历考研数学一真题及答案987

1、历年考研数学一真题1987-2022(经典珍藏版)1987年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(此题共5小题,每题3分,总分值15分.把答案填在题中横线上)(1) 当x =时,函数y x 2x取得极小值.(2) 由曲线y lnx与两直线y e 1 x及y 0所围成的平面图形的面积是.1x(3) 与两直线y 1 tL z 2 t及L 山三都平行且过原点的平面方程为1 1 1(5)三维向量空间的基底为a (1,1,0), a (1,0,1), a (0,1,1),那么向量 b (2,0,0)在此基底下的坐标是.二、(此题总分值8分)2求正的常数a与b,使等式lim 1 x dt 1

2、成立x 0bx sinx 0 Ja t2三、(此题总分值7分)(1) 设f、g为连续可微函数,u f (x, xy ), v g (x xy ),求u v5x x(2) 设矩阵A和B满足关系式AB = A 2B ,其中3 0 1 A 110,求矩阵B.0 14设l为取正向的圆周x2y2 9,那么曲线积分2 _(2xy 2y)dx (x 4x)dy =四、(此题总分值8分)求微分方程y 6y (9 a2)y 1的通解，其中常数a 0.五、选择题(此题共4小题,每题3分,总分值12分.每 小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项(C)条件收敛性与k的取值有关(D)散敛前的字母填在题后的

3、括号内)(1)设 lim f(x) f2a) 1,那么在 x a 处 x a (x a)(A) f (x)的导数存在，且f (a) 0设A为n阶方阵，且A的行列式|A| a 0,而A*是A的伴得极大值(C) f( x)取得极小值导数不存在(2)设f(x)为连续函数,|st 0 f (tx)dx那么|的值(A)依赖于s和t(C)依赖于t、x,不依赖于(B)(D)f (x)取f (x)的0, s 0,(B)依赖于s、(D)依赖于s,不依赖于t(3)设常数k 0,那么级数(1)nkn 1随矩阵，那么|A*|等于(A)a(C) an1(B)a(D)a'六、(此题总分值10分)求幕级数丄xn1的

4、收敛域，并求其和函数n 1 ng2n七、(此题总分值10分)求曲面积分2I x(8y 1)dydz 2(1 y )dzdx 4 yzdxdy ,其中 是由曲线f(X) Z 疗刁1 y 3绕y轴旋转一周而成的曲面，其法向量与y轴正向的夹角恒大于X 02八、(此题总分值10分)设函数f(x)在闭区间0,1上可微,对于0,1上的每一个X,函数f(x)的值都在开区间(0,1)内,且f (x)1,证明在(0,1)内有且仅有一个X,使得f (X) X.九、(此题总分值8分)问a, b为何值时,现线性方程组X| X2 X3 X40X2 2x3 2X41x2 (a 3)x3 2x4 b3x12x2X3 ax4

5、有唯一解,无解,有无穷多解？并求出有无穷多解时的通解十、填空题(此题共3小题,每题2分,总分值6分.把答案填在题中横线上)(1)设在一次实验中，事件A发生的概率为P,现进行n次独立试验，那么A至少发生一次的概率为 ；而事件A至多发生一次的概率为.(2) 有两个箱子，第1个箱子有3个白球,2个红球，第2个箱子有4个白球,4个红球.现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里,再从第2个箱子中取出1个球，此球是白球的概率为 .上述从第2个箱子中取出的球是白球，那么从第一个箱子中取出的球是白球的概率为 .(3) 连续随机变量X的概率密度函数为f (x)丄e x2 2x 1,那么X的数学期望为 ,

6、X的方差为.V十一、(此题总分值6分)设随机变量x,y相互独立,其概率密度函数分别为fx(x) 1 ° x 1, fY(y) Py y求 Z 2X Y 的概率密度函数.I 0其它lo y 01988年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、(此题共3小题,每题5分,总分值15分)(1) 求幕级数区单的收敛域.n i n3(2) 设 f(x) ex , f (x) 1 x 且(x) o ,求(x)及其定义域(3) 设 为曲面x2 y2 z2 1的外侧，计算曲面积分Ix'dydz y3dzdx z3dxdy.二、填空题(此题共4小题，每题3分，总分值12分.把答案填在题中横线

