动态几何问题

1、中考数学专题3动态几何问题第一局部真题精讲【例1】如图，在梯形 ABCD中，AD II BC , AD =3 , DC =5 , BC =10 ,梯形的高为 4 动 点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点 C运动；动点N同时从C点 出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点 D运动设运动的时间为t 秒个人收 集整理勿做商业用途1当MN I AB时，求t的值；2试探究：t为何值时， MNC为等腰三角形.【思路分析1】此题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同 学看到可能就会无从下手。但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分 析动态条件和静态

2、条件之间的关系求解。对于大多数题目来说，都有一个由动转静的瞬间， 就此题而言，M , N是在动，意味着 BM,MC以及DN,NC都是变化的。但是我们发现，和这 些动态的条件密切相关的条件DC,BC长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。所以当题中设定 MN/AB时，就变成了一个静止问题。由此，从这些条件出发，列出方程， 自然得出结果。 个人收集整理 勿做商业用途【解析】解：1 由题意知，当 M、N运动到t秒时，如图，过D作DE II AB交BC于E点，那么 四边形ABED是平行四边形. AB II DE , AB II MN .DE II MN 根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法，成

3、功将MN放在三角形内，将动态问题转化成平行时候的静态问题个人收集整理勿做商业用途匹二匹.这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键 EC CD10 -2t10 -34 解得【思路分析2】第二问失分也是最严重的,很多同学看到等腰三角形,理所当然以为是 MN=NC即可，于是就漏掉了MN=MC,MC=3两种情况。在中考中如果在动态问题当中碰见等腰三角形，一定不要忘记分类讨论的思想，两腰一底一个都不能少。具体分类以后，就成为了较为简单的解三角形问题，于是可以轻松求解个人收集整理 勿做商业用途【解析】2分三种情况讨论: 当MN =NC时，如图作NF丄BC交BC于F，那么有MC =2FC 即.利用等腰三角

4、 形底边高也是底边中线的性质DF 4：sin. C =CD 5 cos /C,53t- 10 2t =25解得t二25 8 当MN =MC时，如图，过M作MH丄CD于H.贝U CN =2CH ,3- t =2 10 -2t - 丄60-t =.17当MC =CN时，那么 102 =t .10t3综上所述，当t二25、60或10时， MNC为等腰三角形.8173【例2】在厶ABC中，/ ACB=45o点D (与点B、C不重合)为射线 BC上一动点，连接 AD, 以AD为一边且在 AD的右侧作正方形 ADEF.个人收集整理勿做商业用途(1) 如果AB=AC.如图，且点 D在线段BC上运动.试判断线

5、段 CF与BD之间的位置关系，并证明你的结论.个人收集整理勿做商业用途(2) 如果ABM AC,如图，且点 D在线段BC上运动.(1 )中结论是否成立，为什么？个人收集整理勿做商业用途(3)假设正方形ADEF的边DE所在直线与线段 CF所在直线相交于点 P,设AC= 4,2 , BC = 3 ,CD=x，求线段CP的长.(用含x的式子表示)个人收集整理勿做商业用途【思路分析1】此题和上题有所不同，上一题会给出一个条件使得动点静止，而此题并未给 出那个“静止点，所以需要我们去分析由 D运动产生的变化图形当中，什么条件是不动的。由题我们发现，正方形中四条边的垂直关系是不动的，于是利用角度的互余关系

6、进行传递， 就可以得解。个人收集整理勿做商业用途【解析】：(1) 结论：CF与BD位置关系是垂直；证明如下：匚 AB=AC，/ ACB=45o :丄 ABC=45o由正方形 ADEF得 AD=AF , v/ DAF=Z BAC =90c,/ DAB=/ FACDABA FAC , / ACF=/ ABD. / BCF=/ ACB+/ ACF= 90o 即 CF丄 BD.【思路分析2】这一问是典型的从特殊到一般的问法，那么思路很简单，就是从一般中构筑 一个特殊的条件就行，于是我们和上题一样找AC的垂线，就可以变成第一问的条件，然后 一样求解。个人收集整理勿做商业用途FC(2) CF丄BD. (1

