分段函数专题

1、分段函数专题定义：一般地，如果有实数 ai, a2, a3ki,k, 2k3bi,b2,b3且 ai<a2< st函数丫与自变量X之间存在kix+bi x < aiy = Jk 2x+b2 a i < x< a2K3x+b3 a 2<x< a3的函数解析式，那么称该函数解析式为 X的分段函数。类型一分段计费问题话费，电费，水费 话费中的分段函数例i某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x分钟与相应话费y元之间的函数图象如图 i所示：1月通话为i00分钟时，应交话费 _元； 2当x> i00时，求y与x之间的函数关系式;水费中的分段函数

2、3月通话为280分钟时，应交话费多少元？d叭元411/20Pl丨.100300価暫例2某自来水公司为了鼓励居民节约用水，采取了按月用水量分段收费方法，某户居民应 交水费y元与用水量x吨的函数关系如图2. 分别写出当0 < x < i5和x> i5时,y与x的函数关系式2假设某户该月用水 2i吨,那么应交水费多少元？电费中分段函数例3今年以来，广东大局部地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用 电量分段收费方法，假设某户居民每月应交电费y元与用电量 x度的函数图象是条折线如图3所示，根据图象解以下问题：i分别写出当0< x < i00和x> i0

3、0时，y与x的函数关系式；2利用函数关系式，说明电力公司采取的收费标准；3假设该用户某月用电 62度，那么应缴费多少元？假设该用户某月缴费105元时，贝U该用户该月用了多少度电？工程类分段函数例1某家庭装修房屋，由甲、乙两个装修公司合作完成,JC.C.1- -才1JOO 130工圍选由甲装修公司单独装修3天，剩下的工作由甲、乙两个装修公司合作完成.工程进度满足如图1所示的函数关系，该家庭共 支付工资8000元.1完成此房屋装修共需多少天？2假设按完成工作量的多少支付工资，甲装修公司应得多少元?1、我国是世界上严重缺水的国家之一为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费

4、方法收费即一月用水10吨以内包括10吨的用户，每吨收水费卞元；一月用水超过 10吨的用户，10吨水仍按每吨匚元收费，超过10吨的局部，按每吨心元b> a收费设一户居民月用水 丁吨，应收水费，元，与之间的函数关系如a 131求；的值；某户居民上月用水 8吨，应收水费多少元?2求：的值，并写出当时，与丁之间的函数关系式;(3)居民甲上月比居民乙多用水4吨，两家共收水费 46元，求他们上月分别用水多少吨？2、 从A地向B地打长途 通话3分钟内收费2。4兀，3分钟后每增加通话时 间1分钟加收1元，求通话费用y单位：元随通话时间x单位：分，变化 的函数关系式，并画出函数的图象3、为了鼓励小强做家务

5、，小强每月的费用都是根据上月他的家务劳动时间所得奖励加上根本生活费从父母那里获取的假设设小强每月的家务劳动时间为x小时，该月可得即下月他可获得的总费用为 y元，那么y元和x小时 之间的函数图像如图5所示.1根据图像，请你写出小强每月的根本生活费；父母是如何奖励小强家务劳动的？2假设小强5月份希望有250元费用，那么小强4月份需做家务多少时间？4.圉长期干旱，甲水库嘗水量降到了正常水邕的最低值.为灌溉需要，由乙水库向甲水库 匀速供水，20h后，甲水库翻开一个排灌闸为恋田匀速灌溉.又经过20h,甲水库翻开另一 个排谨闸习时灌溉，苒经过却0L乙水库停止供水.甲水库每个排灌闸的灌溉速度相同，閤 中的折

6、线表示甲水库蓄水量Q万存与肘局r h之閒的函数关系.求；13线段万的函数表达式;C2乙水库供水速度和甲水库一个排灌闸的灌溉速度；C3乙水库停止供水舌，经过多长时间甲水库蓄水量又降到了正増水位的最低值？二、行程中的分段函数追击，相遇.例1、某城市出租车收费标准如下，3千米以内含3千米收8元，超过3千米的局部每千米收费1.4元。求出应收车费 Y元与出租车行驶路程 X千米之间的函数关系式。一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为"丄，两车之间的距离为' ：1，图中的折线表示 与止之间的函数关系.根据图象进行以下探究：(第2題)信息读取1甲、乙

7、两地之间的距离为 km；2请解释图中点的实际意义；图象理解3求慢车和快车的速度；4求线段丄所表示的与之间的函数关系式，并写出自变量 T的取值范围； 问题解决5假设第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同.在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇.求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时？2、小明同学骑自行车去郊外春游，以以下图表示他离家的距离y千米与所用的时间x小时之间关系的函数图象.根据图象答复：(1)小明到达离家最远的地方需几小时？此时离家多远？12 3 4 5 63、某边防部接到情报，近海处有一可疑船只 A正向公海方向行驶， 边防部迅速派出快艇B追赶。在追赶过程中