7、上)(1) 假设 f (t) lim t(1 丄严，贝S f (t) =.xxx3 1(2) 设 f(x)连续且。f (t)dt x,那么f (7) =.(3) 设周期为2的周期函数，它在区间(1,1 上定义为f (x)21 x 0 ,那么的傅里叶(Fourier )级数在x 1处收x20 x 1敛于设4阶矩阵A a, Y2, Y3, y, B 3 Y, Y, 丫4】，其中a 3 Y2, Y3, Y均为4维列向量，且行列式|A| 4,IB 1,那么行列式A B =.三、选择题(此题共5小题，每题3分，总分值15分.每题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(

8、1)设f (x)可导且f (x0) -1 ,那么x 0时,f (x)在xd处的微分dy是(A)与x等价的无穷小(B)与x同阶的无穷小(C)比x低阶的无穷小(D)比x高阶的无穷小(2)设y f (x)是方程y 2y 4y 0的一个解且f(Xo) O,f(Xo) 0,那么函数 f (x)在点 x)处(A)取得极大值(B)取得极小值(A)存在一组不全为零的数ki,k2,L ,ks,使(C)某邻域内单调增加邻域内单调减少(3)设空2 2222 21: x yzR ,z0,2 : x y(A)xdv4dv(B)1ydv42ydv(C)zdv4zdv1 2(D) xyzdv 4 xyzdv1 2设幕级数a

9、n(x 1)n在Xn 1(D)某间区域Z2 R2,X 0, y 0,z0,那么1处收敛，那么此级数在k1 ak2 a2Lks as0(B) a, a2丄，a中任意两个向量均线性无关(C) a, a2,L , a中存在一个向量不能用其余向量线性 表示(D) a, a丄，a中存在一个向量都不能用其余向量线 性表示四、(此题总分值6分)设uyf(Z)xg($),其中函数f、g具有二阶连续导数y x(A)条件收敛收敛(B)绝对2uyx y(C)发散性不能确定(D)收敛五、(此题总分值8分)设函数y y(x)满足微分方程y3y 2y 2ex,其图形(5) n维向量组a, a,L , as(3 s n)线

10、性无关的充要条在点(0,1)处的切线与曲线yx2 x 1在该点处的切线重件是合,求函数y y(x).六、(此题总分值9分)设位于点(0,1)的质点A对质点M的引力大小为 k2(k 0为常数,r为A质点与M之间的距离),质点M沿直 r线y 2x x2自B(2, 0)运动到0(0, 0),求在此运动过程中质点A对质点M的引力所作的功.七、(此题总分值6分)1 0010 0AP BP ,其中B0 00 ,P21 0 ,求A, A50 0121 1八、(此题总分值8分)2 0 02 00矩阵A 0 0 1与B0 y0相似.0 1 x0 01(1)求x与y.(2)求一个满足P 1APB的可逆阵P.九、(

11、此题总分值9分)设函数f (x)在区间a,b上连续,且在(a,b)内有 f (x) 0,证明：在(a,b)内存在唯一的，使曲线y f (x)与两 直线y f( ),x a所围平面图形面积S是曲线y f (x)与 两直线y f(),x b所围平面图形面积S的3倍.十、填空题(此题共3小题,每题2分,总分值6分. 把答案填在题中横线上)(1) 设在三次独立试验中，事件A出现的概率相等，假设 A至少出现一次的概率等于19那么事件A在一次试验27，中出现的概率是.(2) 假设在区间(0,1)内任取两个数，那么事件两数之和小于6 的概率为.5(3) 设随机变量x服从均值为10,均方差为0.02的正 态分

12、布,x(x)2iu2e 2 du, (2.5)0.9938,那么X落在区间(9.95,10.05)内的概率为十一、(此题总分值6分)设随机变量X的概率密度函数为fX(x)求随 (1 x )'机变量丫 1 3 X的概率密度函数fY(y).1989年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(此题共5小题,每题3分,总分值15分. 把答案填在题中横线上)(1) f (3)叫Hh那么(31(2) 设f (x)是连续函数，且f (x) x 2 o f (t)dt，贝卩f (x) =.(3) 设平面曲线l为下半圆周y .rv,那么曲线积分(x2 y2)ds=.(4) 向量场div u在d