7、)中结论成立.理由是：过点 A作AG丄AC交BC于点G,. AC=AG 可证： GADA CAF / ACF=/ AGD=45o / BCF=/ ACB+/ ACF= 900.即 CF丄 BD【思路分析3】这一问有点棘手，D在BC之间运动和它在 BC延长线上运动时的位置是不一样的，所以已给的线段长度就需要分情况去考虑到底是4+X还是4-X。分类讨论之后利用相似三角形的比例关系即可求出CP个人收集整理勿做商业用途(3) 过点A作AQ丄BC交CB的延长线于点 Q, 点D在线段BC上运动时，v/ BCA=45o 可求出 AQ= CQ=4. DQ=4-x,易证A AQDsA DCP,CP CD CP

8、xDQ _AQ '4x 42x .CPx .4点D在线段BC延长线上运动时，v/ BCA=45o 可求出 AQ= CQ=4,. DQ=4+x.过A作AG _ AC交CB延长线于点G,贝U -AGD 三. AQDKA DCP, 2L =CD ,DQ AQCP4 xx二，42x.CPx .4【例3】如图，M是AD的中点，在梯形ABCD中， MBC是等边三角形.AD /BC, AD(1) 求证：梯形 ABCD是等腰梯形；(2) 动点P、Q分别在线段BC和MC上运动，且Z MPQ =60保持不变.设PC =x, MQ =y,求y与x的函数关系式;(3) 在(2)中，当y取最小值时，判断 PQC

9、的形状，并说明理由.M冋变【思路分析1】此题有一点综合题的意味，但是对二次函数要求不算太高A形找，所以我们很自然想到要通过相似?当然是利用角度咯.于是就有了思路.个人收集整理勿做商业用途QC么几何方面。第一问纯静态问题，自不必说，只要证两边的三角形全等就可以了。 例1一样是双动点问题，所以就需要研究在 PQ运动过程中什么东西 MPQ=60 °，这个度数的意义在哪里？其实就是将静态的那个等边三角形与动态条 起来.因为最终求两条线段的关系 证相似三角形呢【解析】(1) 证明： MBC是等边三角形 MB =MC,Z MBC -Z MCB =60/ M是AD中点 AM 二 MD/ AD /

10、BC Z AMB =Z MBC =60 , AMB DMC AB 二 DC梯形ABCD是等腰梯形.(2)解：在等边 MBC 中，MB=MC = BC=4,Z MBC =Z MCB = 60 , Z BMP Z BPM 二 Z BPM Z QPC =120(这个角度传递非常重要，大家要仔细揣摩) Z BMP 二 Z QPC BMP CQPPCBMCQBPPC =x, MQ = y BP = 4 -x, QC = 4 -y口yx2-x 44 x4(设元以后得出比例关系，轻松化成二次函数的样子【思路分析2】第三问的条件又回归了当动点静止时的问题。由第二问所得的二次函数，很 轻易就可以求出当 X取对称

11、轴的值时 Y有最小值。接下来就变成了 “给定 PC=2求厶PQC个人收集整理勿 形状的问题了。由的BC=4,自然看出P是中点，于是问题轻松求解。做商业用途(3)解： PQC为直角三角形1 2 y=4(x-2) +3当y取最小值时，x = PC = 2 P是 BC 的中点，MP _ BC,而/ MPQ =60 , Z CPQ =30 , Z PQC =90以上三类题目都是动点问题，这一类问题的关键就在于当动点移动中出现特殊条件，例如 某边相等，某角固定时，将动态问题化为静态问题去求解。如果没有特殊条件，那么就需 要研究在动点移动中哪些条件是保持不变的。当动的不是点，而是一些具体的图形时，思 路是

12、不是一样呢？接下来我们看另外两道题.个人收集整理勿做商业用途【例4】正方形 ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF _ BD交BC于F，连 接DF , G为DF中点，连接EG,CG .(1) 直接写出线段EG与CG的数量关系；(2) 将图1中.：BEF绕B点逆时针旋转 45，如图2所示，取DF中点G，连接EG , CG , 你在(1)中得到的结论是否发生变化？写出你的猜测并加以证明.(3) 将图1中.BEF绕B点旋转任意角度，如图 3所示，再连接相应的线段，问(1)中的 结论是否仍然成立？(不要求证明)个人收集整理勿做商业用途【思路分析1】这一题是一道典型的从特殊到一般的图形旋转题。从

