刘克忠-九章数学中的等差数列等比数列

1、?九章算术?中的等差、等比数列陕西省榆林市横山区横山中学刘克忠2022年9月26日，教育部考试中心下发?关于 2022年普通高考考试大纲 修订内容的通知?，公布了 2022年各学科高考大纲的主要修订内容.在能力要求 内涵方面，增加了根底性、综合性、应用性、创新性的要求，特别增加了数学文 化的要求.提起数学文化，首先想到的就是中国古代数学文化 中国古代数学取得了极 其辉煌的成就，?九章算术?是代表作?九章算术?系统总结了战国、秦、汉时 期的数学成就全书采用问题集的形式，收有246个与生产、生活实践有联系的 应用问题，其中每道题有问题目、答答案、术解题的步骤，但没有证明， 有的是一题一术，有的是多

2、题一术或一题多术。它的出现，标志着中国古代数学 体系的形成数列是?九章算术?的一个重要研究内容在衰分、均输、盈缺乏中共有6 个等差数列问题，4个等比数列问题，现将这10个问题整理如下，供参考.【例1】次分之，问各得几何？第三章一衰分一1【译文】现有大夫、不更、簪袅、上造、公士等五个不同爵次的官员，共猎 得五只鹿，要按爵次上下分配，问各得多少鹿？【注释】爵次：爵名的次序，按?汉书百官公卿表?：“爵一级曰公士，二上 造，三簪袅，四不更，五大夫， ，二十彻侯.皆秦制.“衰分：比例分配问题.【解析】公士得鹿数为a，那么上造、簪袅、不更、大夫所得鹿数依次为2a、3a、4a、5a，于是，15a 2a 3a

3、 4a 5a 5 ,解得a丄.所以，五人所得鹿数分别为：大夫 -只、不33更4只、簪袅1只、上造-只、公士 -只.333【例2】有大夫一人后来，亦当禀五斗.仓无粟，欲以衰出之，问各几何？第三章一衰 分一6【译文】现要给大夫、不更、簪袅、上造、公士等五个不同爵次的官员，按 照一定比例分配粟，共15斗，后又来了一位大夫，也应该发给 5斗粟，但仓中 没有粟，需要从前面5人中按比例拿出一局部给后来的大夫， 问前面5人各出多 少粟？【解析】由例1知，原来5人中，公士、上造、簪袅、不更、大夫所得粟数 构成等差数列，记为an，且首项a1，公差da1，那么a1a2a3a4a515，所以ai 1, a2 2 ,

4、 a3 3 , a° 4 , a§ 5.现需要将15斗粟从新分配，按照公士、上造、簪袅、不更、大夫、新大夫的顺序，那么这6人分配数依次为bi , b2,4, 2i,33,4,b2，a3d，a4b4，a4bi42444b4 b5 b615，解得bi 3.所以公士、上造、簪袅、不更、大夫所出粟数依b3，b4，b5，b6，前5项仍然构成等差数列，公差d bi且b5 b6，于是d b? b3次为bi， a?45 a5 匕5.554【例3】尺各重几何？第六章一均输一I7【译文】今有金杖5尺.截本端一尺，重4斤；截末端一尺，重2斤.问依次 每尺各重多少？【注释】“均输：合理摊派赋税；用

5、衰分术解决赋役的合理负担问题.今有 术、衰分术及其应用方法，构成了包括今天正、反比例、比例分配、复比例、连 锁比例在内的整套比例理论.西方直到I5世纪末以后才形成类似的全套方法. 此题采用“锥形衰.李籍?九章算术音义?：“下多上少，如立锥之形也即是 以5、4、3、2、I为列衰.【解析】由题设条件知，自上而下各段重量构成等差数列，记务，首项q 2，I 第5项a54，项数n 5，设公差为d，由等差数列性质知，a5 ai 4d，d -，575因此，a2 -，a3 3， a4 -.所以，从上到下，依次每尺重为：2斤、一斤、3222斤，-斤，4斤.2【例4】今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得

