统传递函数的定义)()()

34、(sRsCsG 微分方程：是在时间域描述系统动态性能的数学模型微分方程：是在时间域描述系统动态性能的数学模型 传递函数：传递函数：是在复数域描述系统动态性能的数学模型。不是在复数域描述系统动态性能的数学模型。不仅可以表征系统的动态性能指标，而且可以用来研究系统的参仅可以表征系统的动态性能指标，而且可以用来研究系统的参数变化对系统性能的影响。数变化对系统性能的影响。衡阳师范学院物理与电子信息科学系衡阳师范学院物理与电子信息科学系第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型321 1）有理分式的形式：）有理分式的形式：) s (D) s (N.)()()(11101110 nnnnmmmmasasa

35、sabsbsbsbsRsCsG其中：分母其中：分母D(s)D(s)称为系统特征多项式，称为系统特征多项式，D(s)=0D(s)=0称为系统的特征称为系统的特征方程，其根称为特征根或极点；分母的阶次也即系统的阶次，方程，其根称为特征根或极点；分母的阶次也即系统的阶次，对于实际系统来说，对于实际系统来说，mnmn。2 2）时间常数形式：）时间常数形式：尾一多项式，用于时域和频域分析尾一多项式，用于时域和频域分析其中：其中：K称为增益，称为增益， 称为时间常数称为时间常数 是积分个数是积分个数jiT, Part 2.4.2 Part 2.4.2 传递函数的表示传递函数的表示 211212211221

36、)12()1()12()1()(njjjniimkllmlksTsTsTssssKsGv 衡阳师范学院物理与电子信息科学系衡阳师范学院物理与电子信息科学系第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型333 3）零极点形式零极点形式：首一多项式，用于根轨迹分析：首一多项式，用于根轨迹分析 n1jjm1iin210m210)p(s)z(sK*)p(s)p)(sp(sa)z(s)z)(sz(sbG(s)其中：其中：z zi i (i=1, 2, (i=1, 2, , m), m)，称为传递函数的，称为传递函数的零点零点； p pj j (j=1, 2, (j=1, 2, , n), n)，称为传递函数

37、的，称为传递函数的极点极点，也是系，也是系统的统的特征根特征根； K K* *，称为系统的根轨迹增益。，称为系统的根轨迹增益。系统零点极点决定了系统的特性，以及系统零点极点决定了系统的特性，以及零极点分布图零极点分布图Part 2.4.2 Part 2.4.2 传递函数的表示传递函数的表示衡阳师范学院物理与电子信息科学系衡阳师范学院物理与电子信息科学系第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型34将传递函数的零、将传递函数的零、极点表示在复平面极点表示在复平面上的图形。上的图形。零点用零点用“o o”表示表示极点用极点用“”表示表示零极点分布图零极点分布图: :6852)(23 sssssG例

38、如：例如：MatlabMatlab命令：零极点分布图命令：零极点分布图num=1 2;num=1 2;den=1 5 8 6;den=1 5 8 6;pzmap(num,den)pzmap(num,den)Part 2.4.2 Part 2.4.2 传递函数的表示传递函数的表示衡阳师范学院物理与电子信息科学系衡阳师范学院物理与电子信息科学系第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型35Part 2.4.2 Part 2.4.2 传递函数的表示传递函数的表示传递函数模型：命令传递函数模型：命令sys=tf(num,den)sys=tf(num,den)零极点模型：命令零极点模型：命令sys=zp

39、k(z,p,k)sys=zpk(z,p,k)零极点模型转换成传递函数模型：零极点模型转换成传递函数模型：num,den=zp2tf(z,p,k)num,den=zp2tf(z,p,k)传递函数模型转换成零极点模型：传递函数模型转换成零极点模型：z,p,k=tf2zp(num,den)z,p,k=tf2zp(num,den)6852)(23 sssssG衡阳师范学院物理与电子信息科学系衡阳师范学院物理与电子信息科学系第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型36只取决于系统结构和参数，而与输入量的形式无关，只取决于系统结构和参数，而与输入量的形式无关，也不反映系统内部的任何信息也不反映系统内部的

40、任何信息；只适合于只适合于单输入单输出单输入单输出线性定常系统线性定常系统的描述；的描述；传递函数是传递函数是s s的的有理真分式函数有理真分式函数，具有复变函数的所有，具有复变函数的所有性质，性质，mnmn且所有系数为实数；且所有系数为实数；传递函数传递函数G(s)G(s)的拉氏反变换是脉冲响应的拉氏反变换是脉冲响应g(t)g(t)；传递函数传递函数与微分方程具有相通性与微分方程具有相通性，如果将，如果将 置置换换则则dtds 微微分分方方程程传传递递函函数数 G(s)G(s)与与s s平面上的零极点分布图相对应。平面上的零极点分布图相对应。Part 2.4.3 Part 2.4.3 传递函