13、iv u =.3 0(5) 设矩阵A 1 40 0(A 2I) 1 =.点P(1,1,0)处的散度01 0 00 ,I0 10,那么矩阵30 0 1、选择题(此题共5小题，每题3分，总分值15分.每题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把 所选项前的字母填在题后的括号内)(1)当X 0时，曲线y xsin丄x(A)有且仅有水平渐近线(B)有且仅有铅直渐近线(C)既有水平渐近线，又有铅直渐近线(D)既无水平渐近线，又无铅直渐近线(2) 曲面z 4 x2 y2上点p处的切平面平行于平面2x 2y z 10,那么点的坐标是(A) (1, 1,2)(B) ( 1,1,2)(C) (1,1,2)(D

14、) ( 1, 1,2)(3) 设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程的 解是任意常数，那么该非齐次方程的通解是(A) c1 C22 y3(B) G% (G cN(C) C1y1C2 y2(1 C1C2)y3(D) C1 y1 C2 y2 (1 C1 C2)y3设函数f(x)2 ,x ,0 x 1,而S(x)nbn sin n x,1x其中5bn12 0 f (x)sin nxdx,n1,2,3,L ,那么 S(1等于(A)1(B)丄24(C)14(D)-2(1,1)(0,0)xy2dxy (x)dy 的值.计算三重积分(x z)dv,其中是由曲面zx2 y2与z 1 x2 y2所围成的区域(5

15、)设A是n阶矩阵，且A的行列式A 0,那么A中(A)必有一列元素全为0(B)必有四、(此题总分值6分)将函数 f (x) arctan 展为x的幕级数.1 x两列元素对应成比例(C)必有一列向量是其余列向量的线性组合(D)任一列向量是其余列向量的线性组合五、(此题总分值7分)X设f (x) sinx 0 (x t)f(t)dt,其中f为连续函数,求f (x).六、(此题总分值7分)三、(此题共3小题,每题5分,总分值15分)(1) 设z f(2x y) g(x,xy),其中函数f (t)阶可导2 ,g(u,v)具有连续二阶偏导数，求Z.x y(2) 设曲线积分xy2dx y (x)dy与路径无

16、关，其中(x)c证明方程In x仅有两个不同实根.具有连续的导数，且(0) 0,计算cos 2 xdx 在区间(0,)内有且七、(此题总分值6分)问 为何值时,线性方程组4x1 x2 2x32< 6x1 X2 4X323有解,并求出解的一般形式.八、(此题总分值8分)假设 为n阶可逆矩阵A的一个特征值，证明(1) -为A 1的特征值.(2) A为A的伴随矩阵A*的特征值.九、(此题总分值9分)设半径为R的球面的球心在定球面x2 y2 z2 a2(a 0)上，问当R为何值时，球面 在定球面 内部的那局部的面积最大？十、填空题(此题共3小题,每题2分,总分值6分. 把答案填在题中横线上)P(

17、AU B) =.(2) 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5,现目标被命中，那么它是甲射中的概率为.(3) 假设随机变量 在(1,6)上服从均匀分布，那么方程x2 x 1 0有实根的概率是.十一、(此题总分值6分)设随机变量X与Y独立,且X服从均值为1、标准差(均 方差)为、0的正态分布，而Y服从标准正态分布.试求随 机变量Z 2X Y 3的概率密度函数.(1)随机事件A的概率P(A) 0.5,随机事件B的概1990年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷、填空题(此题共5小题,每题3分,总分值15分.把答案填在题中横线上)(1)过点M (1,2 1)且与直线3t

18、 4垂直的平面方程设a为非零常数，那么lim(a)x= a设函数f (x)ff (x)二22o(4)积分Qdxxey dy的值等于(5)a (1,2,3,4), a2(2,3,4,5), a (3,4,5,6), a4(4,5,6,7),那么该向量组的秩是二、选择题(此题共5小题，每题3分,总分值15分. 每题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把 所选项前的字母填在题后的括号内)x(1) 设f (x)是连续函数，且F(x) : f (t)dt,那么F (x)等于(A) e x f (e x) f (x)(B) e x f(e x) f (x)(C)exf(ex) f (x)(D) e x

19、 f(e x) f (x)(2) 函数f(x)具有任意阶导数，且f (x) f(x)2,那么当n为大于2的正整数时,f(x)的n阶导数f(n)(x)是(A) n! f(x)n 1(B) nf(x)n1(C)f(x)2n(D) n!f(x)2n(3) 设a为常数，那么级数sn字Ln 1 nJ n(A)绝对收敛(B)条件收敛(B)k1 ak? (aa2)(C)k1 ak2 ( 01卩2 )(D)k1 ak2( 0卩2)(A) k! a k2 ( a-i a2)020i020i02(C)发散(D)收敛性与a的取值有关(4) f(x)在x 0的某个邻域内连续，且f (0) 0,lim2,那么在点 x