8、，设快艇B相对于海岸的 距离为y 1 海里，可疑船只A相对于海岸的距离为y2 海里，追 赶时间为t分钟，图中LA、LB分别表示y 2 . y 1与t之间的关 系。1yi与t之间的函数关系式为. y2与t之间的函数关系式为2当A逃到离海岸12海里时B将无法对其进行检查，A逃入 公海前能否将其拦截？分段函数方案题例1:某旅游景点的门票一张110元，如果一次买10张以上，那么可以打8折， 用X表示旅游团的人数，用y表示购置门票的费。1用公式函数解析式法表示购置门票的费用y元与人数x之间的函数关 系。2画出这个函数的图像。3求出旅游团人数为9人、30人时门票费为多少？氐一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车

9、从乙地驶往甲地.两车同时岀发，匀速行驶设行驶勺f时, 的时间为蛊时几两半3闻够盟胃为y 千米人图中的折线表示从两车出发至快车到达乙 地过程中y与蛊之间的團数关系快车从C1报据图中信息，求线段也?所在：S陵的函数解折式和甲乙两地之间的距离；3. 2022年4月25 ,全国人大常委会公布?中华人民共和国个人所得税法修正案草 案向社会公开征集意见一草案规定，公民全月工薪不超过3000元的局部不必纳税，超 过3000元的局部为全月应纳税所得额此项税就按下表分段累进计算.级数全月应纳税所得额税率1 不超过口00元的局部5%2 彰过1500元至4500元的局部10%3 趙过4刃0元至9000元的局部20%

10、 1>依据草案规定，毎答以下问题二1>李工程师的月工薪为£000元'那么他每月应当纳税多少元？2?假设某纳税人的月工薪不超过10000元，地每月的纳稅金额能超过月工薪的8%吗？假设能, 溝給出该纳税人的月工薪范围*假设不能，i青说明理由，x上运动，当线fy*7 rdxl/M-图1与几何图形有关的分段函数例1如图1,点A的坐标为(1, 0)，点B在直线y段AB最短时，点B的坐标为1 1A.0, 0B.，一2 2C. 2 2D. :- 1 , 12 2 2 2例2如图2,在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点 A停止，设点P运动的路程为x,A

11、ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象 如图2所示，那么 ABC的面积是A、10 B、16C、18D、20ABCP边按BtCDtA方向运动，开始以每秒 m个单位匀速运动,运动，b秒后又恢复为每秒 m个单位匀速运动.在运动过程中,2求m、a、b的值3、如图1,在矩形ABCD中，点P从B点出发沿着四a秒后变为每秒2个单位匀速 ABP的面积S与运动时1、在矩形ABCD中，AB=3 , BC=4，动点P从点A开始按A B C D的方向运动到 D。 如图3 1。设动点P所经过的路程为x, APD的面积为y。当点P与A或D重合时， y=01写出y与x的函数关系式；2画出此函数的图象。2、如图，直线li的

12、解析表达式为y 3x 3 ,且li与x轴交于点D ,直线12经过点A B 的直线li，I2交于点C.1求点D的坐标；2求直线12的解析表达式；3求 ADC的面积；4在直线12上存在异于点C的另一点P，使得 ADP与厶ADC的面积相等，请直接. 写出点P的坐标.1如图，直线y kx 6与x轴、y轴分别交于点E、F,点E的坐标为-8, 0，点A的坐 标为-6, 0。1求k的值；2假设点Px , y是第二象限内的直线上的一个动点，在点P的运动过程中，试写出厶OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；273探究：当点P运动到什么位置时， OPA的面积为 号，并说明理由。82如图，正方形

13、 ABCD的边长为5, P为CD边上一动点，设 DP的长为x , ADP的面积为y,1写出y与x之间的函数关系式，及自变量 x的取值范围2当X取多少时，y可以取得最大值3当P在CD上运动时，y如何变化？33、直线y x 6与坐标轴分别交于 A、B两点，动点P、Q同时从0点出发，同时到4达A点，运动停止.点Q沿线段0A运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线0? B? A 运动.1直接写出A、B两点的坐标；2丨设点Q的运动时间为t秒，OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；483丨当S= 时，求出点P的坐标，并直接写出以点 0、P、Q为顶点的平行四边形的第5四个顶点M的坐标.4、如图，在平

14、面直角坐标系 xOy中，直线y x 于点B和点C，点D是直线AC上的一个动点.1求点A, B, C的坐标.2当 CBD为等腰三角形时，求点 D的坐标.3在直线AB上是否存在点E，使得以点E, D, 0, A为顶点的四边形是平行四边形?yA0B5、如图：直线ykx 3与x轴、y轴分别交于A、B两点,OBOA3，点C(x,y)是直线4y= kx+ 3上与A、B不重合的动点。 1求直线y kx 3的解析式；2当点C运动到什么位置时 AOC的面积是6；3过点C的另一直线CD与y轴相交于D点，是否存在点假设存在，请求出点 C的坐标；假设不存在，请说明理由。C使厶BCD与厶AOB全等?6. 直线OG BC