41、数的性质传递函数的性质衡阳师范学院物理与电子信息科学系衡阳师范学院物理与电子信息科学系第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型37Part 2.4.4 Part 2.4.4 传递函数的求取传递函数的求取1 1、根据定义：、根据定义：)()()(sRsCsG 2 2、由微分方程在零初始条件下进行拉氏变换得、由微分方程在零初始条件下进行拉氏变换得4 4、根据结构图化简、根据结构图化简5 5、根据信号流图用梅森公式、根据信号流图用梅森公式3 3、由脉冲响应进行拉氏变换得：、由脉冲响应进行拉氏变换得：)()(tgLsG 衡阳师范学院物理与电子信息科学系衡阳师范学院物理与电子信息科学系第二章第二章 系

42、统的数学模型系统的数学模型38例例1 1 求求R-L-C R-L-C 串联电路的传递函数串联电路的传递函数)()()()(22tutudttduRCdttudLCrccc 解：解： 对微分方程进行零初始条件的拉氏变换：对微分方程进行零初始条件的拉氏变换：Part 2.4.4 Part 2.4.4 传递函数的求取传递函数的求取)()()()()()()0()()0()0()(22sUsUsRCsUsULCssUsUussURCususUsLCrcccrcccccc 整理得传递函数：整理得传递函数：11)()()(2 RCsLCssUsUsGrc衡阳师范学院物理与电子信息科学系衡阳师范学院物理与电

43、子信息科学系第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型39列写出传递函数：列写出传递函数：例例2. 低通滤波电路低通滤波电路1TsK1CsR1RRRCs1RsUsUsG0i 11010/)()()(这是一个低通滤波放大器，也称为一阶惯性环节（系统）。这是一个低通滤波放大器，也称为一阶惯性环节（系统）。Part 2.4.4 Part 2.4.4 传递函数的求取传递函数的求取衡阳师范学院物理与电子信息科学系衡阳师范学院物理与电子信息科学系第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型40例例3 3 已知初始条件为零，求网络已知初始条件为零，求网络的传递函数，并说明该网络是否的传递函数，并说明该网络是否

44、等于等于RCRC和两个网络的串联？和两个网络的串联？解法解法1 1：Part 2.4.4 Part 2.4.4 传递函数的求取传递函数的求取)()(22sIRsUo iuou1R2RLC1i2i3ieuLsRsUsIe 22)()()1()()(22sURLsRsUoe )()()(321sIsIsI )()()()(21sCsULsRsURsUsUeeei )2()(11)(121sUCsRLsRRsUie （）（）（）（）衡阳师范学院物理与电子信息科学系衡阳师范学院物理与电子信息科学系第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型41Q：解法：解法1的解题思路正确否的解题思路正确否为什么为什么

45、 A:图中存在所谓的图中存在所谓的负载效应：即负载：即负载【R2 网络网络】的接入影响的接入影响原系统原系统【R1 C网络网络】的输出，破坏了原系统的输入输出关系。的输出，破坏了原系统的输入输出关系。上述解法未考虑负载效应，是不正确的。上述解法未考虑负载效应，是不正确的。1)()(21212211212 sRRLCRRsRRLCRRRRsUsUio解法解法2 2：RCRC网络：网络：1111)()(11 CsRCsRCssUsUieRLRL网络：网络：LsRRsUsUeo 22)()(11)(1()()(221221212 sRLCRRsRLCRLsRCsRRsUsUio衡阳师范学院物理与电子

46、信息科学系衡阳师范学院物理与电子信息科学系第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型42 例例4 4：已知某系统在：已知某系统在0 0初条件下的阶跃响应为：初条件下的阶跃响应为： 试求试求：（：（1 1） 系统的传递函数；系统的传递函数； （2 2） 系统的增益；系统的增益； （3 3） 系统的特征根及相应的模态；系统的特征根及相应的模态； （4 4） 画出对应的零极点图；画出对应的零极点图； （5 5） 求系统的单位脉冲响应；求系统的单位脉冲响应； （6 6） 求系统微分方程；求系统微分方程； （7 7） 当当 c(0)=-1, cc(0)=-1, c(0)=0; r(t)=1(t) (0)