20、0 处 f(x)x 01 cos x(A)不可导(B)可导,且 f (0) 0(C)取得极大值(D)取得极小值(5) 0、目是非齐次线性方程组AX b的两个不同 的解,a、a是对应其次线性方程组AX 0的根底解析,ki、k2为任意常数，那么方程组AX b的通解(一般解)必是三、(此题共3小题,每题5分,总分值15分)(1) 求 1Jnjdx.0(2 x)(2) 设z f (2 x y, y sin x),其中f (u, v)具有连续的二阶偏2导数,求x y(3) 求微分方程y 4y 4y e 2x的通解(一般解).四、(此题总分值6分)求幕级数(2n 1)xn的收敛域，并求其和函数n 0五、(

21、此题总分值8分)求曲面积分I yzdzdx 2dxdyS其中S是球面x2 y2 z2 4外侧在z 0的局部.六、(此题总分值7分)设不恒为常数的函数f(x)在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)内可导，且f (a) f (b).证明在(a,b)内至少存在一点，使得f ( ) 0.七、(此题总分值6分)设四阶矩阵1100213401100213B,C0011002100010002且矩阵A满足关系式A(E C 1B) C E其中E为四阶单位矩阵,C 1表示C的逆矩阵,C表示C的转 置矩阵将上述关系式化简并求矩阵A.八、(此题总分值8分)求一个正交变换化二次型f x1 4x2 4x3 4x1x2

22、 4x1x3 8x2x3 成标准型.九、(此题总分值8分)质点P沿着以AB为直径的半 圆周,从点A(1,2)运动到点B(3, 4)的 过程中受变力F作用(见图).F的 大小等于点P与原点0之间的距 离，其方向垂直于线段0P且与y 轴正向的夹角小于求变力F对2 质点P所作的功十、填空题(此题共3小题,每题2分,总分值6分. 把答案填在题中横线上)(1) 随机变量X的概率密度函数f (x)丄 eix, x2那么X的概率分布函数F(x)二.(2) 设随机事件A、B及其和事件的概率分别是0.4、0.3和0.6,假设B表示B的对立事件，那么积事件AB的概 率 P(aB) =.(3) 离散型随机变量x服从

23、参数为2的泊松k 2(Poiss on)分布，即 PX k ,k 0,1,2,L ,那么随机变量k!Z 3X 2的数学期望 E(Z)=.十一、(此题总分值6分)设二维随机变量(X,Y)在区域D : 0 x 1,|y| x内服从均匀分布，求关于X的边缘概率密度函数及随机变量Z 2 X 1的方差D(Z).(2) 由方程xyz , x2 y2 z2- 2所确定的函数z z(x, y)在点(1,0, 1)处的全微分 dz=.(3) 两条直线的方程是 11：U山J；12：8 2那么过11且平行于12的1 0 1 2 1 1平面方程是.当x 0时,(1 ax2)3 1与cos x 1是等价无穷小 那么常数

24、a=.所选项前的字母填在题后的括号内)x2(1)曲线y肯(A)没有渐近线水平渐近线(C)仅有铅直渐近线有水平渐近线又有铅直渐近线(2)假设连续函数f (x)满足关系式f (x)那么f(x)等于(B)仅有(D)既2 t0 y)dt In 2,(A) ex In 2(B) e2x ln 21991年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(此题共5小题,每题3分,总分值15分.把答案填在题中横线上)(1)设 x 1 ：那么空二.y cost dx5200(5)设4阶方阵a 2100 ,那么A的逆阵00120011A 1=.二、选择题(此题共5小题，每题3分,总分值15分.每题给出的四个选

25、项中，只有一个符合题目要求，把(D) e2x In 2(3)级数(1)n 1ann 12,a2n15,那么级数an等于n 1n 1(A)3(B)7(C)8(D)9设D是平面xoy上以(1,1)、( 1,1)和(1, 1)为顶点的 三角形区域，0是D在第一象限的局部，那么(xy cos xs in y )dxdy 等于D(A) 2 cos x sin ydxdyD1(B) 2 xydxdyD1(C) 4 (xy cosxsin y)dxdyD1(D)0(5)设n阶方阵A、B、C满足关系式abcE ,其中E是n阶单位阵，那么必有(A) ACBE(B) CBAE(C) BACE(D) BCAE三、(

