历考研数学线代真题1987-(最新最全)

1、历年考研数学一真题1987-20221987年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(此题共5小题,每题3分，总分值15分.把答案填在题中横线上)(5)三维向量空间的基底为 a (1,1,0), a (1,0,1), a (0,1,1),那么向量b (2, 0, 0)在此基底下的坐标是 .三、(此题总分值7分)3 0 1 设矩阵A和B满足关系式AB = A 2B ,其中A 110 ,求矩阵B.0 14五、选择题(此题共4小题，每题3分，总分值12分.每题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内) 设A为n阶方阵，且A的行列式| a | a 0,而A*

2、是A的伴随矩阵，贝U |A* |等于(A)a(B)(C)an 1(D) ana九、此题总分值8分问a,b为何值时，现线性方程组人 fX2x3 x4X2<X22x3 2x41(a 3)x3 2x4 b3xA 2x2X3a&有唯一解，无解,有无穷多解？并求出有无穷多解时的通解1988年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷二、填空题(此题共4小题,每题3分，总分值12分.把答案填在题中横线上) 设4阶矩阵A a Y, Y,y, B 3 Y, Y,Y4,其中a,g y, Y, Y均为4维列向量，且行列式卜|4,冋1,那么行列式A B =.三、选择题(此题共5小题，每题3分，总分值15

3、分.每题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内) (5) n维向量组a,甌，a(3 s n)线性无关的充要条件是(A) 存在一组不全为零的数 k1,k2,ks,使k? a ksa 0(B) a, a,，a中任意两个向量均线性无关(C) a, a,as中存在一个向量不能用其余向量线性表示(D) a, a,as中存在一个向量都不能用其余向量线性表示七、此题总分值6分100100AP BP ,其中B000,P210 ,求A,A5001211八、此题总分值8分20 0200矩阵A 00 1与B0y0相似.01 x001(1)求x与y.求一个满足P 1AP B的可逆阵P

4、.300100(5)设矩阵A 140 ,1010 ,那么矩阵(A 2I)003001二、选择题(此题共5小题，每题3分，总分值15分.每题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内) 设a是n阶矩阵,且a的行列式|A|0,那么a中(A)必有一列元素全为0(B)必有两列元素对应成比例(C)必有一列向量是其余列向量的线性组合(D)任一列向量是其余列向量的线性组合三、(此题共3小题,每题5分，总分值15分)七、此题总分值6分人 X3问为何值时,线性方程组4X1 X2 2X32有解,并求出解的一般形式6x1 x2 4x323八、此题总分值8分假设 为n阶可逆矩阵A的一个特

5、征值，证明(1) -为A 1的特征值.(2) A为A的伴随矩阵A*的特征值.(5)向量组 a (1,2,3,4), a2(2,3, 4,5), as(3,4,5,6), a4(4,5,6,7),那么该向量组的秩是.二、选择题(此题共5小题，每题3分，总分值15分.每题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(5)Q、g是非齐次线性方程组ax b的两个不同的解，a、a是对应其次线性方程组 ax 0的根底解析,k1、k为任意常数，那么方程组AX b的通解(一般解)必是(B) k1 a k2( a a2)(D) k1 a k?( g g)2g 卩22(A) kta

6、k2 ( a1 a2) "2 g(C) & a k2( g1 g2) 22七、此题总分值6分设四阶矩阵110 021340 2130 0 2 10 1 1 0B,C0 0 1 1且矩阵A满足关系式1A(E C B)C E其中E为四阶单位矩阵,C 1表示C的逆矩阵，C表示C的转置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵A.八、此题总分值8分求一个正交变换化二次型f x2 4x； 4x2 4x1X2 4x1X3 8X2X3成标准型52002(5) 设 4 阶方阵 A 2100 ,那么A的逆阵A00120011二、选择题 (此题共 5小题,每题 3分,总分值 15分.每题给出的四个选项中 ,

