千题百炼——高考数学100个热点问题(一)：第12炼-复合函数零点问题

1、第 12 炼 复合函数零点问题一、根底知识：1、复合函数定义：设 y f t ， t g x ，且函数 g x 的值域为 f t 定义域的子集， 那么y通过t的联系而得到自变量 x的函数，称y是x的复合函数，记为 y f gx2、 复合函数函数值计算的步骤：求 y g f x 函数值遵循“由内到外的顺序，一层层 求出函数值。例如： f x 2x,g x x2 x，计算g f 2解： f 222 4 g f 2 g 4123、 函数值求自变量的步骤：假设函数值求x的解，那么遵循“由外到内的顺序， 一层层拆解直到求出 x的值。例如：f x 2x，g x x2 2x，假设g f x 0， 求x解：令

2、 tf x ，那么 g t0t 2 2t 0 解得 t 0, t 2当 t 0fx02x0，那么x当 t 2fx22x2，那么 x 1综上所述：x1由上例可得，要想求出 g f x 0的根，那么需要先将 f x 视为整体，先求出 f x 的值，再求对应 x的解，这种思路也用来解决复合函数零点问题，先回忆零点的定义：4、 函数的零点：设f x的定义域为D，假设存在x0 D，使得f xo0，那么称x x 为 f x 的一个零点5、 复合函数零点问题的特点： 考虑关于x的方程g f x 0根的个数，在解此类问题时， 要分为两层来分析，第一层是解关于 f x 的方程，观察有几个 f x 的值使得等式成

3、立； 第二层是结合着第一层 f x的值求出每一个 f x被几个x对应，将x的个数汇总后即为 g f x 0 的根的个数6、求解复合函数 y g f x 零点问题的技巧：1此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出f x ,g x的图像的个数，再根据个数与X的图像特点，分配每个函数值fi X被几个X所对应，从而确2假设零点个数求参数的范围，那么先估计关于f X的方程g f X 0中f X解定fi X的取值范围，进而决定参数的范围复合函数：二、典型例题例1 :设定义域为R的函数fx1X 1，X假设关于X的方程1,X1f2 x bf x c 0 由 3 个不同的解 x-!,x2,x3，那

4、么 x； x； x；x的x的个数思路：先作出f X的图像如图：观察可发现对于任意的y0,满足y0分别为2个yo O,yo 1丨和3个y。 1，有3个解，从而可得f X 1必为f2x bfXc 0的根，而另根为1或者是负数。所以fX1，可解得：X10,X21,X32 22，所以X1X22X35答案5例2关于x的方程X213 X2120的不相同实根的个A数是2/RA.3B.4C. 514?i2T xD.8思路可将X21视为一个整体，即tXx2 12，那么方程变为t23t20可解得：t 1或t 2，那么只需作出t x |x2 1的图像，然后统计与t 1与t 2的交点总数即可,共有5个例3 :函数f(

5、x) |X 1 |X答案：C|x 11，关于 x 的方程 f2(x) a f (x) b 0Xa,b R丨恰有6个不同实数解，那么 a的取值范围是 思路：所解方程f2(x) a|f(x)0可视为|f x| a f x| b 0 ,故考虑作出f x |的图像:2-,x 1x2x,0 x2x, 12,xx如图，由图像可知，假设有62,0f22，所以 a解得答案:1,0 x例4:定义在R上的奇函数，当x 0时，f2 ,x0的实数根个数为D. 92，那么关于x的方C.B.2答案：BA. 6小炼有话说：在作图的过程中，注意确定分段函数的边界点属于哪一段区间。例5 :假设函数f x32x axbx c有极

6、值点MX，且f为 为，那么关于x的方程23 f x 2af xb 0的不同实根的个数是思路：f x3x22ax b由极值点可得：x.(,x2为3x2 2ax b 0的两根，观察到方程与3 f x22af x以可得22af xi xXi，0结构完全相同，所0的两根为可判断出f2 Xx2X2 ,其中fiXi，假设XiXiX2 ,Xi个交点，而f2Xix2，可判断出 x是极小值点， x2是极大值点。且f2 X X2 Xi f Xi ，所以y fi x与f x有两个交点，而 f2 X与f x有一个 交点，共计3个。综上所述，共有 3个交点答案：AX c 0恰有七个不相同例6 :函数f x|x2 4x

