勾股定理16种经典证明方法与在实际生活中的应用

1、【证法1】课本的证明做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c,再做三个边长分别为 a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等.即2 2 2a b 4 ab c2【证法2】邹元治证明4 -ab2整理得a2 b2c2把这四个直角三C G D三点在一条直线上lab以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，那么每个直角三角形的面积等于 角形拼成如下列图形状，使 A E、B三点在一条直线上， B F、C三点在一条直线上，/ Rt HAE 也 Rt EBF, / AHE = / BEF/ / AEH

2、 + / AHE = 90o, / AEH + / BEF = 90 o. / HEF = 180o 90o= 90 o.四边形EFGH是一个边长为c的 正方形.它的面积等于c2./ Rt GDHB Rt HAE, / HGD = / EHA/ / HGD + / GHD = 90o, / EHA + / GHD = 90o.又/ GHE = 90o, / DHA = 90o+ 90 o= 180 o. ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于4 1 ab c22a2 b2c2【证法3】赵爽证明以a、b为直角边ba，以c为斜 边作四个全等的直角三角形，那么每个直角1ab三角形的面积

3、等于把这四个直角三角形拼成如下列图形状/ Rt DAH 也 Rt ABE, / HDA = / EAB/ / HAD + / HAD = 90o, / EAB + / HAD = 90o, ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2./ EF = FG =GH =HE = b a ,/ HEF = 90 o. EFGH 是lab22.a【证法个边长为ba的正方形，它的面积等于b a 2ba2c2b24】1876年美国总统 Garfield 证明b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形, 角形拼成如下列图形状，使 A、E、B三点在一条直线上./ Rt EAD 也 Rt CBE, / A

4、DE = / BEC/ / AED + / ADE = 90o, / AED + / BEC = 90 o. / DEC = 180o 90o= 90 o. DEC是 一个等腰直角三角形，1 2c它的面积等于2.又 / DAE = 90o, / EBC = 90 o, AD / BC以a、那么每个直角三角形的面积等于-ab2.把这两个直角三 ABCD 是1 a b 22 .2 a b个直角梯形，它的面积等于22 !ab2c2【证法5】梅文鼎证明 做四个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为 使D E、F在一条直线上.过C作AC的延长线交 DF于点P.，且 Rt GEF 也 Rt EBD,

5、a、b,斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形， D、E、F在一条直线上 / EGF = / BED/ / EGF + / GEF = 90 / BED+ / GEF = 90 即 又 / BEG =180o 90o= 90 o./ AB = BE = EG = GA = c , ABEG是一个边长为c的正方形. / ABC + / CBE = 90 o./ Rt ABC 也 Rt EBD,/ ABC = / EBD/ EBD + / CBE = 90 o./ CBD= 90o./ BDE = 900,/ BCP = 90 o,BC = BD = a . BDPC是一个边长为a的正方形.

6、同理，HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形c2GHCB的面积为S,那么12 ab,2 ab 2b2a2b2c2【证法6】项明达证明做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ba，斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如下列图的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.过点Q作QP/ BC,交AC于点P. 过点B作BM! PQ垂足为M再过点F作FN丄PQ垂足为N./ / BCA = 90 o, QP/ BC / MPC = 90o ,/ BM丄 PQ / BMP = 90o , BCPM是 一个矩形，即/ MBC = 90o./ / QBM + / MBA = / Q

7、BA = 90o , / ABC + / MBA = / MBC = 90o , / QBM = / ABC又 / BMP = 90o , / BCA = 90 o , BQ = BA = c Rt BMQB Rt BCA 同理可证Rt QNF也Rt AEF从而将问题转化为【证法 4】梅文鼎证明.【证法7】欧几里得证明做三个边长分别为 a、b、c的正方形，把它们拼成如下列图形状，使BF、CD 过 C作 CL丄 DE 交AB于点M,交DE于点L./ AF = AC , AB = AD ,/ FAB = / GAD FAB 也 GADa、1a22A|pbH、C、C/aBB三点在一条直线上，连结/

8、FAB的面积等于 GAD的面积等于矩形 ADLM 的面积的一半，2 矩形ADLM的面积=a同理可证，矩形 MLEB的面积正方形ADEB的面积=矩形ADLM勺面积+22,2卄c a b ，即=b2矩形MLEB的面积a2 b2 c2GbBAcEDL【证法8】利用相似三角形性质证明 如图，在 Rt ABC中，设直角边 AC 在厶 ADCD ACB中，/ / ADC = / ACB = 90o,/ CAD = / BAC ADC s ACBAD： AC = AC : AB,即AC2BC的长度分别为a、b,斜边AB的长为c,过点C作CDLAB,垂足是D.AD ? AB同理可证, AC2 CDB S AC