7、只有一个符合题目要求 ,把所选项前的字母填在题后的括号内 ) 设n阶方阵A、B、C满足关系式ABC E ,其中E是n阶单位阵,那么必有(A) ACBE(B) CBAE(C) BACE(D) BCAE七、此题总分值 8 分 a (1,023), a2(1,1,3,5), a (1, 1,a 2,1), a (1,2,4, a 8)及 b (i,i,b 3,5).(1) a、b为何值时，b不能表示成a, a2, a, a4的线性组合?a、b为何值时，b有a, a, a, a的唯一的线性表示式？写出该表示式.八、此题总分值 6 分设A是n阶正定阵,e是n阶单位阵，证明A E的行列式大于1.aMa1b

8、2ab设A曲a2b| 讪：，其中ai 0,b0,(i 1,2,，n).那么矩阵a的秩r(A)aQanb2anbn选择题(此题共5小题，每题3分，总分值15分.每题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)0都是线性方程组AX 0的解,只要系数矩阵A为11(A)(B)(C)0(D) 40201210 11 1121此题总分值 设向量组八、7分a, a, a线性相关,向量组a?, a, a线性无关，冋:(1) a能否由a2, a线性表出？证明你的结论.a能否由a, a2, a3线性表出？证明你的结论.九、此题总分值7分设3阶矩阵a的特征值为11, 22, 33,对应

9、的特征向量依次为1111&1飞 2 , &3 ,又向量B 21493(1)将B用&, 2, &线性表出求An &n为自然数).1993 年全国硕士研究生入学统一考试数学 ( 一) 试卷一、填空题(此题共 5小题,每题 3分,总分值 15分.把答案填在题中横线上 )(5) 设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零 , 且 A 的秩为 n 1, 那么线性方程组 AX 0 的通解为 .二、选择题(此题共 5小题,每题 3分,总分值 15分.每题给出的四个选项中 ,只有一个符合题目要求 ,把所选项前的字母填在题后的括号内 ) 123(5)Q 2 4 t ,P为三

10、阶非零矩阵,且满足pq 0,那么369(A) t 6时P的秩必为1 B) t 6时P的秩必为2(C) t 6 时 P 的秩必为 1( D) t 6 时 P 的秩必为 2七、此题总分值 8 分二次型f(Xi,X2,X3)2x；3x；3X32ax2X3(a0)通过正交变换化成标准形fy；2y；5y,求参数a及所用的正交变换矩阵.八、此题总分值 6 分设A是n m矩阵,b是m n矩阵,其中n m,l是n阶单位矩阵，假设AB I ,证明B的列向量组线性无关 a 1,2,3,卩1,-,-,设A a 3,其中a是a的转置,那么A n =.2 3二、选择题此题共5小题，每题3分，总分值15分.每题给出的四个

11、选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内 向量组ACa, a?a, a2, a3, a线性无关，那么向量组 a, a况4, aa 线性无关必3, a况4,况4a 线性无关(B) aa?,a?a,况3况4,况4a 线性无关(D) aa?,a?况3,况3a,久4a 线性无关八、此题总分值8分x 0 X4 0 'ki(0,1,1,0)xX2又某线性齐次方程组n的通解为1求线性方程组I的根底解析.问线性方程组I和n是否有非零公共解设四元线性齐次方程组I 为k2( 1,2,2,1).?假设有,那么求出所有的非零公共解.假设没有,那么说明理由.九、此题总分值6分设A为n阶非零

12、方阵，A*是A的伴随矩阵,A是A的转置矩阵，当A * A 时，证明A 0. 设三阶方阵a , b满足关系式A 1BA 6A BA,且A00 ,贝 U b =17，把所选项前的字母填在题后的括号内、选择题此题共5小题,每题3分，总分值15分.每题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求a11a12a13a11a12a1301 0100设Aa21a22a23, Ba21a22a23,P110 0 ,P2010,那么必有a31a32a33a31a32a3300 1101(A) AP1P2 :=B(B) AP2P1=B(C) P1P2A =:B(D) P2P1A=B八、此题总分值7分0设三阶实对称矩阵A

13、的特征值为11, 23 1,对应于1的特征向量为&1 ,求A.1九、此题总分值6分设A为n阶矩阵，满足AA 11是n阶单位矩阵,A是A的转置矩阵,A 0,求A I .1996年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(此题共5小题,每题3分，总分值15分.把答案填在题中横线上)1 0 2设A是4 3矩阵,且A的秩r(A )2,而B 02 0 ,那么r (AB ) =.1 0 3、选择题(此题共5小题，每题3分，总分值15分.每题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(5)四阶行列式600b4000a2b20asba000a4的值等于(A)