26、此题共3小题,每题5分,总分值15分)(1)求 lim (cos、x)2.x 0设n是曲面2x2 3y2 z2 6在点P(1,1,1)处的指向外侧的法向量，求函数u 京 8"在点p处沿方向n的方z向导数.2(3)(x2 y2 z)dv,其中 是由曲线y 2z绕z轴旋转< x 0一周而成的曲面与平面z 4所围城的立体.四、(此题总分值6分)过点0(0,0)和A( ,0)的曲线族 y a sin x(a 0) 中，求一条曲线L,使沿该曲线。从到A的积分l(1 y3)dx (2x y)dy 的值最小.五、(此题总分值8分)将函数f(x) 2 x( 1 x 1)展开成以2为周期的傅里

27、叶级数,并由此求级数A的和.n 1 n六、(此题总分值7分)设函数f (x)在0,1上连续,(0,1)内可导，且3 2 f (x)dx f (0),证明在(0,1)内存在一点 c,使 f (c) 0.3七、(此题总分值8分)已知a (1,0,2,3), a (1,1,3,5), a (1, 1,a 2,1), ca (1,2,4,a 8)及B (1,1,b 3,5).(1) a、b为何值时，b不能表示成a, 02, a, a的线性组合？(2) a、b为何值时，B有a, 02, 03, 04的唯一的线性表示式？ 写出该表示式.八、(此题总分值6分)设A是n阶正定阵,E是n阶单位阵，证明A E的行

28、列式大于1.九、(此题总分值8分)在上半平面求一条向上凹的曲线，其上任一点P(x,y) 处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x轴 平行十、填空题(此题共2小题,每题3分,总分值6分. 把答案填在题中横线上)(1) 假设随机变量x服从均值为2、方差为2的正态分布,且 P2 X 40.3,贝y PX 0 =.(2) 随机地向半圆0 y . 2ax2(a为正常数)内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，那么原点和该点的连线与x轴的夹角小于的概率为4(此题总分值6分)设二维随机变量(X,Y)的密度函数为f (x, y)2

29、e (x 2y) x 0,y00 其它"I求随机变量Z X 2Y的分布函数.dy =.dx(2)函数u ln(x2y2 z2)在点m(1,2, 2)处的梯度gradu m =设f(x)11x20X 0,那么其以2为周期的傅x里叶级数在点/处收敛于微分方程yy tan x cos x 的通解为那么矩 阵 A 的 秩a1b1a1b2Lab(5)设a2b|A2 1a2b|La2bnLLLLanb1anb2Lanbnai 0,b0,(i1,2,L , n).r (A ) =1992年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(此题共5小题,每题3分,总分值15分. 把答案填在题中横线

30、上)(1)设函数y y(x)由方程ex y cos(xy) 0确定，那么二、选择题(此题共5小题，每题3分,总分值15分. 每题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把 所选项前的字母填在题后的括号内)2 . 1(1)当x 1时,函数3°厂1的极限(A)等于2(B)等于0(C)为(D)不存在但不为(2) 级数(i)n(i cos )(常数 a 0)n 1n(A)发散(B)条件收敛(C)绝对收敛(D)收敛性与a有关(3) 在曲线x t,y t2,z t3的所有切线中，与平面 x 2y z 4平行的切线(A)只有1条(B)只有2条(C)至少有3条(D)不存在设f(x) 3x3 x2|x

31、|,那么使f (n)(0)存在的最高阶数n为(A)0(B)110(5)要使&0 , &1都是线性方程组AX 0的解,21只要系数矩阵A为(A)2 12(B) 2 0七、(此题总分值8分)0 1 1(C)1 020 110 11(D) 4220 11三、(此题共3小题,每题5分,总分值15分)sin x 1 1 x2f (ex sin y,x2 y2),其中f具有二阶连续偏导数设f(x)1 x20 ,求 3 f(x 2)dx.0 12z四、(此题总分值6分)求微分方程y 2y 3y e 3x的通解.五、(此题总分值8分)计算曲面积分(x3 az* 在变力F yzir zxj xy