9、B从而有BC2 ADDB ?ABBC2 BD ?ABAB2，即 a2b2c2【证法9】做两个全等的直角三角形, 把它们拼成如下列图的多边形 CB的延长线垂直，垂足为/ / BAD = 90o,/ / DAH = / BAC杨作玫证明设它们的两条直角边长分别为过A作AF丄AC, AF交GT于 E, DE交 AF 于 HPAC = 90 0,b ba，斜边长为c.再做一个边长为c的正方形. F, AF 交 DT于 R.a、过B作BP丄AF,垂足为 P.过D作DE与又 / DHA = 90o,/ BCA = 90 o, AD = AB = c , Rt DHA 也 Rt BCA DH = BC =

10、a , AH = AC = b .由作法可知，PBCA是一个矩形, 所以 Rt APB 也 Rt BCA 即 PB = CA = b , AP= a，从而 PH = b a./ Rt DGT 也 Rt BCA ,Rt DHA 也 Rt BCA Rt DGT 也 Rt DHA . DH = DG = a，/ GDT = / HDA .又 / DGT = 90o,Z DHF = 90 o,/ GDH = / GDT + / TDH = / HDA+ / TDH = 90o, DGFH是一个边长为a的正方形. GF = FH = a . TF丄 AF, TF = GT GF = b a . TFPB

11、是一个直角梯形，上底 TF=b a,下底BP= b，高FP=a +b a 用数字表示面积的编号如图，那么以c为边长的正方形的面积为c2 sS2S3S4S5.SbS3S41 bb a ? a b ab21 ab2= 2S5SbS9S3S4b2ab2Ss= b2 S Sb .c2SiS2bSiSbSbS9=b2S2S9 = b2 a2.a2b2c2把代入，得【证法10】李锐证明设直角三角形两直角边的长分别为a、 b成如下列图形状，使 A、E、G三点在一条直线上ba，斜边的长为c.做三个边长分别为 .用数字表示面积的编号如图 .a、b、c的正方形，把它们拼Bb8D613M7FE45c2 C/ / T

12、BE = / ABH = 90 o, / TBH = / ABE又 / BTH = / BEA = 90 o,BT = BE = b , Rt HBT 也 Rt ABE HT = AE = a . GH = GT HT = b a.又 / GHF + / BHT = 90 o,/ DBC + / BHT = / TBH + / BHT = 90 o, / GHF = / DBC/ DB = EB ED = b a,/ HGF = / BDC = 90o, Rt HGF 也 Rt BDC 即 S? S2 .过Q作QI丄AG 垂足是 M 由/BAQ = / BEA = 90 o,可知 / ABE

13、=/ QAM 而 AB = AQ = c，所以 Rt ABE 也 Rt QAM.又 Rt HBT 也 Rt ABE 所以 Rt HBT 也 Rt QAM.即 S S5 .由 Rt ABE 也 Rt QAM 又得 QM = AE = a，/ AQM = / BAE/ / AQM + / FQM = 90o, / BAE + / CAR = 90o, / AQM = / BAE / FQM =/ CAR又；/ QMF=/ ARC = 90o, QM = AR = a , Rt QMFB Rt ARC 即 S4 S .-c2S1S2S3S4S5aS1bS3S7又；S7 S2S8S5QS6? ? ?2

14、2a bS1 S6 S3 S7 S8=S1 S4 S3 S2 S52=C , 即 a2 b2 c2.【证法11】利用切割线定理证明在Rt ABC中，设直角边 BC = a , AC = b，斜边AB = c .如图，以B为圆心a为半径作圆，交 AB及AB的延长线 分别于D、E,贝U BD = BE = BC = a .因为/ BCA = 90o,点C在O B上，所以AC是O B的切线.由切割线定理，得AC2 AE?ADAC = b，斜边AB = c 如图.过点A作AD/ CB过点B 作 BD/ CA 贝U ACBD=AB BE AB BD=c a c a2 2=c a ,即 b2 c2 a2,

