函数的单调性与极值专项训练(假期)

1、、课内训练:1.确定以下函数的单调区间 y=x3 9x2+24x (2) y=x x3 解：y =( x3 9x2+24x) =3x2 18x+24=3(x 2)( x 4)令 3(x 2)( x 4) 0,解得 x4或 xv 2. y=x 9X+24X 的单调增区间是(4 ,)和(, 2)32令 3(x 2)( x 4) v 0,解得 2v xv 4. y=x 9x +24x 的单调减区间是(23221V 3 J 3(2)解：y =(x x) =1 3x = 3(x)=3(x+)( x)333,4)令3x+仝x三0，解得三 vxv 3 .3333y 33 y=x x3的单调增区间是一 一,-

2、.33令 3(x+13)(x-込 v 0,解得 x 仝或 xv三333；3 y=x x3的单调减区间是g,和 332.讨论二次函数 y=ax +bx+c a 0的单调区间.+m )2解：y =(ax +bx+c) =2ax+b,令 2ax+b0,解得bx 2a y=ax2+bx+c( a0)的单调增区间是(,)2a令 2ax+bv 0，解得 x v . y=ax2+bx+c(a 0)的单调减区间是(一,2ab)2a3.求以下函数的单调区间(1)x2/ xy=y 2(3) y=砧 x +xxx29, x 2(1)解：y =(-)xx22t 2 当 xm 0 时，2 v 0,22xxxxyv 0.

3、x 2的单调减区间是一g, 0与0 , +m,X解：y =( r)x2 91x29x 2xx2 92 X9(x29)22 2(X 9)(X29)22x当x工+ 3时，一，x299)2v 0,.yv 0.X、-y=2的单调减区间疋(-8,-3),(-3, 3)与(3 ,+8 ).x2 91 : 1(3)解：y =( .X+x) x 21 1.22VX1 当 x0 时+10, y 0. y=、. X+x 的单调增区间是(0, +R)2Jx4. 确定函数f(x)=x2- 2x+4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函、屮数2解：f (x)=( x -2x+4) =2x-2. 令 2x- 2 0，解得

4、 x 1.当 x (1 , +8)时，f (x) 0, f(x)是增函数.令 2x- 2 v 0，解得 x v 1.f x = x2-2 x +4当 x ( -8,1)时，f (x) v 0, f(x)是减函数.5. 确定函数f(x)=2x3-6x2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.322I22 x3-6 x2 +7解：f (x)=(2 x - 6x +7) =6x - 12x 令 6x2- 12x 0,解得 x2 或 xv 0当 x ( -8, 0)时，f (x) 0, f(x)是增函数.当 x (2 , +8)时，f (x) 0, f(x)是增函数.令 6x - 12xv 0,

5、解得 0vx v 2.当 x (0 , 2)时，f (x) v 0, f(x)是减函数.16. 证明函数f(x)=在(0 , +8)上是减函数.x证法一：用以前学的方法证任取两个数X1, X2 0 , +8设X1 0,X2 0 ,. X1X2 0%x2/ X1 v X2 , X2 X1 0 , 2X1 0. f (X1) - f (X2) 0，即 f(X f (X2)X1X2 f(x)= 1在(0 , +8 )上是减函数X证法二：用导数方法证/ 1 21 2T f (X) =() =( 1) x =2， X 0,. x 0,.XX f(x)= 丄在(0 , +8)上是减函数.X21V 0. f

6、/(x)0 ,X.如果是更复杂一些的函数,7.确定函数f (x) sinx(x 0,2)的单调减区间8.函数y=x+!，试讨论出此函数的单调区间X解：y=(x+-)X=1 1 X2=X212X(X 1)(X 1)令(X 1)(x解得X 1或XV 1.y=x+l的单调增区间是X(8, 1)和(1 , +8).9.令12 v 0,解得1v x V 0 或 0 v x V1. y=x+-的单调减区间是(一1, 0)和(0 , 1)X1 3 1求y= X 4x+ 的极值33解：y =( lx3 4X+1) =X2 4=(x+2)( x 2)令 y3=0，解得X1= 2,X2=2当X变化时,y的变化情况

7、如下表,2-2(-2,2)2,点评：比拟一下两种方法，用求导证明是不是更简捷一些 用导数的符号判别函数的增减性更能显示出它的优越性 .极小值极大值f( 2)当x= 2时，y有极大值且17极大值=x=2 时,y有极小值且y极小值=510.求 y=(x2 1)3+1 的极值2 2 2 2解：y=6x( x 1)=6x( x+1) (x 1)令y=0 解得X1= 1,X2=0,X3=1当x变化时，y, y的变化情况如下表x,1-1(-1,0)0(0,1)11,y 0一0+0+y无极值极小值0/无极值/当x=0时，y有极小值且 y极小值 =0*y1f x = x2-1 3+1/./ 1-1。1x11