13、旋转45°到旋转任意角度，要求考生讨论其中的不动关系。第一问自不必说，两个共斜边的直角三角形的斜边 中线自然相等。第二问将 BEF旋转45°之后，很多考生就想不到思路了。事实上，此题 的核心条件就是 G是中点，中点往往意味着一大票的全等关系，如何构建一对我们想要的 全等三角形就成为了分析的关键所在。连接AG之后，抛开其他条件，单看G点所在的四边形ADFE我们会发现这是一个梯形，于是根据我们在第一讲专题中所讨论的方法，自然想 到过G点做AD,EF的垂线。于是两个全等的三角形出现了。个人收集整理勿做商业用途(1) CG 二 EG(2) (1)中结论没有发生变化，即 CG=EG

14、.证明：连接 AG，过G点作MN _ AD于M，与EF的延长线交于 N点.在 DAG与DCG中，/ AD =CD, ADG = CDG , DG =DG , DAG也 DCG .-AG =CG .在.DMG与：FNG中， . DGM =/FGN , FG =DG , MDG =/NFG , . DMG 也 FNG . MG =NG在矩形 AENM中，AM =EN在 Rt AMG 与 Rt ENG 中，/ AM =EN , MG =NG ,- AMG 也 ENG . AG = EG .- EG 二CG【思路分析2】第三问纯粹送分，不要求证明的话几乎所有人都会答出仍然成立。但是 我们不应该止步于此

15、。 将这道题放在动态问题专题中也是出于此原因，如果 BEF任意旋转，哪些量在变化，哪些量不变呢？如果题目要求证明，应该如何思考。建议有余力的同学自 己研究一下，笔者在这里提供一个思路供参考：在BEF的旋转过程中，始终不变的依然是G点是FD的中点。可以延长一倍 EG到H,从而构造一个和 EFG全等的三角形，禾U用 BE=EF 这一条件将全等过渡。要想方法证明三角形ECH是一个等腰直角三角形，就需要证明三角形EBC和三角形CGH全等，利用角度变换关系就可以得证了。个人收集整理勿做商业用途(3) (1)中的结论仍然成立.【例5】正方形ABCD的边长为6cm，点E是射线BC上的一个动点，连接 AE交射

16、 线DC于点卩，将厶ABE沿直线 AE翻折，点B落在点B'处.个人收集整理勿做商业用途BE当 CT1 时，CF=cmBE当CE=2时，求sin / DAB的值;BE(3)当一一=x时(点C与点E不重合)，请写出 ABE翻折后与正方形 ABCD公共部CE分的面积y与x的关系式，(只要写出结论，不要解题过程).个人收集整理勿做商业用途B【思路分析】动态问题未必只有点的平移，图形的旋转，翻折(就是轴对称)"点。这一题是朝阳卷的压轴题，第一问给出比例为 1第二问比例为 2,第三问比例任意, 所以也是一道很明显的从一般到特殊的递进式题目。同学们需要仔细把握翻折过程中哪些 条件发生了变化

17、，哪些条件没有发生变化。一般说来，翻折中，角，边都是不变的，所以 轴对称图形也意味着大量全等或者相似关系，所以要利用这些来获得线段之间的比例关系。尤其注意的是，此题中给定的比例都是有两重情况的，E在BC上和E在延长线上都是可能的，所以需要大家分类讨论，不要遗漏。个人收集整理勿做商业用途【解析】1 CF=6 cm；延长之后一眼看出，EAZY2如图1,当点E在BC上时，延长 AB'交DC于点M ,AB/ CF,." ABEA FCEBECEABFCA . cf=3/ AB / CF,./ BAE=Z F.又/ BAE=Z B'AE,./ B'AE=/ F. MA=

18、MF . 设 MA=MF=k，贝U MC=k -3, DM=9-k.在RtAADM中，由勾股定理得：图1k2=9- k2+62，解得k=MA= I3 . . DM=-.设元求解是这类题型中比拟重要的方法2 2sin / DABDM _ 5AM 13如图2，当点E在BC延长线上时，延长 AD交B'于点N,同可得NA=NE.设 NA=NE=m，贝U B'N=12-m.在RtAAB'N中，由勾股定理，得m2=(12-m)2+62，解得m=AN=15 . B' N=9 .2sin / DABBNAN 5AR图218x(3)当点E在BC上时，y=8 ;x +1所求 A B