15、a b c .【证法12】利用多列米定理证明 在Rt ABC中，设直角边 BC = a ,为矩形，矩形 ACBD内接于一个圆.根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有AB ?DC AD ? BC AC ? BD/ AB = DC = c , AD = BC = a ,AC = BD = b ,AB2 BC2 AC2，即 c2 a2 b2, a2 b2 c2.【证法13】作直角三角形的内切圆证明在Rt ABC中，设直角边 设OO的半径为r.BC = a , AC = b，斜边 AB = c.作Rt ABC的内切圆O O,切点分别为 D E、F如图，/ AE = AF , B

16、F = BD , CD = CE, ACBCABAE CE BDCDAF BFCECD = r + r = 2r,2r2rc2rb22abrcS ABCab22ab4S ABC又S ABC SAOB S BOCS AOC1cr21ar21br4 r24 r2rcrc2r c cr2rc4S ABC2ab2ab 2ab2c ,14】利用反证法证明b22a【证法如图，在 Rt ABC中，设直角边 AC2 . 2 2 . 2假设a b c ,即假设 ACAB ? AB = AB ADBC2b2a、b,AB“，那么由BC的长度分别为BC22斜边AB的长为c,过点C作CD!AB,垂足是D.AB2可知AC

17、 $ AB ? AD，或者 在 A ADCDA ACB中,/ / A = / A,.假设 AD: ACM AC AB,/ ADO / ACB在 A CDB和 A ACB中,/ / B = / B,.假设 BD BCM BC AB,/ CDBZ ACB又 / ACB = 90o,. / ADO 90o,/ CDM 90o.2这与作法CDL AB矛盾.所以，AC b2BD = AB ? ADAB ?BD .即 AD：BC2AB ?BDACM AC AB,或者 BD: BO BC: AB2AB的假设不能成立.a2c2【证法15】Iab2 ab2ab辛卜松证明B设直角三角形两直角边的长分别为b，斜边的

18、长为方左图所示的几个局部，那么正方形ABCD的面积为c.2作边长是a2 b2a+b的正方形ABCD 把正方形ABCD划分成上2ab ;把正方形 ABCD划分成上方右图所示的b2几个局部，那么正方形 ABCD的面积为a2 b2 2ab 2ab c2a2b2ab2c2c2=2ab c2【证法16】陈杰证明 设直角三角形两直角边的长分别为 拼成如下列图形状，使 E、H M三点在一条直线上.用数字表示面积的编号如图 在EH = b上截取ED = a，连结DA DCa、b ba，斜边的长为c.做两个边长分别为a、b的正方形ba,把它们那么 AD = c ./ EM = EH + HM = b + a ,

19、 ED = a , DM = EM ED = b a a = b .又 / CMD = 90o, CM = a,/ AED = 90o, AE = b , Rt AED 也 Rt DMC / EAD = / MDC DC = AD = c ./ / ADE + / ADC+ / MDC =18Gb,/ ADE + / MDC = / ADE + / EAD = 90 o,/ ADC = 90 o. 作AB/ DC CB/ DA那么ABCD是一个边长为 c的正方形./ / BAF + / FAD = / DAE + / FAD = 90 o, / BAF=/ DAE连结 FBA ABF和 A A

20、DE中, AB =AD = c , AE = AF = b，/ BAF=/ DAE A ABF 也 A ADE / AFB = / AED = 90o， BF = DE = a . 点B、F、G H在一条直线上.在 Rt A ABF和 Rt A BCG中,AB =BC =c，BF =CG =a，Rt A ABF 也 RtA BCG.2 cS2S3S4S5，b2 S1 S2 S6 ，a S3 S7 ，S1S5S4S6S72 ab2S3S7S1S2S6=S2S3S1S6S7=S2S3S4S5=c2a2b2c2勾股定理在实际生活中的应用勾股定理是几何中几个最重要的定理之一，它揭示了一个直角三角形三边之间的数 量关系，是我们在直角三角形中解决边长计算问题的重要理论依据，同时勾股定理在我们实际生活中应用也很广泛。例：在圆柱体中底面半径是6,高为8,假设一只小虫从A点出发，沿着圆柱体的侧面爬行到C点求小虫爬行最短路程？思路解析：小虫从A点出发，沿着圆柱体的侧面爬行到 C点，要在侧面上比拟路线 的长短十分困难，而在平面上找两点间的最短路程是最容易。因而我们假象把这个圆柱 体沿BC剪开