14、a1a2a3a4 b1b2b3b4(B) a1a2a3a4 b1b2b3b4(C)(a£2 0b2)(a3a4 匕3匕4)(。)心2玄3 匕2匕3)心4 bA)八、此题总分值6分设A I Je,其中I是n阶单位矩阵，E是n维非零列向量，是E的转置.证明(1) A 2 A的充分条件是E E 1.当E E 1时,A是不可逆矩阵.九、此题总分值8分二次型 f(X1,X2,X3) 5xf 5x； ex 2x1X2 6X1X3 6X2X3 的秩为 2, (1)求参数e及此二次型对应矩阵的特征值. 指出方程f(X1,X2,X3) 1表示何种二次曲面.设A 4 t 3 ,B为三阶非零矩阵,且ab

15、o,那么t =、选择题(此题共 5小题, 每题 3分, 总分值 15分.每题给出的四个选项中 ,只有一个符合题目要求 ,把所选项前的字母填在题后的括号内 )a1b1c1a1xb1y c10,(4) 设 a1a2 , a2b2, a3c2 , 那么三条直线a2xb2y c20a3b3c3a3xb3y c30( 其中 ai2bi20,i1,2,3 )交于一点的充要条件是(A) a, a, a线性相关(B) a, a, a3线性无关(C)秩r( a, a2, a)秩r( a, a)(D) a, a, a线性相关,a, a线性无关七、 (此题共 2小题, 第(1) 小题 5分, 第(2) 小题 6分,

16、总分值 11分)0 的解空间的一个标准正交(1)设B是秩为2的5 4矩阵，a 1,1,2,3t, a2 1,1,4, 1T, a3 5, 1, 8,9T是齐次线性方程组Bx 0的解向量，求Bx基.1E 1是矩阵A12 1 25 a 3 的一个特征向量 .1 b 2一、填空题(此题共5小题,每题3分，总分值15分.把答案填在题中横线上) 设A为n阶矩阵，|A| 0,A*为A的伴随矩阵,E为n阶单位矩阵假设A有特征值，那么(A*)问A能否相似于对角阵？说明理由 八、此题总分值 5 分设A是n阶可逆方阵，将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B.(1) 证明 B 可逆.(2) 求 AB 1 2.

17、E必有特征值.二、选择题(此题共5小题，每题3分，总分值15分.每题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内) (4)设矩阵4 b Ga2b2C2是满秩的，那么直线Xa3(卫三丄3与直线Xai丄直三R,ai a2bib2ciC2a2a3b2b3C2C3a3 b3 C3(A)相交于一点(B)重合(C)平行但不重合D)异面十、此题总分值6分二次曲面方程x2 ay2十一、此题总分值4分 性无关的.十二、此题总分值5分aiXz2 2bxy 2xz 2yz 4可以经过正交变换 yz设A是n阶矩阵,假设存在正整数k,使线性方程组AkX 0有解向量a且Akia 0.证明：向量

18、组a,A a,A“a是线P化为椭圆柱面方程2 4 24,求a,b的值和正交矩阵P.ax? ai,2nX2n0822X2 a2,2nX2n0an2X2an,2nx2n0X1aniXi方程组(I ) a?Xibiiyiy2 bl,2n y2n0b2iyi322 丫2b2,2n y2n0bniyi林2bn,2n y2n0的一个根底解析为(bii,bi2,bi,2n)T,(b2i,b22,b2,2n)T，,(bni,bn2,，bn,2n)I 试写出线性方程组(U )的通解,并说明理由.1999 年全国硕士研究生入学统一考试数学 ( 一) 试卷一、填空题 (此题共 5小题,每题 3分,总分值 15分.把