32、(的作用下，质点由原点沿直线 运动到椭球面写写写1上第一卦限的点M (,问 a b c当、取何值时，力F所做的功W最大？并求出W的最大值)dydz (y3 ax2)dzdx (z3 ay2)dxdy,其中 为上半 球面z ,axy2的上侧.六、(此题总分值7分)设f (x) 0, f (0)0,证明对任何Xi 0,X2 0,有f(Xi X2) f(Xi) f(X2).八、(此题总分值7分)设向量组a, a, a线性相关，向量组a, aw线性无关, 问：(1) a能否由a, a线性表出？证明你的结论.(2) a能否由a, a, a线性表出？证明你的结论九、(此题总分值7分)设3阶矩阵A的特征值为

33、1 1, 2 2, 3 3,对应的特征向量依次为(1) 将B用&线性表出.(2) 求AnRn为自然数).十、填空题(此题共2小题,每题3分,总分值6分.把答案填在题中横线上)(1) 已知P(A) P(B) P(C) -,P(AB) O,P(AC) P(BC) 丄，贝S 事件4 6A、B、C 全不发生的概率为 .(2) 设随机变量x服从参数为1的指数分布，那么数学期望 EX e 2X =.十一、(此题总分值6分)设随机变量X与y独立,X服从正态分布N( , 2),Y服 从,上的均匀分布，试求Z X Y的概率分布密度 (计算结果用标准正态分布函数表示，其中1 X匚(x)e 2 dt).19

34、93年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(此题共5小题,每题3分,总分值15分.把答案填在题中横线上)(1)函数F (x) ：(21)dt(x 0)的单调减少区间为1Vt2 2(2)由曲线3x 2y 12绕y轴旋转一周得到的旋转Sz0面在点(0,、2)处的指向外侧的单位法向量为(3)设函数f(x) x x2( x )的傅里叶级数展开式为空(an cos nx bn sin nx),那么其中系数Q的值为2 n 1二、选择题(此题共5小题，每题3分,总分值15分. 每题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把 所选项前的字母填在题后的括号内)sin x(1)设 f (x)0 si

35、n(t2)dt,g(x) x3 x设数量 场 u In .x2y2 z2,那么div(grad u) =.,那么当 x 0 时,f(x)是g(x)的(A)等价无穷小(B)同价但非等价的无穷小(C)高阶无穷小(D)低价无穷小(2)双纽线(x2 y2)2x2 y2所围成的区域面积可用定积分表示为(A) 2 04cos2 d(B) 4 04cos2 d(C) 2 04、COS2 d(D) -1 04 (cos2 )2d(3)设有直线h: x 11 1y 设n阶矩阵A的各行元素之和均为零，且A的秩为 z 8与匚x y n 1,那么线性方程组AX 0的通解为.那么l1与21-2y z 312的夹角为(A

36、)-(B)-6 4(C)(D)-32设曲线积分Jf (t) exsin ydx f (x) cos ydy与路径无关,其中f(x)具有一阶连续导数，且XX(A) e_2xx(C)12(5),P为三阶非零矩阵，且满足PQ 0,那么(A) t 6时P的秩必为p的秩必为2(C)t 6时P的秩必为f (0) 0,贝S f (x)等于xx(B) e e2XX(D)1 e 2(B) t 6 时(D) t 6 时p的秩必为2三、(此题共3小题,每题5分,总分值15分)(1)求 lim(sin cos)x.xx xx求 _xe- dx.de 1(3)求微分方程x2y xy y2,满足初始条件y x 1 1的

37、特解.四、(此题总分值6分)计 算 2xzdydz yzdzdx z2dxdy, 其中 是由曲面 z . x2 y2与z、2 x2 y2所围立体的外表外侧.五、(此题总分值7分)求级数 (*叮1的和.n 02六、(此题共2小题,每题5分,总分值10分)(1) 设在0,)上函数f(x)有连续导数，且f (x) k 0, f (0)0,证明f (x)在(0,)内有且仅有一个零点八、(2) 设 b a e,证明 ab ba.把答案填在题中横线上)七、(此题总分值8分)次型 f (x1, x2 ,x3) 2x1 3x； 3x3 2ax2x3(a 0)通 过正交变换化成标准形 f 9 2y1 5y2,求