6、几何？第六章 均输一I9【译文】现有5人分5钱，要使上面2人所得的与下面3人所得的相等，问 各得的多少钱？【解析】此题采用“锥形衰钱数构成等差数列，其中得钱较多的2人的得钱数的和与得钱较少的3人的得钱 数的和相等，设5人得钱数依次为ai， a2， as， a4， a5，公差为d，那么有aia2a3a4a535，ai a2a3 a°a5，解得印-，d4i，于是a2 ii，-2a3a4a563【例5】少？第六章一均输一19【译文】现有一根9节的竹子，下面3节的容积共4升，上面4节的容积共 3升.问使中间两节也均匀变化，每节容积是多少？【解析】此题采用“锥形衰求解，由题设条件知，自上而下各

7、节容积构成 等差数列，记and7因此，a246235360106774，a3，a4，a5，a66666336666116666812788495a7，a8a?662266366节容积为ai，公差为d解得ai3，a4a7a8a94 ，那么 aia2as【例6】1322，3733，三里，日增十三里.驽马初日行九十七里，日减半里.良马先至齐，复还迎驽马 问几何日相逢及各行几何？第七章一盈缺乏一 20【译文】 一天走193里，以后每天增加13里.驽马第一天走97里，以后每天减少-里.2良马先到齐国，再返回迎接驽马问良马、驽马经过多少天相逢，各自走了多少 路？【注释】“盈缺乏：即双设法问题；提出了盈缺乏

8、、盈适足和缺乏适足、两盈和两缺乏三种类型的盈亏问题，以及假设干可以通过两次假设化为盈缺乏问题 的一般问题的解法这也是处于世界领先地位的成果，传到西方后，影响极大 【解析】由题设条件知，良马每天走的路程构成等差数列 an ,首项为a1 193公差为d 13，前n项和为Sn ;驽马每天走的路程构成等差数列0 ,首项为1b1 97，公差为m 2 '前n项和为T"；设经过n天相遇，那么T" 6000.即 193n 血 9 13 97n9 13000 2，化简 5n2 227n 48000.2 2 2227(147529n15.7110里.【例1】今有牛、马、羊食人苗.苗主责

9、之粟五斗.羊主曰：“我羊食半马.马 主曰：“我马食半牛.今欲衰偿之，问各出几何？第三章一衰分一 2【译文】今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半.马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛 的一半.现打算按这样的比例归还，牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟？【解析】5人赔偿a斗，那么马主人赔偿2a斗，牛主人赔偿4a，于是a 2a 4a 5 , a -,7 所以，牛主人赔偿20斗，马主人赔偿2斗，主人赔偿-斗.777【例2】今有女子善织，日自倍，五日织五尺问日织几何？第三章一衰分4【译文】今有一女子很会织布，每天加倍增长，5天共织布5尺，问每天各织多少布？【解析】由

10、题设条件知，该女子从第二天起，每天织布数是前一天的2倍，尺，那么x 2x 4x 8x 16x5，x -.所以，第一天织布数为 -尺，第二天织3131布数为10尺，第三天织布数为15尺，第四天织布数为 空 尺，第五天织布数为 却31313131尺【例3】今有蒲生一日，长三尺.莞生一日，长一尺.蒲生日自半莞生日自倍. 问几何日而长等？第七章一盈缺乏一 11【译文】现有蒲生长1天，长为为前一天的一半，莞的生长长度为前一天的 2倍，问几天后蒲、莞长度相等？【解析】由题设条件知，蒲的生长长度构成等比数列an，首项为a1 3，公1比为q 2，前 n项和为；莞的生长长度构成等比数列d，首项为“1，公1 2n1 2，1 C门比为p 2，前n项和为Tn ;设门天后长度相等，Sn Tn，即 21 12解得 n log26.【例4】今有垣厚五尺，两鼠对穿.大鼠日一尺，小鼠亦日一尺.大鼠日自倍, 小鼠日自半.问几何日相逢？各穿几何？第七章一盈缺乏一 12【译文】今有墙厚五尺，两鼠相对挖墙.大鼠第一天挖1尺，小鼠第一天也挖 1尺.大鼠挖墙逐天增加1倍，小鼠挖墙逐天减为一半.问大鼠、小鼠几天相遇？ 各挖墙多少？【解析】由题设条件知，大