19、答案填在题中横线上 )(4)设n阶矩阵A的元素全为1,那么A的n个特征值是 .二、选择题 (此题共 5小题, 每题 3分, 总分值 1 5分.每题给出的四个选项中 ,只有一个符合题目要求 ,把所选项前的字母填在题后的括号内 ) (4) 设 A 是 m n 矩阵 , B 是 n m 矩阵 , 那么(A) 当 m n 时, 必有行列式 | AB | 0(B) 当 m n 时, 必有行列式 |AB | 0(C) 当 n m 时 , 必有行列式 | AB | 0(D) 当 n m 时, 必有行列式 | AB | 0十、 (此题总分值 8 分)设矩阵 A3 , 其行列式 |A |1,又A的伴随矩阵A*有

20、一个特征值0,属于°的一个特征向量为a ( 1, 1,1)T,求a,b,c和。的值.( 此题总分值 6 分 )设A为m阶实对称矩阵且正定,B为m n实矩阵，bt为B的转置矩阵,试证btab为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r (B) n一、填空题此题共5小题,每题3分,总分值15分.把答案填在题中横线上1211方程组2 3 a 2 x23无解,那么a =.1 a2x30二、选择题此题共5小题,每题3分，总分值15分. 设n维列向量组a,amm n线性无关,那么n维列向量组 你，策线性无关的充分必要条件为A向量组a,，am可由向量组，伽线性表示B向量组笳，价可由向量组a;八，am线性表示

21、D矩阵A a,，am与矩阵B 3,，Bm等价十、此题总分值6分1000*0100设矩阵A的伴随矩阵A1010 ,且ABA 1 BA 1 3E ,其中E为4阶单位矩阵，求矩阵B0308十、此题总分值8分C向量组a,，am与向量组3,，策等价某适应性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将£熟练工支援其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有2成为熟练工设第n年1月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为Xn和,记成向量Xn5yn1求X11与Xn的关系式并写成矩阵形式y 1ynXn 1yn 1xnyn 验证n 4 ,n 1是A的两个线

22、性无关的特征向量，并求出相应的特征值 3当X111y112时,求Xn11 yn 122001年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷、填空题(此题共5小题，每题3分，总分值15分.把答案填在题中横线上)设 A2 A 4E O ,那么(A 2E) 1 =.、选择题(此题共5小题，每题3分，总分值15分.每题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)1 1 114000设A 1 1 11B0000 ,那么A与1 1 1100001 1 110000(A)合同且相似(C)不合同但相似(B)合同但不相似(D)不合同且不相似九、(此题总分值6分)设a, a,，a为线性方

23、程组axo的一个根底解系t2 a3 ,ti ast? a ,其中b ,t2为实常数,试问tnt2满足什么条件时B,念，,仪也为AX O的一个根底解系？十、(此题总分值8分)三阶矩阵A和三维向量X,使得X,Ax,A2X线性无关,且满足A 3x 3A x 2A2x (1)记 P (X, Ax,A2X),求 B 使 A PBP 1 .(2) 计算行列式|A E一、填空题(此题共5小题,每题3分,总分值15分.把答案填在题中横线上) 实二次型fXxx)a(x12x；X3)4x1x24x1 x34x2x3经正交变换可化为标准型f6y；,那么a =.二、选择题(此题共5小题，每题3分，总分值15分.每题给

24、出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(4)设有三张不同平面,其方程为ax by cz di(i 1,2,3)它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2,那么这三张平面可能的位置关系为九、(此题总分值6分)四阶方阵A (a, a,a3,a),a, a2, a3, a均为四维列向量,其中a, a, a线性无关,a 2 a a .假设Baa2aa4,求线性方程组A x B的通解.十、(此题总分值8分)设A,B为同阶方阵，(1) 假设A,B相似,证明A,B的特征多项式相等.(2) 举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立.(3) 当A,B为实对称矩阵时

25、,证明(1)的逆命题成立.2003年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷、填空题(此题共6小题，每题4分，总分值24分.把答案填在题中横线上)11 11从R2的基伽,a2到基3, Sp的过渡矩阵为0 1 12 、选择题(此题共6小题，每题4分，总分值24分.每题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内) 设向量组I： a, a, a可由向量组II: 3,3, 3线性表示,那么(A)当r s时,向量组II必线性相关(B)当r s时,向量组II必线性相关(C)当r s时，向量组I必线性相关(D)当r s时，向量组I必线性相关(5)设有齐次线性方程组Ax 0和Bx