38、参数a及所用 的正交变换矩阵.八、(此题总分值6分)设A是n m矩阵,B是m n矩阵,其中n m,I是n阶单位 矩阵，假设AB I,证明B的列向量组线性无关.九、(此题总分值6分)设物体A从点(0,1)出发，以速度大小为常数V沿y轴正 向运动.物体B从点(1,0)与A同时出发，其速度大小为2V, 方向始终指向A试建立物体B的运动轨迹所满足的微分 方程,并写出初始条件(1) 一批产品共有10个正品和2个次品,任意抽取两 次,每次抽一个，抽出后不再放回，那么第二次抽出的是次品的概率为.(2) 设随机变量X服从(0, 2)上的均匀分布，那么随机变量Y X2在(0, 4)内的概率分布密度fY(y)=.

39、十一、(此题总分值6分)设随机变量X的概率分布密度为 f(x) -2eix,x .(1) 求X的数学期望EX和方差DX .(2) 求X与| X的协方差,并问X与| X是否不相关?(3) 问X与| X是否相互独立？为什么？十、填空题(此题共2小题,每题3分,总分值6分.1994年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷二、选择题(此题共5小题，每题3分,总分值15分. 每题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把 所选项前的字母填在题后的括号内)一、填空题(此题共5小题,每题3分,总分值15分.把答案填在题中横线上)(1) lim cot ( ) =.x ° sin x x(1)那么

40、有2 sin x迈1 x2cos4 xdx,N2 (sin3 x cos4 x)dx,P 2 (x2 sin3x cos4 x)dx,迈2(A)充分条件而非必要条件(B)曲面z ex 2xy 3在点(i, 2, °)处的切平面方程为设u e x sin仝，那么2u在点(2丄)处的值为yx y设 区域D 为2x2yR2,那么2 2(A) N P M(B) M P N(C) N M P(D) P M N二元函数f (x, y)在点(Xo,yo)处两个偏导数fx(x0,y。)、fy(xo,y。)存在是 f (x, y) 在该点连续的(5)“ 1'2'3'0 1対&#

41、39;设A从其中“是“的转n必要条件而非充分条件(C)充分必要条件非充分条件又非必要条件(D)既设常数 0,且级数an2收敛，那么级数n 1a(2)曲面z ex 2xy 3在点(1,2,0)处的切平面方程为(A)发散(B)条件收敛(C)绝对收敛(D)收敛性与有关讪atanx b(1 cosx、2、其中a2 c2 0,那么必有x 0cln(1 2x)d(1 e x )2 2d(¥ 紳xdy =(2,)R2,那么(A) b 4d(C) a 4c(B) b4 d(D) a4 c(5) a 1,2,3,卩 口梟,设 A23置，那么A nB,其中是a的转(5)向量组a, a2, a3, a线性

42、无关，那么向量组2 sin x21x2cos4 xdx,N2 (sin3 x cos4 x)dx,P2 (x2 sin3x cos4 x)dx,2 21994年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(此题共5小题,每题3分,总分值15分.把答案填在题中横线上)(1) lim cot ( ) =.x 0 sin x x二、选择题(此题共5小题，每题3分,总分值15分. 每题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把 所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设(A) N P M(B) M P N(C) N M P(D) P M N二元函数f (x, y)在点(Xo,yo)处两个偏导数讪a

43、tanx b(1 cosx'2,其中a2 c2 0,那么必有x 0 cln(1 2x) d(1 e x )(A) b 4d(B) b4d(C) a 4c(D) a4c(5)向量组a, 02, as线性无关,那么向量组(A)aa,aas,a况4 ,况4a线性无关(B)aa2,况2a3,0C3况4 ,况4a线性无关(C)aa2,况2a3,0C3况4 ,况4a线性无关(D)aa2,a2a3,a况4 ,久4a线性无关fx(Xo,y。)、fy(Xo，y。)存在是f (x, y)在该点连续的(A)充分条件而非必要条件(B)必要条件而非充分条件(D)既(C)充分必要条件非充分条件又非必要条件设常数0

44、,且级数an2收敛，那么级数n 1(A)发散收敛(B)条件三、(此题共3小题,每题5分,总分值15分)x cos(t2)2一(1) 设2t2 1,求鱼、雪在t .y t cos(t ). cosudu dx dx 2的值.(2) 将函数f (x) - ln x - arctanx x展开成x的幂级41x2(D)收(C)绝对收敛/.V f0,证明级数f(1)绝对收敛.n 1 n(3)求 dx.sin(2 x) 2sin x四、(此题总分值6分)2计算曲面积分xdydz其中S是由曲面S x y zx2 y2R2及z R,z R(R 0)两平面所围成立体外表的外侧.五、(此题总分值9分)设f(x)具