19、'E的面积即为 ABE的面积，再由相似表示出边长当点E在BC延长线上时，y= 18X 18 .x【总结】 通过以上五道例题，我们研究了动态几何问题当中点动，线动，乃至整体图形 动这么几种可能的方式。动态几何问题往往作为压轴题来出，所以难度不言而喻，但是希望考生拿到题以后不要慌张，因为无论是题目以哪种形态出现，始终把握的都是在变化过程中 那些不变的量。只要条分缕析 ，一个个将条件抽出来，将大问题化成假设干个小问题去解决 ，就 很轻松了 .为更好的帮助考生，笔者总结这种问题的一般思路如下：个人收集整理勿做商业用途第一、仔细读题，分析给定条件中那些量是运动的，哪些量是不动的。针对运动的量，

20、要分析它是如何运动的，运动过程是否需要分段考虑，分类讨论。针对不动的量，要分析 它们和动量之间可能有什么关系，如何建立这种关系。个人收集整理 勿做商业用途个人收第二、画出图形，进行分析，尤其在于找准运动过程中静止的那一瞬间题目间各个变量 的关系。如果没有静止状态，通过比例，相等等关系建立变量间的函数关系来研究。集整理勿做商业用途第三、做题过程中时刻注意分类讨论，不同的情况下题目是否有不同的表现，很多同学 丢分就丢在没有讨论，只是想当然看出了题目所给的那一种图示方式，没有想到另外的方 式，如本讲例5当中的比例关系意味着两种不一样的状况，是否能想到就成了关键。个人收集整理勿做商业用途第二局部发散思

21、考【思考1】：如图(1)，射线AM /射线BN，AB是它们的公垂线，点 D、C分别 在AM、BN上运动(点D与点A不重合、点C与点B不重合)，E是AB边上的动 点(点E与A、 B不重合)，在运动过程中始终保持DE _ EC，且 AD + DE = AB =a .个人收集整理 勿做商业用途(1) 求证：.ADE s BEC ;(2) 如图(2),当点E为AB边的中点时，求证： AD + BC = CD ;(3) 设AE二m，请探究：BEC的周长是否与 m值有关？假设有关，请用含有 m的代 数式表示 BEC的周长；假设无关，请说明理由.【思路分析】此题动点较多，并且是以和的形式给出长度。思考较为不

22、易，但是图中有多 个直角三角形，所以很自然想到利用直角三角形的线段、角关系去分析。第三问计算周长， 要将周长的三条线段分别转化在一类关系当中，看是否为定值，如果是关于M的函数，那么就是有关，如果是一个定值，那么就无关，于是就可以得出结论了。个人收集整理勿做商业用途【思考2】 ABC是等边三角形，P为平面内的一个动点， BP=BA,假设0 v/ PBCX 180° 且/ PBC平分线上的一点 D满足DB=DA(1) 当BP与BA重合时(如图 1) , / BPD=;(2) 当BP在/ ABC的内部时(如图 2),求/ BPD的度数；(3) 当BP在/ ABC的外部时，请你直接写出/ B

23、PD的度数，并画出相应的图形.【思路分析】此题中，和动点 P相关的动量有/ PBC,以及D点的位置，但是不动的量就是 BD是平分线并且 DB=DA从这几条出发，可以利用角度相等来找出相似、全等三角形。事 实上，P点的轨迹就是以 B为圆心，BA为半径的一个圆，那 D点是什么呢？留给大家思考 一下个人收集整理勿做商业用途3【思考3】如图：，四边形ABCD中，AD/BC, DC丄BC,AB=5, BC=6, cosB=，.个5人收集整理勿做商业用途点O为BC边上的一个动点，连结 OD,以O为圆心，BO为半径的O O分别交边AB于点P, 交线段 OD于点M，交射线 BC于点N,连结 MN .个人收集整