15、的函数关系式分别为y=x和y=-2x+6,动点P(x,0)在0B上移动 (0<x<3)，求点C的坐标；假设A点坐标为0, 1，当点P运动到什么位置时(它的坐标是什么)，AP+CP 最小；设 OBC中位于直线PC左侧局部的面积为S,求S与x之间的函数关系式。7、一次函数的图象交x轴于点A :-6，0，与y轴交于B,假设 AOB的面积为 12,且y随x的增大而减少，求一次函数的解析式.8、直线y= x+ 2与x轴，y轴分别交于点A和点B,另一直线y=kx+ b经过点C 1, 0，且把 AOB分成两局部面积相等，求k和b的值.1如图，正方形ABCD的边长为6cm，动点P从A点出发，在正方

16、形的边上由 Af CD 运动，设运动的时间为 ts， APD的面积为Scm2，S与t的函数图象如以下图，请答 复以下问题：1点P在AB上运动时间为 s，在CD上运动的速度为 cm/s， APD的面积S的最大值为 cm2；2求出点P在CD上运动时S与t的函数解析式；3当t为s时， APD的面积为10cm2.2、如图1,等边 ABC中，BC=6cm，现有两个动点 P、Q分别从点A和点B同时出发， 其中点P以2cm/s的速度沿AB向终点B移动；点Q以1cm/s的速度沿BC向终点C移动， 其中一点到终点，另一点也随之停止. 连接PQ,设动点运动时间为 x秒.图2、图3备用1填空：BQ=, PB=用含x

17、的代数式表示；2当x为何值时，PQ/ AC ?3当x为何值时， PBQ为直角三角形?3、如图，矩形 ABCD中，AB=6 , BC=8，点P从A出发沿Af Bf CD的路线移动，设点 P移动的路线为x, PAD的面积为y.1写出y与x之间的函数关系式，并在坐标系中画出这个函数的图象.2求当x=4和x=18时的函数值.3当x取何值时，y=20,并说明此时点 P在矩形的哪条边上.5、如图1所示，在直角梯形 ABCD中，AB / DC, / B=90 °动点P从点B出发，沿梯形 的边由BtA运动.设点P运动的路程为x, ABP的面积为y.把y看作x的函数,6、如图1,在矩形 ABCD中，A

18、B=12cm , BC=6cm，点P从A点出发，沿 AtCtD路 线运动，到D点停止；点Q从D点出发，沿DtCtBta运动，到A点停止.假设点 P、 点Q同时出发，点P的速度为每秒1cm，点Q的速度为每秒2cm, a秒时点P、点Q同时 改变速度，点P的速度变为每秒bcm，点Q的速度变为每秒 ccm.如图2是点P出 发x秒后 APD的面积S仃cm2与x秒的函数关系图象；图3是点Q出发x秒后 AQD 的面积S2cm2与x秒的函数关系图象根据图象：1求a、b、c的值；2设点P离开点A的路程为y1 cm，点Q到点A还需要走的路程为y2cm，请分别P与Q相遇时x写出改变速度后y1、y2与出发后的运动时间

19、x秒的函数关系式，并求出答案1、解：1点P在AB上运动的速度为 6W=1cm/s，在CD上运动的速度为 6£=2cm/s, 当点P运动到点B时， APD的面积S最大，最大值是.00=18cm2;2PD=6 - 2 t - 12=30 - 2t,?PD=>6 X 30 - 2t=90 - 6t;3当 0W詬时，S=3t,12电05 时，90 - 6t=10 , t=32 ,3所以当t为卫s、卫s时， APD的面积为10c3 3： APD的面积为10cm2，即S=10时，3t=10,t=£当m2.2、解：1根据题意，BQ=x , PB=6 - 2x;2假设 PQ/ AC

20、,有- 'JBA BC即二兰，解之得：x=2;6 6BQ=2BP ,3当/ BPQ=90时，根据三角函数关系，可知 x=2 6 - 2x，解之得：x=-,5当/ BQP=90。时，2BQ=BP , 即 6 - 2x=x ,解之得：x.23、解：1当点P在线段AB上时，此时 AP=x , AD=8 ,根据三角形的面积公式可得：y=?AD ?AP= X8 /=4x ,2 2当点P在线段BC上运动时，面积不变; 当点P在线段CD上运动时，y=?AD?DP= X8X 20 - x=80 - 4x, 2 2y=峯(6<x<14)80-4i (14<k<20)DP=6+8+6 - x=20 - x, AD=8根据三角形的面积公式可得： y与x之间的函数关系式为2当 x=4 时，y=4x=4 >4=16 ,当 x=18 时，y=80 - 4X18=8 ;3当y=4x=20，解得x=5，此时点P在线段AB上, 当y=80 - 4x=20，解得x=15，此时点P在线段CD 上.4、解：1从图象可知，当 6W电时， ABP面积不变即6WW时，点P从点C运动到点D，