华南理工大学高等数学教学课件2

1、第二节数列极限整标函数与数列积分学的根本思想高等数学的主要内容就是 微积分学。积分学和微分学原是数学领 域两个不同的分支。积分学的起源要早于微分学，它起源于计算 几何形体的长度、面积、体积等等。下面我们用计算面积的情形 了解一下积分学的根本思想。怎样计算抛物线y x2和直线y 0 , x 1所围成的平面图形的面 积？我们主要分四步处理1化整为零分割把所处理图形剪成很多小片；2近似代替作乘积把每一小片近似看着长方形；3积零为整求和把所有小片的近似面积加起来；4无限趋近取极限当分割越来越细时，寻找和式越来越接近 的数。如图511111-0.148148 ,0.114583-0.093333-0.0

2、787037，-0.06802723333310.03486391,0.0189842 ,1,0.0137603 ,1,0.009933333331 1 123 2n 6n7容易看出，当n越来越大时，所求的近似面积会越来越接近 -数3列极限，所以我们所求平面图形的面积为1 O3数列的概念以上我们得到的这一列数就称为数列。下面我们再看几个数列的例子：1 1 11-'2 ' 4 ' 8 ''n1J2等比数列1 , 1 , 1 ,1,1,1n,ln 1 , ln 2 , 1 n 3 , 1 n 4 ,In n ,数列我们通常记作an，其中an称为通项。如上面所

3、提到的数列可 分别记为n1111n2,1, l n n3 2n 6n2其实数列还是一个以自然数为定义域的函数。 例如对于数列an对 任意的自然数n有唯一的数an与之对应。所以数列有时也可以记 作f n。当把数列看着一个函数时，我们称此函数为 整标函数。二、极限的定义对于数列an，我们称常数a是它的极限，是指当n越来越大时，对 应的an越来越接近A。这种说法很形象，但不够精确。当我们需要严格论证与极限有关的一 些问题时，它的弊端就显露出来。例如要证明数列极限的唯一性这样 一个简单命题都不太好说。随着问题的深入，我们迫切需要一个精确的量化的数列极限的定 义。这个定义最终由德国数学家魏尔斯特拉斯给出

4、。定义：如果数列an与A常数有以下关系，对任意给的正数任意小，总存在正数N，当n N时，不等式anA成立，注1注2注3例1证明:取N所以lr例2证明:取N那么称常数A是数列an的极限，或者称数列an收敛于A。记为lim an A 或nanAn:定义中的正数N是与任意给定的正数有关的，对任意给定的存在相应的N。:对给定的 对应的正整数N不唯一。:数列的有限项的变化对其极限没影响。:证明:忙2。对于任给任意小的-，当n23n2 n2n21:证明:3n2n2n21322n 32 2n215n2n252nN时，有3n2n2n2132lim n21n对于任给任意小的n2112n才，当n N时，有n21所

5、以 limn2 1 n 0。n例3 :设01，证明：lnm a证明：对于任给任意小的 0无妨设1取 N log|a|，当n N时，有所以Hm an注意：当01时，函数iog| x是递减函数。三、数列极限的性质性质1 :极限的唯一性如果数A , B是数列an的极限，那么一定有A B 。证明：假设A B。无妨设因为 lim an A，n丿所以存在正数Ni，当n Ni时有an又因为lim an B，n因此存在正数A B2N2，当n N2时有an B取 N max N1 , N2，当n N时有anBanAan Ban A这是一个矛盾，从而证明A B成立。如果对于数列an，存在一正数M，对任意的n都有a

6、n 那么称数列an有界。否那么称数列an无界。性质2 :收敛数列的有界性如果数列an收敛，那么数列an 一定有界。证明：设lim an A，取 1，那么存在正数N，当n N时有an A 1即有an A an A 11 |A取M max a1 , a2 , aN , 1 an那么对任意的n都有aM，即数列an有界。性质3:极限的保号性如果数列性质an的极限为A，且A 0， 那么存在正数N，当n N时，有an与A同号。证明：无妨设A 0，取 A，因为Hm an A，所以存在正数N， 当n N时有an aA2即有AAAA小anA a*0222性质4 :如果数列性质an的极限为A。如存在一正数N，当n N时，an 0，那么A 0;如存在一正数N，当n N时，a. 0，那么A 0 此命题是性质3的逆否命题。思考题：性质4中的“，能否换成“，。四、数列子列在数列中任意抽取无限项并保持这些项在原数列中的先后次序 所得的新数列