8、求以下函数的极值23(1) y=x 7x+6 (2) y=x 27x27(1)解：y =( x 7x+6) =2x 7 令 y =0，解得 x=.2当x变化时，y, y的变化情况如下表777x222y一0+y25极小值 一/725当x= 时，y有极小值，且y极小值=2432Xi = 3, X2=3.y, y的变化情况如下表-3(-3,3)3,极大值54极小值-54当 x= 3 时,y有极大值，且 y极大值=54当x=3时,y有极小值，且y极小值=54 解：y =(x 27x) =3x 27=3(x+3)( x 3)令 y =0,解得 当x变化时，二、课后练习:1 函数f(x) x3 3x2 1

9、是减函数的区间为(D)A . (2,) B . (,2) C . (,0) D . (0, 2)2.函数y=xcosx-sinx 在下面哪个区间内是增函数 B 335A ( 二) B ( n ,2 n ) C (- ,5 ) D (2 n ,3 n )2 2 2 2y=f(x)的图象最有可3.设f ( x)是函数f(x)的导函数，y=f ( x)的图象如右图所示，那么 能的是C x2 2lnx的单调减区间是4.函数f(x)A. (0,1B. 1,) C.(1及(0,1 D. 1,0)及(0,15.函数f (x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f (x) 在(a,b)内的图象如下列图，贝U函数

10、f (x)在开区间(a,b) 内有极小值点A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个解析：函数f (x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f(x)在(a,b)内的图象如下列图，函数 f(x)在开区间(a,b)内有极小值的点即函数由减函数变 为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个，选A.6.函数A.C.7函数y= f (x)的图象关于直线 x=1对称，那么导函数y= f 关于直线x=1对称 关于点1, 0对称3 y= f (x)在定义域(-,3)内可导，2B.关于直线x=-1D.关于点一1,其图象如下列图.记(x)的图象(C )对称0对称y= f(x)的导函数为y= f(X),那么不等式f

11、 (x) 0的解集为A 1A. ;,1U2,3)3U4,823 3鸽U【1,2)2 231 48：,1七書IJ；,3)22 33B.C.D.(32&如果函数 f(x) = ax -x + x 5在(A. (0, + )B. 0,)1处取得极值.9.函数f(x)讨论过点解：2b2b1213a3a32ax bxf (1)和f( 1)是函数A(0, 16)作曲线yf (x) 3ax2 2bx333x在xf (x)的极大值还是极小值； f(x)的切线，求此切线方程.3，依题意，f (1) f ( 1)0,即解得a 1, b 令 f (x)0 ,假设x (f (x)在(, f (x)在(1, 假设x (

12、 1, 所以，f( 1)0,0.0.得x1)二 f (x)1, X(1,x3 3x, f (x) 3x2 3 3(x 1)(x 1).1.)，那么 f (x)0 ,故1)上是增函数，)上是增函数.1)，贝U f (x)0，故f (x)在(1,1)上是减函数.2是极大值；f(1)2是极小值.2解：曲线方程为 y x3 3x，点A(0, 16)不在曲线上. 设切点为M (x, y)，那么点M的坐标满足y0 xo 3x0.22因 f (x0) 3(x 1)，故切线的方程为 y y 3(x0 1)(x x) 注意到点A0, 16在切线上，有32316 (x03冷)3(x01)(0 冷)化简得 x8，解

13、得 X。2.所以，切点为 M( 2,2)，切线方程为9x y 16 0.【点晴】过点求切线，当点不在曲线上时，求切点的坐标成了解题的关键10.设函数f xx21 ax a 0 ,求a的取值范围，使函数f(x)在区间0,上是解:单调函数。当a 1时,2a 0恒成立,一 x 1f(x)在区间0, 上是减函数。2当0 a 1时，解不等式在 0,*一 上f(x)是单调递减速函数f x 0 得 x a v1 a2a在, 上f(x)是单调递增函数1 a2综合得：当且仅当 a 1时，f(x)在区间0,上是单调函数。【点晴】由导数研究函数的单调性在学习中要引起足够的重视32 11.设函数 f (x) =x +bx +cx(x R， g(x)= f (x)- f(x)是奇函数。I求b、c的值。n求g(x)的单调区间与极值。【解】：I： f (x) =x3+bx2+cx,： f(x)=3x2+2bx+c.从而 g(x)= f (x) - f(x)=x +bx