绝对值的三角不等式典型例题

1、1.4绝对值三角不等式教学目标：1.理解绝对值的定义，理解不等式基本性质的推导过程；2.掌握定理1的两种证明思路及其几何意义； 3.理解绝对值三角不等式； 4.会用绝对值不等式解决一些简单问题。教学重点：定理1的证明及几何意义。教学难点：换元思想的渗透。教学过程：一、引入：证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：（1） （2）（3） （4）请同学们思考一下，是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道理？实际上，性质和可以从正负数和零的乘法、除法法则直接推出；而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。因此，只要能够证明对

2、于任意实数都成立即可。我们将在下面的例题中研究它的证明。现在请同学们讨论一个问题：设为实数，和哪个大？显然，当且仅当时等号成立（即在时，等号成立。在时，等号不成立）。同样，当且仅当时，等号成立。含有绝对值的不等式的证明中，常常利用、及绝对值的和的性质。二、典型例题：例1、证明 （1）， （2）。证明（1）如果那么所以如果那么所以 （2）根据（1）的结果，有，就是，。 所以，。例2、证明 。例3、证明 。思考：如何利用数轴给出例3的几何解释？（设A，B，C为数轴上的3个点，分别表示数a，b，c，则线段当且仅当C在A，B之间时，等号成立。这就是上面的例3。特别的，取c0（即C为原点），就得到例2的

3、后半部分。）探究：试利用绝对值的几何意义，给出不等式的几何解释？定理1 如果, 那么. 在上面不等式中,用向量分别替换实数, 则当不共线时, 由向量加法三角形法则: 向量构成三角形, 因此有a+ba+b 其几何意义是什么？含有绝对值的不等式常常相加减，得到较为复杂的不等式，这就需要利用例1，例2和例3的结果来证明。例4、已知 ，求证 证明 （1）， （2）由（1），（2）得：例5、已知 求证：。证明 ，由例1及上式，。注意： 在推理比较简单时，我们常常将几个不等式连在一起写。但这种写法，只能用于不等号方向相同的不等式。四、巩固性练习：1、已知求证：。2、已知求证：。作业：习题1.2 2、3、5

4、1.4绝对值三角不等式学案 预习目标： 1.理解绝对值的定义，理解不等式基本性质的推导过程；2.了解定理1的两种证明思路及其几何意义; 3.理解绝对值三角不等式。预习内容： 1绝对值的定义：， 2. 绝对值的几何意义： 10. 实数的绝对值，表示数轴上坐标为的点A 20. 两个实数，它们在数轴上对应的点分别为， 那么的几何意义是 3.定理1的内容是什么？其证法有几种？4.若实数分别换成向量定理1还成立吗？5、定理2是怎么利用定理1证明的？探究学习：1、绝对值的定义的应用例1 设函数 解不等式；求函数的最值 2. 绝对值三角不等式：探究，之间的关系. 时,如下图, 容易得：. 时,如图, 容易得

5、：. 时,显然有：. 综上,得定理1 如果, 那么. 当且仅当 时, 等号成立. 在上面不等式中,用向量分别替换实数, 则当不共线时, 由向量加法三角形法则: 向量构成三角形, 因此有 它的几何意义就是: 定理1的证明:定理2 如果, 那么. 当且仅当 时, 等号成立.3、定理应用 例2 （1）证明， （2）已知 ，求证 。课后练习 ： 当 成立的充要条件是A B C D对任意实数，恒成立，则的取值范围是 ；对任意实数，恒成立，则的取值范围是 若关于的不等式的解集不是空集，则的取值范围是 方程的解集为 ,不等式的解集是 已知方程有实数解，则a的取值范围为 。 画出不等式的图形，并指出其解的范围。利用不等式的图形解不等式 1、; 2、解不等式：1、; 2、; 3、 ; 4、 1、已知 求证：。 2、已知求证：。3、已知 求证： 1、已知 求证： 2、已知 求证： 参考答案:课后练习 B. 2、a3 3 、a44、a75、-3x=-2或x=0x26、-3=a-17、先考虑不等式在平面直角坐标系内第一象限的情况。在第一象限内不等式等价于： ，.其图形是由第一象限中直线下方的点所组成。同样可画出二、三、四象限的情况。从而得到不等式的图形是以原点O为中心，四个等点分别在坐标轴上的正方形。不等式解的范围一目了然。探究：利用不等式的图形解不等式