统计热力学 复习题及答案

1、第三章 统计热力学 复习题及答案1混合晶体是由晶格点阵中随机放置NC个C分子和D分子组成的。（1） 证明分子能够占据格点的花样为 ，若，利用斯特林公式证明（2） 若2，利用上式计算得=16，但实际上只能排出6种花样，究竟何者正确？为什么？解：（1）证明：取的全排列，则总共排列的花样数为种，现个相同的C和个相同的D。故花样数为 当时取自然对数：（2）实际排出6种花样是正确的，因为Stirling是一个近似公式适用于N很大时才误差较小。而在N为4时，用 来计算就会产生较大误差。2（1）设有三个穿绿色、两个穿灰色和一个穿蓝色制服得军人一起列队，试问有多少种对型？现设穿绿色制服得可有三种肩章并任取其中

2、一种佩带，穿灰色制服的可有两种肩章，而穿蓝色的可有两种肩章，试 列出求算队型数目的公式。（2）试证明含有N个粒子的定位体系，某种分布- 的微观状态数为（gI为相应的简并度）.答：（1）取6个不同的全排列，应有6！种花样，但其中3种完全相同互换位置不能导致新花样另两种完全相同（同样这2种相同物种的全排列为2！种）故排列花样数为：种，另一种只有一种这3种的全排列为3！种，取6个不同的全排列总共有6！种花样，而穿绿色制服3个人有3种肩章，任取一种佩带，相当于有简并度为5（）。就有33种花样。穿灰色的有两种肩章相当于简并度为2，就有22种而穿蓝色的有4种肩章相当于简并度为就有41种，但其中有3个穿绿色

3、制服的戴相同肩章，总共有3！种花样，2个穿灰色的戴相同肩章有2！种 （2）在N个不同粒子中取出N1个粒子放在中，其放法为种。在能级上有g1个不同状态，故在上总共有种放法，同理在从（N-N1）中取出N2个粒子放在上的放法为种放法。所以这种分布的微观状态数：3在公园的猴舍中陈列着三个金丝猴和两种长臂猿，金丝猴有红、绿两种帽子，仍戴一种，而长臂猿可在黄、灰和黑中选戴一种，试问陈列时间可出现几种不同的情况，并列出求算公式。解：设N1=3，N2=2，而g1=2，g2=3则种，因为每一种动物必须戴：三个金丝猴：（红、红、红）（绿、绿、绿）（红、红、绿）（绿、绿、红）共4种。两种长臂猿：（黑、黑）（灰、灰）

4、（黄、黄）（黑、灰）（黄、灰）（黑、黄）。共6种。总共为种。4已知对非定位体系试证明式（3.24），（3.25）和（3.26）。解：对定位体系：（第二题的结果） 对非定位体系： 摘取最大项原理：（定位体系） 对非定位体系： 微分：用拉格朗日乘因子法，求得：（书中189页） ，即 ， ， ， ， ，与定位体系的玻兹曼分布公式相同非非5试证明玻兹曼分布的微观状态数公式为式中，证：利用定位体系任意分配方式公式：（玻兹曼统计是指经典统计认为粒子是可区别的，即定位体系）取自然对数：对最概然分布： 6设有一圆柱形铁皮筒，体积为铁皮面积为，试用拉格朗日乘因子法当铁皮面积为最小时，圆柱半径（R）和高（L）之间

5、的关系？并算出至少要消耗多少面积的铁皮？不讨论（可自己求解）解： 极值时： （圆柱半径R与高之间的关系） 设：， （1） （2） （3）由（2） （4）（4）代入（1）， 由 7试用配分函数表示出单原子理想气体的吉布斯自由能G和焓H。答：理想气体为非定位体系：对单元子分子，只有电子核和平动配分函数。 ， ， （！为常数。与体积无关） ， ， 吉布斯亥姆霍兹公式8CO2气体可作为理想气体，并设其各个自由度都服从经典的能量均分原理，已知试用计算方法判断CO2是否为线性分子。解：由 （第一章中讨论到理想气体）. . 设：若CO2为线性分子，补：平动有3个自由度。根据其总自由度为3n。振动自由度应为。

6、 由于一个振动的能量中的表达式中包括2个平方项（83页 小字部分），振动的动能和振动的位能，每个平方项都提供的能量（若为1mol。则为）若一个分子有七个平动自由度，r个转动自由度。S个振动自由度。则：总能量， 。 若CO2为线性分子.与原来题中给的条件求出的一致。故假设正确，CO2是直线型分子。9四种分子的有关参数如下：分子Mtr/kv/kH2287.55976HBr8112.23682N2282.893353Cl2710.35801问在同温同压下，那种气体的摩尔平动熵最大？那种气体的摩尔转动熵最大？那种气体的转动基本频率最小？解：先写出平动熵，转动熵及振动特征温度的表达式：（沙克尔特鲁德公式

7、）（物质量为1mol. ）由公式可见，粒子的质量m越大，平动熵则越大，所以HBr的摩尔熵最大。 非非(双原子分子：)非m说明转动特征温度越小，非m越大，所以Q2的非m最大。 所以振动特征温度越小，越小，所以CO2的振动基本频率最小。10请定性说明下列各种气体，为什么在不同温度下的Cv，m值不等，找出其中的变化规律。 298.158002000He12.4812.4812.48N220.8123.1227.68Cl225.5328.8929.99CO228.8143.1152.02解：因为在常温下（表中298.15），不考虑振动和电子配分函数，在较高温度（表中800K）下，振动配分函数有贡献。但电子配分函数的贡献为零。在更高温度