26、 0,其中A,B均为m n矩阵,现有4个命题: 假设Ax 0的解均是Bx 0的解,那么秩(A)秩(B) 假设秩(A)秩(B),那么Ax 0的解均是Bx 0的解 假设Ax 0与Bx 0同解,那么秩(A)秩(B) 假设秩(A)秩(B),那么Ax 0与Bx 0同解以上命题中正确的选项是(A)(B)(C)(D)九、(此题总分值10分)3 22010设矩阵A 2 32 , P101 , B P 1A*P ,求B 2E的特征值与特征向量，其中A*为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵2 23001十、(此题总分值8分)平面上三条不同直线的方程分别为h : ax 2by 3c 0, 12 : bx 2cy 3a

27、0, l3 : cx 2ay 3b 0.试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a b c 0.2004年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷、填空题(此题共6小题，每题4分，总分值24分.把答案填在题中横线上)2 1 0(5)设矩阵A 12 0,矩阵B满足ABA * 2BA* E ,其中A为A的伴随矩阵，E是单位矩阵，那么B =.0 0 1、选择题(此题共8小题，每题4分，总分值32分.每题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(11) 设A是3阶方阵,将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列得C,那么满足AQ C的可逆矩阵Q为0 1 00

28、 1 0010011(A) 100(B) 101(C) 100(D) 1001 0 10 0 1011001(12)设A,B为满足ABO的任意两个非零矩阵,那么必有(A) A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关(B) A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关(D) A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关(C) A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关(20)(此题总分值9分)(1a) x2Xn0,设有齐次线性方程组2x-i(2 a)x2 2Xn0,(n 2),n x2(na)Xn0,试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解(21)(此题总分值9分)123设矩阵A 1 43的特

29、征方程有一个二重根，求a的值,并讨论A是否可相似对角化1 a 52005年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(此题共6小题,每题4分，总分值24分.把答案填在题中横线上)(5)设a, a, a均为3维列向量，记矩阵A (a, a, a), B ( a a a, a 2 a 4 a, a 3a 9a), 如果A| 1,那么|B .二、选择题(此题共8小题，每题4分，总分值32分.每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(11) 设1, 2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为a, a,那么a,A( a a)线性无关的充分必要条件是(

30、A)i0(B)20(C)i0(D)20(12) 设A为n(n 2)阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B.A*,B*分别为A,B的伴随矩阵，那么(A)交换A*的第1列与第2列得B*(B)交换A*的第1行与第2行得B*(C)交换A的第1列与第2列得B(D)交换A的第1行与第2行得B(20)(此题总分值9分) 二次型 f (x1, x2, x3) (1 a)x； (1 a)x； 2x； 2(1 a)x1x2 的秩为 2.(1) 求a的值；(2) 求正交变换x Qy,把f(X1,X2,X3)化成标准形.(3) 求方程 f(X1,X2,x3)=0 的解.(21)(此题总分值9分)3阶矩阵A的第一行

31、是(a,b,c),a,b,c不全为零，矩阵B1 232 4 6 ( k为常数),且AB O ,求线性方程组Ax 0的通解.3 6k2006年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷、填空题(此题共6小题，每题4分，总分值24分.把答案填在题中横线上)2 1(5)设矩阵A £ ，E为2阶单位矩阵,矩阵B满足BA B 2E ,那么B =. 设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间0,3上的均匀分布，那么P maxX,Y 1 =.、选择题(此题共8小题，每题4分，总分值32分.每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内) (11)设a, a2,，as,均为n

32、维列向量，A是m n矩阵，以下选项正确的选项是(A)假设a, a?,，a,线性相关,那么A a, A a,，A a,线性相关(B)假设a, a,，a,线性相关,那么A a, A a,，A a,线性无关(C)假设a, a2,，a,线性无关，那么A a, A a2,，A a,线性相关(D)假设a, a2,，a,线性无关，那么A a, A a2,，A a,线性无关.1 10(12)设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B ,再将B的第1列的-1倍加到第2列得C,记P0 10 ,那么0 01(A) C P 1AP1(B) C PAP 1(C)C ptap(D) C PAPt(20)(此题总分值9分)