47、=0; r(t)=1(t) 时，求系统的响应。时，求系统的响应。tteetc431321)( Part 2.4.4 Part 2.4.4 传递函数的求取传递函数的求取衡阳师范学院物理与电子信息科学系衡阳师范学院物理与电子信息科学系第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型43)4)(1()2(2413111321)( ssssssssC)4)(1()2(2)(1)()()()( ssssGssSCsRsCsG解：解：（1 1）求传递函数）求传递函数G(s)G(s)tteetc431321)( （2 2）求系统的增益）求系统的增益K K，把传递函数写成尾一形式：，把传递函数写成尾一形式：)125

48、. 0)(1()15 . 0(1)( ssssG1422 KPart 2.4.4 Part 2.4.4 传递函数的求取传递函数的求取衡阳师范学院物理与电子信息科学系衡阳师范学院物理与电子信息科学系第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型44 tteepp42141模态模态 41)4)(1()2(2)()(21111sCsCLsssLsGLtg324)2(2lim11 ssCstteessLtg41343241341132)( 341)2(2lim42 ssCs（3 3）求系统的特征根及相应的模态：）求系统的特征根及相应的模态：)4)(1()2(2)( ssssG（4 4）画出对应的零极点分布

49、图：）画出对应的零极点分布图：（5 5）求系统的单位脉冲响应）求系统的单位脉冲响应g(t)g(t)：tteedttdctg43432)()( Part 2.4.4 Part 2.4.4 传递函数的求取传递函数的求取衡阳师范学院物理与电子信息科学系衡阳师范学院物理与电子信息科学系第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型45)()(4542)4)(1()2(2)(2sRsCsssssssG )(4)(2)(4)(5)(:)()42()()45(12trtrtctctcLsRssCss （6 6）求系统的微分方程：）求系统的微分方程：（7 7）当当 c(0) c(0)= =-1, c-1, c(0

50、)=0; r(t)=1(t) (0)=0; r(t)=1(t) 时，求系统的响应时，求系统的响应：)(4)0()(2)(4)0()(5)0()0()(:2sRrssRsCcssCcscsCsL )0(2)()2(2)0()0()5()()45(2rsRsccssCss Part 2.4.4 Part 2.4.4 传递函数的求取传递函数的求取衡阳师范学院物理与电子信息科学系衡阳师范学院物理与电子信息科学系第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型46sssssssssssC4545)4)(1(45)(2322 代入条件：代入条件：)(3238)(4teetctt 部分分式分解：部分分式分解：（7

51、 7）当当 c(0) c(0)= =-1, c-1, c(0)=0; r(t)=1(t) (0)=0; r(t)=1(t) 时，求系统的响应时，求系统的响应：141)(3238 sssC拉式反变换：拉式反变换： 传递函数的局限性：传递函数的局限性： （1 1）原则上不反映非零初始条件时系统响应的全部信息；）原则上不反映非零初始条件时系统响应的全部信息； （2 2）适合于描述单输入）适合于描述单输入/ /单输出系统；单输出系统； （3 3）只能用于表示线性定常系统。）只能用于表示线性定常系统。Part 2.4.4 Part 2.4.4 传递函数的求取传递函数的求取衡阳师范学院物理与电子信息科学系

52、衡阳师范学院物理与电子信息科学系第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型47请记住各典型环节的传递函数：请记住各典型环节的传递函数：s-2222e1s2s1Ts2sT11s1Ts1ss1K 延延迟迟环环节节：二二阶阶微微分分：振振荡荡环环节节：一一阶阶微微分分：惯惯性性环环节节：微微分分环环节节：积积分分环环节节：比比例例环环节节： Part 2.4.5Part 2.4.5 典型环节及其传递函数典型环节及其传递函数衡阳师范学院物理与电子信息科学系衡阳师范学院物理与电子信息科学系第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型481 1、放大环节、放大环节/ /比例环节（比例环节（P P）：）：特点

53、：特点：输出不失真、不延迟、成比例地复现输入信号的变化输出不失真、不延迟、成比例地复现输入信号的变化实例实例：运算放大器、电位器、杠杆机构、弹簧、齿轮减速器等运算放大器、电位器、杠杆机构、弹簧、齿轮减速器等KRRZZUU01ioi0 实验模拟：比例环节实验模拟：比例环节c(t)1K)t ( r0KG(s) 单位阶跃响应单位阶跃响应Part 2.4.5Part 2.4.5 典型环节及其传递函数典型环节及其传递函数衡阳师范学院物理与电子信息科学系衡阳师范学院物理与电子信息科学系第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型49T T环节的时间常数环节的时间常数2 2、惯性环节：、惯性环节：特点：输出量

