几何证明选讲[高考数学总复习][高中数学课时训]

1、几何证明选讲匕根底自测1.如下图，在厶 ABC中，/ C=90自主学习正方形DEFC内接于 ABC, DE/ AC, EF/ BCAC=1, BC=2，贝U AF : FC=.答案122.从不在O O上的一点 A作直线交。0于B、C,且AB- AC=64, OA=10，那么。0的半径等答案 2 .41或63.设p处ABC内一点，且AP =| ab+5ac，那么 ABP的面积F ABC的面积之比等于4.如下图，AC为。0的直径，BDL AC于P, PC=2, PA=8, 贝U CD的长为，cos / ACB=.答案2 . 5555.如下图，PA与圆0相切于A, PCB为圆0的割线，并且不过圆心

2、0,/ BPA=30, PA=2.、3 , PC=1，那么圆0的半径等于答案7例1：如下图，以ABCD勺对角线AC及腰AD为典例剖析邻边作平行四边形 ACED连接EB, DC的延长线交BE于F.求证：EF=BF.证明连接AE交DC于 0.丁四边形ACED为平行四边形，0是AE的中点平行四边形对角线互相平分丁四边形ABCD是梯形，/ DC/ AB.在厶EAB中，0F/ AB, 0是AE的中点,F是EB的中点，即 EF=BF.例2 如下图，在 ABC中，AD为BC边上的中线，F为AB 上任意一点，CF交AD于点E.求证：AE- BF=2DE- AF.证明 过点D作AB的平行线DM交 AC于点M交F

3、C于点N 在厶BCF中, D是BC的中点，DAB是。O的直径,G为AB延长线GCD是O O的割线,过点G作AB的垂线,交AC的 F ,过G作O O的切线,切E四点共圆；自圆O外一点P引切线与圆切于点B , C两点.DNI BF,. DN=1 BF.2/ DN/ AF,：4 AFPA DNE.AE _ DE aF dN 又 dzZbf,.AE=2DE2AFBF即 AE BF=2DE- AF.例3 2022 苏、锡、常、镇三检M为PA的中点，过M引割线交圆于求证：/ MCPZ MPB证明/ PA与圆相切于A,: mA=mb MC/ M为 PA中点，： PM=MA: pM=MB MC :宜=JMB

4、.MC PMvZ BMP：/PMC : BMPA PMC ：Z MCPZ MPB例4(14分)如下图，上的一点， 延长线于点E ,交AD的延长线于点 点为H 求证：(1) C , D, F ,(2) GH=GE GF1连接BC / AB是OO的直径，证明:.Z ACB=90 ./ AG丄 FG, :-Z AGE=90又 Z EACZ BAC,:.Z ABC=Z AEG 又Z FDC=Z ABC, :.Z FDC=Z AEG:.Z FDC+Z CEF=180 .: C , D, F , E四点共圆.勿做商业用途(2)v GH为。O的切线,GCD割线,: gH=gc gd由C , D , F ,

5、E四点共圆,得Z GCEZ AFE, Z GE(=Z GDF:. GCEA GFD : G( =.GF ,GF GD即 GC- GD=GE- GF:CH=GE GF勿做商业用途14分资料个人收集整理,分资料个人收集整理,例5 2022 -徐州三检如下图,圆O是厶ABC的外接圆,过点C的切线交AB的延长线于点D , CD=2： 7 ,AB=BC=3.求BD以及AC的长.资料个人收集整理，勿做商业用途解 由切割线定理得：DB- DA=DC,即 DB (DBBA =DC ,DB+3DB28=0 ,得 DB=4.vZ A=Z BCDDBSA DCABC = DB 得 ac= BC DC = 3*7CA

6、 DC Db 2-1.：如下图，从Rt ABC外作正方形 ABFG及 ACDE CF, BD分AB, AC于 P, Q求证：AP=AQ证明 vZ BAGZ BA目90 +90 =180 ,C A, G三点共线.同理B, A, E三点共线.的两直角边AB, AC向v AB/ GF AC/ ED 二AP = CAGF CGAQBAED BE即 AP= CA 竺，AQ= BA ED .CGBE又 v CA=ED=AE, GF=BA=AQ/ CG=CAAG=AE+BA=BE/ AF=AQ2.如下图, ABC是。O的内接三角形,且 AB=AC AP是Z BAC的外角的平分线,弦 CE的延长线交AP于点D

7、.求证:2AD=DE- DC证明 连接AE,那么Z AED=Z B.v AB=AC, /-Z B=Z ACBvZ QA(=Z B+Z ACB又Z QAF=Z PAC/Z DA(=Z B=Z AED又Z ADE=Z CDA/EAD从而 = ,AD DE别即 AD=DE DC3. ( 2022 南京第二次质检)如下图，圆O的两弦AB和CD交于点E,EF/ CB, EF交AD的延长线于点 F , FG切圆O于点G(1) 求证： DFEA EFA(2) 如果EF=1,求FG的长.(1)证明 v EF/ CB/Z DEF=Z DCBvZ DCB=Z DAB/Z DEF=Z DABvZ DFE=Z EFA

8、:. DFEA EFAEF = FDFA EF: EF=FA FD./ FG切圆于 G : FG=FA FD: EF=FG. : EF=FG / EF=1,：. FG=1.4.：如下图，在 ABC中，ABAC, O是厶ABC的外心，延长 CA到P,再延长AB至U Q,使 AP=BQ求证：O, A, P, Q四点共圆.证明 连接OA OC OP, OQ/ O是厶ABC的夕卜心,: OA=OC:.z OCI=Z OAC由于等腰三角形的外心在顶角的平分线上，:.Z OA(=Z OAQ从而/ OCI=Z OAQ在厶 OCPm OAQ中 ,由 CA=AB, AP=BQ: CP=AQ 又 OOOA/ OC