33、xX2X3X41非齐次线性方程组4x-i3x25x3 x41有3个线性无关的解x23x3 bx41(1)证明方程组系数矩阵A 的勺秩rA 2.(2)求a,b的值及方程组的通解1,2, 1 T, a 0, 1,1 T是线性方程组Ax 0的两个解.(21)(此题总分值9分)设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量a(1) 求A的特征值与特征向量.(2) 求正交矩阵Q和对角矩阵A ,使得QtAQ A .2007 年全国硕士研究生入学统一考试数学 (一)试卷 、选择题(此题共 10小题,每题 4分,总分值 40分,在每题给的四个选项中 ,只有一项符合题目要求 ,把所选项前的字母填在题后括号内 )

34、(7)设向量组內，a, a线性无关,那么以下向量组线形相关的是(A) a1 a2,a2 a3,a3 a1(B) a1 a2,a2a3, a3 a1(C) a12a2,a22a3,a32a1(D)a12a2,a22a3,a32a1211100(8) 设矩阵 A121 , B010 ,那么A与B1 1 2000(A) 合同 , 且相似(B) 合同 , 但不相似 (C) 不合同但相似(D) 既不合同 , 也不相似、填空题(11 16小题,每题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上 )0100(15)设矩阵 A 001,那么A的秩为00010000(21)( 此题总分值 11 分) x1 x2

35、x30设线性方程组x12x2ax30 ,与方程x12x2x3a1,有公共解,求a的值及所有公共解.2x1 4x2 a x30(22)( 此题总分值 11 分 )设3阶实对称矩阵A的特征向量值! 1, 2 2, 32.內(1, 1,1)T是A的属于特征值!的一个特征向量,记B A5 4A3 E,其中E为3阶单位矩阵 .(1) 验证a是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量.(2) 求矩阵 B .2022年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(1-8小题,每题4分,共32分,以下每题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (5)设A为n阶

36、非零矩阵，E为n阶单位矩阵假设A30,那么(A) E A不可逆，E A不可逆(B)E A不可逆，E A可逆(C) E A可逆，E A可逆(D)E A可逆,E A不可逆、填空题(9-14小题,每题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)(13) 设A为2阶矩阵，a, a2为线性无关的2维列向量，A a 0,A a 2a a,那么A的非零特征值为 .(20)(此题总分值11分)A aa bB, J为a的转置,为B的转置.证明：(1) r(A) 2.(2) 假设 a, f线性相关,那么 r(A) 2.(21)(此题总分值11分)2a12设矩阵A 32a1,现矩阵A满足方程AX B ,其中X心

37、，Xn T, B 1,0,02 a2a nn(1)求证A n1an.a为何值，方程组有唯-解，求X,.(3) a为何值,方程组有无穷多解，求通解.2022年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷、选择题(1-8小题,每题4分,共32分,以下每题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)1 1a，a a，aa的过渡矩阵为 设知a，a是3维向量空间R3的一组基,那么由基內，%, a到基a231 0 11(A) 2 2 0(B) 00 3 3111120246 11123(C)24603111246(D)246246设A, B均为2阶矩阵,A*,B*分别为A, B

38、的伴随矩阵,假设A 2, B3,那么分块矩阵的伴随矩阵为(A)O*2A*3BO(B)3A*2BO(C)2B*3AO(D)O*3B*2AO二、填空题(9-14小题,每题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)(13)假设3维列向量a B满足2 B 2,其中aT为a的转置,那么矩阵B 的非零特征值为 (20)(此题总分值11分)(1)求满足A &&的A2 &&的所有向量&, &.(2)对(1)中的任意向量&, &证明&, &, &无关.(21)(此题总分值11分)设二次型 f x, x2 ,x3axj2

39、 ax；a 1 x； 2x,x3 2x2x3.(1)求二次型f的矩阵的所有特征值；(2)假设二次型f的标准形为y2 yf,求a的值.2022年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷、选择题(1-8小题,每题4分,共32分,以下每题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(5)设A为m n型矩阵，B为n m型矩阵，假设AB E,那么(A)秩(A) m,秩(B) m设A为4阶对称矩阵，且A2 A1 1(B)秩(A) m,秩(B) n (0,假设A的秩为3,那么A相似于1C)秩(A) n,秩(B) m1(D)秩(A) n,秩(B) n(A)(B)(C)(D)、填