24、理勿做商业用途(1 )当BO=AD时，求BP的长；(2) 点O运动的过程中，是否存在BP=MN的情况？假设存在，请求出当BO为多长时BP=MN; 假设不存在，请说明理由；个人收集整理 勿做商业用途(3) 在点O运动的过程中，以点 C为圆心，CN为半径作O C,请直接写出当O C存在时， O O与O C的位置关系，以及相应的O C半径CN的取值范围。个人收集整理 勿做商业用途【思路分析】这道题和其他题目不同点在于此题牵扯到了有关圆的动点问题。在和圆有关 的问题当中，时刻不要忘记的就是圆的半径始终相等这一个隐藏的静态条件。此题第 问那么需要用设元的方法表示己得分类分情况讨论。O要记【思考4】在1

25、AB到线段EF如图1N C二问的比拟简单，等腰梯形中的计算问题。 论他们的数量关系MN个人收集整理D中过点C作CE丄CD交AD于点E将线段-问和BP,从而讨勿做商业用途EC绕点E逆时针旋转90得C(备用图)(1) 在图1中画图探究:当P为射线CD上任意一点(Pi不与C重合)时，连结ER绕点E逆时针旋转90 得到线段EG.判断直线FG与直线CD的位置关系，并加以证明；个人收集整理勿做商业用途当P2为线段DC的延长线上任意一点时，连结EF2,将线段EF2绕点E逆时针旋转90得到线段EC2.判断直线GC2与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论个人收集整理勿做商业用途4(2) 假设AD=6,

26、tanB= ,AE=1,在的条件下，设3cp=x，S RFC1 =y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量 x的取值范围个人收集整理 勿做商业用途【思路分析】此题是去年中考原题，虽不是压轴，但动点动线一起考出来，难倒了不少同 学。事实上就在于如何把握这个旋转90°的条件。旋转90。自然就是垂直关系，于是又出现了一堆直角三角形，于是证角，证线就手到擒来了。第二问一样是利用平行关系建立函 数式，但是实际过程中很多同学依然忘记分类讨论的思想，漏掉了很多种情况，失分非常 可惜。建议大家仔细研究这道中考原题，按照上面总结的一般思路去拆分条件，步步为营 的去解答。个人收集整理勿做商业用途第三局

27、部思考题解析【思考1解析】(1)证明： DE _ EC DEC = 90 AED BEC 二 90 又： A - B = 90，二 AED . EDA 二 90 .(2)证明：如图，过点 E作EF /BC，交CD于点D第25题BEC 二 EDA . ADE BEC .1 E是AB的中点，容易证明 EF = (AD BC).21在 Rt DEC 中， DF =CF , EF 二丄CD211 - (AD BC) CD .22 AD BC 二 CD (3)解：AED 的周长=AE AD DEBE设 AD = x，贝V DE = a -x A =90 , DE2 =AE2 AD2 即 a2-2ax x

28、2=m2 x22 2 a -m x = 2a由(1 知.ADE s cBEC,ADE的周长2 2 a - mAD2aa mBEC的周长BEa -m-2a2aBEC的周长ADE的周长=2a .a mlBEC的周长与m值无关. 【思考2答案】解：(1)/ BPD= 30 ° ;(2)如图8,连结CD.解一：点 D在/ PBC的平分线上，/ 仁/2. ABC是等边三角形，图8 BA=BC=AC / ACB=60°./ BP=BA BP=BC/ BD=BD, PBDA CBD. / BPD=Z 3. 3分/ DB=DA, BC=AC CD=CD BCDA ACD.13- 4 ACB

29、 =30 .2 / BPD=30 °.解二： ABC是等边三角形， BA =BC=AC/ DB=DA, CD垂直平分AB.1上 3 = 4ACB =30 .2/ BP=BA BP=BC点D在/ PBC的平分线上， PBD与厶CBD关于BD所在直线对称. / BPD=Z 3. / BPD=30 °(3) Z BPD= 30° 或 150 图形见图9、图10.解：(1)过点A【思考3A,BC=6,AE丄 BC在 RtAABE 中,AB丄 BC, AD/ AD=EC=BC- BE=3.当BO=AD=3时，在O O 中图 过点 O作OH丄AB贝U BH=HPA图10sB=3 得 BE=3.BH3 9COS B , BH=3BO5 518 BP=.5(2)不存在 BP=MN的情况-假设BP=MN成立，/ BP和MN为O O的弦，那么必有/ BOP=Z DOC. 过P作PQ丄BC,过点O作OH丄AB,/ CD丄