54、延缓地反应输入量的变化规律特点：输出量延缓地反应输入量的变化规律1Ts1G(s) 实验模拟：惯性环节实验模拟：惯性环节单位阶跃响应单位阶跃响应1TsK1Cs1Cs1/ZZ10101io0 RRRRRUUiPart 2.4.5Part 2.4.5 典型环节及其传递函数典型环节及其传递函数衡阳师范学院物理与电子信息科学系衡阳师范学院物理与电子信息科学系第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型503 3、积分环节（、积分环节（I I）：）：特点：理想积分环节其输出量是输入量在时间上的积分特点：理想积分环节其输出量是输入量在时间上的积分实例实例：电容，积分运算放大器：电容，积分运算放大器s1G(s)

55、 Ts1Cs1/1ZZ00io0 RRCsUUi实验模拟：积分环节实验模拟：积分环节单位阶跃响应单位阶跃响应Part 2.4.5Part 2.4.5 典型环节及其传递函数典型环节及其传递函数衡阳师范学院物理与电子信息科学系衡阳师范学院物理与电子信息科学系第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型514 4、微分环节（、微分环节（D D）：）：特点：理想微分环节其输出量是输入量对时间的微分特点：理想微分环节其输出量是输入量对时间的微分sG(s) sCs/1ZZio0 RCsRUUi理想微分的物理模型：理想微分的物理模型：实际微分的物理模型：实际微分的物理模型：1sTsT1sCRsCRsC/1RR

56、ZZUU21iiifiifioi0 可看作微分环节与惯性环节串联，当可看作微分环节与惯性环节串联，当T T2 2 非常小时，可近似看作非常小时，可近似看作理想微分环节理想微分环节Part 2.4.5Part 2.4.5 典型环节及其传递函数典型环节及其传递函数衡阳师范学院物理与电子信息科学系衡阳师范学院物理与电子信息科学系第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型52)t ( r)t (cdt)t (dcT2dt)t (cdT222 运动方程式：运动方程式：1Ts2sT1)s(R)s(C)s(G22 传递函数：传递函数： 阻尼比阻尼比其中：其中：T T振荡时间常数振荡时间常数5 5、振荡环节：

57、、振荡环节：特点：是二阶系统的特例，含有两个储能元件，在运动过程特点：是二阶系统的特例，含有两个储能元件，在运动过程中能量相互交换，使环节的输出带有振荡的特性中能量相互交换，使环节的输出带有振荡的特性实例实例：机械平移系统机械平移系统RLCRLC串联网络串联网络1Ts2sT1sG22 )(Part 2.4.5Part 2.4.5 典型环节及其传递函数典型环节及其传递函数衡阳师范学院物理与电子信息科学系衡阳师范学院物理与电子信息科学系第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型53)t ( rdt)t (dr2dt)t ( rd)t ( c222 运动方程式：运动方程式：1s2s)s(R)s(C)

58、s(G22 传递函数：传递函数：T T环节的时间常数，环节的时间常数， 环节的阻尼比环节的阻尼比6 6、二阶微分环节：、二阶微分环节：实例实例：RLCRLC并联网络并联网络7 7、延滞环节：、延滞环节：)()(trtc运动方程式：运动方程式：sesRsCsG)()()(传递函数：传递函数： 环节的时间常数环节的时间常数特点：输出要隔一定时间后才复现输入信号特点：输出要隔一定时间后才复现输入信号Part 2.4.5Part 2.4.5 典型环节及其传递函数典型环节及其传递函数衡阳师范学院物理与电子信息科学系衡阳师范学院物理与电子信息科学系第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型54比例积分环节

59、（比例积分环节（PIPI）：）：Ts1KCsR1RRRCs1RUU00101i0 实验模拟：比例积分环节实验模拟：比例积分环节Ts1KsG )(Part 2.4.5Part 2.4.5 典型环节及其传递函数典型环节及其传递函数衡阳师范学院物理与电子信息科学系衡阳师范学院物理与电子信息科学系第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型55U节点节点u u：又电流相等：又电流相等：0RUU1CsRCsR1R12o321 1oiRURU 比例微分环节（比例微分环节（PDPD）：）：实验模拟：比例微分环节实验模拟：比例微分环节Ts)1(K) s (G Part 2.4.5Part 2.4.5 典型环节及

60、其传递函数典型环节及其传递函数衡阳师范学院物理与电子信息科学系衡阳师范学院物理与电子信息科学系第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型561CsRCsRRRRRRRR1RRRUU321313221021io 213RRR、 Cs)RRRR1RRRUU2121021io (Ts)1KUUio (比例微分环节（比例微分环节（PDPD）：）：衡阳师范学院物理与电子信息科学系衡阳师范学院物理与电子信息科学系第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型57U节点节点u u：又电流相等：又电流相等：0RUU1CsRCsR11CsRCs2o321 1)/CsCs(RURU1oi 比例积分微分（比例积分微分（