7、3，假设方程f x 2 bfD. 0,2的实根，那么实数b的取值范围是A. 2,0B. 2, iC. 0,i思路：考虑通过图像变换作出f x的图像如图，因为2f x bf x c 0最多只能解出2个f x，假设要出七个根，贝yfi Xi,f2 X 0,i， 所以b fi x f2 x i,2，解得：b 2, i答案：B例7:函数fXXx，假设关于e2x的方程f x mf xm i 0恰有4个不相等的实数根，那么实数m的取值范围是A. 1,2 U 2,eeib. -,i eiC. i,i -eiD. - ,e e的方程f2 xmf x m 10中,f1 x0,1e,f2 x1Je，从而将问题转化

8、为根分布问题，设t f x，那么 t2mtm 10的两根t10,1,t2,，设eeg00m10Ag t t2 mtm1，那么有111 ,解得m 1,1 -g02mm 10eeee思路:，分析f X的图像以便于作图,xx，X ex 0 时，f x 1 x ex，从而f在1,单调递减，f 1正半轴为水平渐近线；当 x1，且当x,y 0，所以xe0 时，f' x x 1 e x，所以x在0,1单调递增,0单调递减。由此作图，从图像可得,假设恰有4个不等实根,那么关于f x小炼有话说：此题是作图与根分布综合的题目,其中作图是通过分析函数的单调性和关键点答案：C来进行作图，在作图的过程中还要注意

9、渐近线的细节，从而保证图像的准确。例&函数正确的选项是1的零点个数判断ax 1 x 0x，那么以下关于函数 ylog2x,x 0A. 当a 0时，有4个零点；当a 0时，有1个零点B. 当a 0时，有3个零点；当a 0时，有2个零点C. 无论a为何值，均有2个零点D. 无论a为何值，均有4个零点思路：所求函数的零点，即方程f f x 1的解的个数，先作出x的图像，直线y ax 1为过定点0,1的一条直线，但需要对a的符号进行分类讨论。 当a 0时，图像2 1如下列图，先拆外层可得f1 x0, f2 x ，而f1 x有两个对应的x， f2 x也2有两个对应的x，共计4个；当a 0时，f

10、X的图像如下列图，先拆外层可得f x且fx-只有一个满足的X，所以共一个零点。结合选项，可判断出A正确2答案：A函数f xx33x20，那么231,xg f x a 0 a为正实数的实数根最多有 个 思路：先通过分析f x ,g x的性质以便于作图，' 2f x 3x 6x 3x x 2，从而 fx 在,0 , 2, 单增，在 0,2 单减，且 f 01,f 23，g x为分段函数，作出每段图像即可，如下列图，假设要实数根最多，那么要优先选取f x能 对应x较多的情况，由f x图像可得，当f x 3,1 时，每个f x可对应3个x。只需判断g f x a中， f x能在 3,1取得的值

11、的个数即可，观察g x图像5可得，当a1,5时，可以有2个f x 3,1，从4而能够找到6个根，即最多的根的个数 答案：6个例10:函数yf x和yg x在 2,2的图像如下，给出以下四个命题1方程f gx0有且只有6个根2方程g fx0有且只有3个根3方程f fx0有且只有5个根4方程g gx0有且只有4个根那么正确命题的个数是A. 1B. 2C. 3D. 4思路：每个方程都可通过图像先拆掉第一层，找到内层函数能取得的值，从而统计出X的总数。1中可得gi x 2, 1 ,g2 x 0,g3 X 1,2 ，进而gi x有2个对应的x ，g2 X有3个，g3 x有2个，总计7个，1错误；2中可得f1x2, 1, f2 x0,1 ，进而f