45、有二阶连续函数,f(0)0, f (0)1,且xy(x y) f (x)ydx f (x) x2ydy 0 为一全微分方程，求f (x)及此全微分方程的通解.六、(此题总分值8分)设f(x)在点x 0的某一邻域内具有二阶连续导数，且七、(此题总分值6分)点A与B的直角坐标分别为(1,0, 0)与(0,1,1).线段 AB绕x轴旋转一周所成的旋转曲面为 S.求由S及两平面 z 0, z 1所围成的立体体积.八、(此题总分值8分)设四元线性齐次方程组.1( I )为 为x2 °,X2 x40又某线性齐次方程组(II )的通解为 k1(0,1,1,0) k2( 1,2,2,1).(1) 求

46、线性方程组(I )的根底解析.(2) 问线性方程组(I )和(I)是否有非零公共解？假设 有,那么求出所有的非零公共解.假设没有,那么说明理由.九、(此题总分值6分)设A为n阶非零方阵，A*是A的伴随矩阵，A是A的转置矩阵,当A* A时,证明0.十、填空题(此题共2小题,每题3分,总分值6分. 把答案填在题中横线上)(1) A、B两个事件满足条件P(AB) P(AB),且p(a) p,贝y p(b)=.(2) 设相互独立的两个随机变量x,Y具有同一分布率, 且X的分布率为X01P1122那么随机变量Z max X,Y的分布率为 .十一、(此题总分值6分)设随机变量x和Y分别服从正态分布N(1,

47、32)和N(0,42),且x与y的相关系数xy 1,设Z冬丫，232(1) 求Z的数学期望EZ和DZ方差.(2) 求X与Z的相关系数xz-问X与Y是否相互独立？为什么？1995年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷二、选择题(此题共5小题，每题3分,总分值15分. 每题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把、填空题(此题共5小题,每题3分,总分值15分.把答案填在题中横线上)2lim(1 3x)航二x 0(1)ddx0 22 xcost dt 一x(a b)82,所选项前的字母填:在题后的括舌号内)(1)设有直线L:x3y2z 10,及平面2xy10z30L:4x 2y z 20,那么

48、直线L(A)平行于(B)在上(C)垂直于(D)与斜交(2)设在0,1上 f (x)0,那么f (0), f (1),f (1) f (0)或f (0) f (1)的大小顺序是(a b)(bc) g(ca) 一n2n 1nnxn 1 2( 3)(5)设三阶方阵A,B满足关系式A1BA6A(A)f (1)f (0)f (1)f (0)(B) f(1)f (1)f (0)f (0)(C)f (1)f (0)f (1)f (0)(D) f(1)f (0)f (1)f (0)(3)设 f (x)可导，F(x) f (x)(1 sinx),贝S f (0)0 是 f (x)在x 0处可导的(A)充分必要条

49、件(B)充分条件但非必要条件有一阶连续偏导数，且0.求空.zdx(C)必要条件但非充分条件(D)(2)设函数f(x)在区间0,1上连续,并设0f(x)dx A,既非充分条件又非必要条件求 0dx(x)f(y)dy.设 Un( 1)nl n(11),那么级数n(A) Un与U2都收敛 n 1n 1u2都发散nn 1(B)Un 与n 1(C) un收敛,而u2发散 n 1n 1敛,而U2发散nn 1(5)(D) Un 收n 1设四、(此题共2小题,每题6分,总分值12分)(1) 计算曲面积分zdS,其中 为锥面z .厂2在柱体x2 y2 2x内的局部.(2) 将函数f(x) x 1(0 x 2)展开成周期为4的余弦 函数.al1a12a13a12Aa21a22a23, Ba21比2a31&32a33a31&32那么必有a13010100a23, P1100 ,B010a33001101(A) AP1P2 = B(C) P1P2A = B(B) AP2P1 = B(D) P2P1A = B五、(此题总分值7分)设曲线L位于平面xOy的第一象限内丄上任一点M处 的切线与y轴总相交，交点记为A.MA OA,且L过点 C3,-3),求L的方程.三、(此题共2小题,每题5分,总分值10