40、空题(9-14小题,每题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)(20)(此题总分值11分)1 1设 A 010 ,b1 1(13)设a (1,2, 1,0)T, oa(1,1,0,2)T, oa(2,1,1, )T,假设由a, a, a形成的向量空间的维数是2,那么a1 ,线性方程组Ax b存在两个不同的解.1(1) 求,a.(2) 求方程组Ax b的通解.(21)(此题总分值11分)设二次型f(x.,X2,X3)xtAx在正交变换X Qy下的标准形为y2占,且Q的第三列为(乎,。,")'(1)求 A.证明A E为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵.2022 年全国硕士

41、研究生入学统一考试数学 (一)试卷、选择题 (1-8 小题,每题 4分,共 32分,以下每题给出的四个选项中 ,只有一项符合题目要求 ,把所选项前的字母填在题后的括号内 .)1001005、设A为3阶矩阵，把A的第二列加到第一列得到矩阵B，再交换B的第二行与第3行得到单位阵E，记R 110 ， P2001，001010那么 A=A P1P2BP1 1P2CP2 P1DP2 1P16设A ( 1 2 3 4)是4阶矩阵，A*为A的伴随矩阵。假设(1,0,1,0)T是Ax 0的一个根底解系，那么A*x 0的根底解系可为A13B12C123D234二、填空题： 914 小题，每题 4分，共 24 分

42、，请将答案写在答题纸指定的位置上。13、假设二次曲面的方程 x2 3y2 z2 2axy 2xz 2yz 4 ，经正交变换化为 y12 y22 4，那么 a 20、此题总分值 11 分设向量组 i(1,0,1)T ,2(0,1,1)T ,3(1,3,5)t不能由向量组i(1,1,1)T,2(1,2,3)t,3(3,4,a)T 线性表示；(1) 求a的值；(2) 将 1, 2, 3用 1, 2, 3线性表示；21 、此题总分值 11 分1 1 1 1A 为 3 阶实对称矩阵, A 的秩为 2,且 A 0000-1 1 1 1求 1 A 的特征值与特征向量2 矩阵 A2022年全国硕士研究生入学统

43、一考试数学(一)试卷一、选择题：18小题，每题4分，共32分，以下每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位 置上.00115设10 , 21,31 , 41其中q,c2,C3，C4为任意常数，那么以下向量组线性相关的是C1C2C3C4A1 , 2 ,3B1 ,2,4C1 ,3,4D2,3,46设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵,且1P1AP1， P1,2,3，Q12,2,3 那么 Q AQ21122A2B1C1D21221、填空题：9 14小题，每题4分，共24分，请将答案写在答题纸.指定位置上.13设X为三维单位向量，E为三阶单位矩阵，那么矩阵E xx的

44、秩为。1 a001200 1此题总分值10分设A 0'a0b10 01a0a 0010I求An线性方程组 Ax b有无穷多解,求a，并求Axb的通解。10121此题总分值10分三阶矩阵A011 ，at为矩阵A的转置，r(ATA) 2，且二次型fxTAT Ax。10a1求a2求二次型对应的二次型矩阵，并将二次型化为标准型，写出正交变换过程2022硕士研究生入学考试数学一A, B, C均为n阶矩阵，假设AB=C，且B可逆，那么A.矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价 B矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价 C矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价D矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价1 a 120 0aba与0b 0相似的充分必要条件为1 a 100 0A. a 0,b2B. a 0,b为任意常数C. a 2,b 0D. a 2, b为任意常数13.设A=(aij)是3阶非零矩阵，A为A的行列式，Aj为aj的代数余子式.假设aj+Aij=0(i, j=1,2,3，那么| A| =20. :此题总分值11分1 ao 1设A,B，当a, b为何值时，存在矩阵C使得AC-CA=B,并求所有矩阵C。1 01 b21. 此题总分值11分a1b1设二次型f