9、I=Z OAQ:. OCPA OAQ:.Z CP(=Z AQO: O, A, P , Q四点共圆.5. ( 2022 徐州模拟)如下图, DABC的BC边上一点,O O经过点B , D,交AB于另一点E, QO2经过点C, D,交AC于另一点F, O O与O Q交于点G(1) 求证：/ EAG=Z EFG(2) 假设O C2的半径为5,圆心C2到直线AC的距离为3 , AC=10 , AG切O Q 于G,求线段AG的长.资料个人收集整理,勿做商业用途(1)证明 连接GD因为四边形BDGE CDGF分别内接于OO，OO2，: /AE(=Z BDG / AF(=Z CDG资料个人收集整理,勿做商业

10、用途又/ BDG/ CDG180, :./ AEG/AFG=180 .即 A, E, G, F 四点共圆，： / EA(=Z EFGA(2)解因为O Q的半径为5,圆心Q到所以由垂径定理知FC=2 .52 _32 =8 ,又: AF=2, v AG切O Q 于 G, : AG=AF AC=2X 10=20, AG=2 ,5 .直线AC的距离为3 ,AC=10,一、填空题1.如下图，在厶 ABC中，ADDC=BE, DGLCE于 G, EC的长为f 活页作业-是咼线，CE是中线,8 ,那么 E(=.答案42.如下图， ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，BE的延长线交 AC于点尸，_

11、那么AF=AC答案丄3BDC3.如下图，在半圆 0中，AB为直径，CD丄AB, AF平分/ CAB交CD于 E，交CB于F,那么图中相似三角形一共有对答案54.2022 广东理,15PA是圆O的切线，切点为A，PA=2, AC是圆O的直径,PC与圆O交于点B，PB=1，那么圆O的半径R=.资料个人收集整理，勿做商业用途答案 ,35. 如下图，矩形 ABCD中, AB=12，AD=10，将此矩形折叠使点B落在AD边上的中点E处，那么折痕FG的长为.答案6566. 如下图， AP是圆O的切线，P为切点，AC是圆O的割线，与圆O交于B, C两点，圆心O在/PAC的内部，点M是BC的中点.那么/ OA

12、IMZ APM的大小为.答案90 7. 如下图，圆O的直径AB=6, C为圆周上一点，BC=3.过C作圆的切线I，过A作I的垂线AD, AD分别与直线l、圆交于点 D E,那么/ DA=,线段AE的长为.答案30 38. 2022 徐州质检如下图，锐角 ABC内接于O O,/ ABC=60,Z BAC=36,作 OE AB 交劣弧于点E,连结EC那么/ OE=.答案12 二、解答题9. ：如下图，在 ABC中，D是BC的中点，F是BA延长线上的点，FD与AC交于点E.求证：AE- FB=EC- FA证明过A作AG/ BC交DF于G点.A E DA/ AG/ BD,FA _ AGFB BD又 v

13、 BD_DCFA AGFB DCDC/ AG/ CDAG = AE DC ECFA = AE/ AE - FB=EC- FAFB EC10.：如下图，在 Rt ABC中，/ AC母90 CD丄 AB于 D, DEX AC于 E，DF丄 BC于 F. 求证：AE - BF - AB=CD.证明 vZ ACB=90 , CD丄 AB/. cD=ad bd,故 cD=aD - BD.又 v Rt ADC中, DEL AC,Rt BDC中, DFL BC/ AD=AE - AC, bD=BF - BC/ CD=AE BF - AC- BC又v AC- BC=AB- CD,/ cD=AE - BF -

14、AB - CD,即 AE BF - AB=cD.11. 2022 苏南四市二检从。O外一点P引圆的两条切线PA, PB及一条割线PCD A , B为切点.求证：些=匹.BC BD证明v PA为。O的切线，/ PAC=Z PDA而Z APC=Z DPA 二 PA3A PDA那么 AC = PA 同理 BC = PB AD PDBD PDAC _ BC . AC _ AD. -AD BD BC BD12. (2022 宁夏)如下图，过圆 O外一点M作它的一条切线，切点为A,过A点作直线AP垂直于直线OM垂足为P.资料个人收集整理,勿做商业用途(1) 证明：OM Of=oA;(2) N为线段AP上一

15、点,直线NB垂直于直线ON 线交直线ON于K证明：Z OKM9O .且交圆O于B点.过B点的切证明 因为MA是圆O的切线，所以OAL AM又因为APLOM在Rt OAM中,由射影定理知oA=om op(2)因为BK是圆O的切线,BN OK同(1),有 oB=on OK 又 OB=OA所以 OP- OM=ON- OK 即 ON =OM .OP OK又Z NOI=Z MOK 所以 ONMA OMK 故Z OKMZ OPN90 .13. (2022 江苏)如下图,设厶ABC的外接圆的切线 AE与BC的延长线交于点 E, Z BAC的平分线与BC交 于点D.求证：ED=ECEB证明如下图，因为AE是圆的切线，所以/ ABC=Z CAE又因为AD是/ BAC的平分线，所以/ BAD=Z CAD从而/ ABC+Z BAD=Z CAEfZ CAD因为/ ADE=Z ABC+Z BADZ DAE=Z CAEfZ CAD所以Z ADE=Z DAE,故 EA=ED因为EA是圆的切线，所以由切割线定理知，EA=EC- EB,而 EA=ED,所以 ED=EC EB.14